Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012



страница5/12
Дата26.07.2014
Размер1.15 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12





2. Бинарные операции на множестве. Свойства операций. Специальные элементы множества относительно данной операции




    1. Введение


Историю алгебры можно разбить на два основных периода. Первый длится с времени таких древнейших цивилизаций, как египетская и вавилонская, примерно до XIX в., второй - с начала XIX в. до наших дней.

В раннюю пору своего развития математика делится на отдельные предметы в зависимости от объектов, которые в данном предмете рассматриваются: геометрия была наукой о форме, арифметика - о числах, алгебра - о соотношениях и свойствах чисел вообще (т.е. чисел, выраженных произвольными символами, чаще всего буквами. Роль алгебры была более или менее четко осуществлена в эту эпоху: под x всегда подразумевалось число. Естественно, это новые идеи в алгебре, появившиеся в начале XIX в., родились на основе того, что было к тому времени известно в алгебре. Одним из стимулов к развитию оказалось понятие квадратного корня из минус единицы - величина, которую обычно обозначают через i. Это понятие в XVII- XVIII в.в. использовалось при решении широкого круга задач, но никто не мог удовлетворительно истолковать его как число. В начале XIX в. было предложено два выхода из затруднительного положения:

– в первом из них использовался абстрактный метод, в котором i представлялось как ряд достаточно произвольных операций над парами чисел,

– во втором, i получало конкретную интерпретацию и отождествлялось с геометрической операцией «поворот на прямой угол на плоскости».

Оба указанных решения подсказали дальнейшие исследования. Раз введение i в элементарную алгебру дало превосходные результаты, то появление еще нескольких символов также может оказать полезным. Правила обращения с этими символами можно было бы тогда строить исходя из конкретного случая. Если i соответствует повороту на плоскости, то почему бы не обратиться к поворотам в трехмерном пространстве и посмотреть, не послужит ли это толчком для дальнейшего развития алгебры? Такого рода вопросы привели математиков к дальнейшим исследованиям и открытию в 1843 г кватернионов англичанином Гамильтоном. В алгебре кватернионов были введены два новых символа, i и j, для которых i2= -1, j2= -1, ji= -ij.

Открытие кватернионов произвело ошеломляющее впечатление на многих ведущих математиков-современников Гамильтона, оно считалось последним словом в математике и идеальным методом решения большинства алгебраических проблем. На самом деле кватернионы были скорее первым, а не последним словом. Барьер был преодолен: стала развиваться алгебра, отбросившая некоторые из основных положений древней алгебры. Вскоре математики стали искать другие пути, которые дали бы им возможность дополнить обычные числа новыми символами, и пришли к так называемым гиперкомплексным числам.

Затем математики стали спрашивать: а почему следует начинать с обычных чисел? Может быть, лучше рассмотреть любой набор символов, задавших определенными правилами обращения с ними? Понятие «алгебры» постепенно расширилось настолько, что стало включать в себя любую систему рабочих символов вместе с приписанными им правилами. Таким образом, рамки алгебры как математической науки значительно расширились, причем некоторые определённые алгебраические системы смогли быть применены к решению частных задач.

Построение алгебраических систем связано с понятиями множества и операций.

    1. Понятие внутренней бинарной операции


Из школьного курса хорошо известны операции умножения и сложения чисел и обратные им операции вычитания и деления. Кроме того для чисел введены операции возведения в степень и извлечения корня. Для векторов плоскости или пространства введены операции сложения, вычитания, умножения на число, скалярное умножение, векторное умножение, смешанное умножение. Мы познакомились с целым рядом операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число, умножение друг на друга, транспонирование. Все это создает основу для введения общего понятия операции, которая позволяет с единой точки зрения изучить операции с числами, множествами, функциями и другими объектами.

Пусть дано непустое множество М, для элементов которого определено отношение равенства.



Определение. Мы будем говорить, что на множестве М определена внутренняя бинарная операция f, если нам известен закон, по которому любой упорядоченной паре (x, y) элементов из МхМ ставится в соответствие не более одного элемента z из множества М.

Сказанное словами будем отмечать символической записью вида: f:(x, y)→z. Если для данной пары (x, y) элемент типа z существует в М, то z называют композицией элементов x и y относительно операции f и обозначают символом xfy, т.е. z = xfy.

Итак, для данной упорядоченной пары элементов множества М относительно операции f композиция может существовать, а может и не существовать. Но если она существует, то определена она однозначно.

Например, пусть М - множество натуральных чисел. Под операцией f будем понимать обычное вычитание: f:(x, y)→ z = x-y. Для пары(5, 3) композиция 5-3 существует, т.к. 5-3 = 2N. Для пары (1, 6) композиция 1-6 не существует, т.к. 1-6N.

Операцию на множестве М можно задавать различными способами.

Если множество М - конечно и все его элементы известны, то операцию f на М удобно задавать в виде таблицы Кэли.



f

a1

a2



an

a1













a2



























an













Это квадратная таблица. В верхнем левом углу ставится знак рассматриваемой операции (в нашем случае- f). Под этим знаком в первом столбце записываются все элементы множества М. Это - первые компоненты x пар (x, y), для которых будут указываться композиции. В первой же строке таблицы напротив символа f тоже будут записаны все элементы множества М. Это будут вторые компоненты y. В клеточке на пересечении соответствующей строки их столбцу для пары (x, y) будет стоять композиция z =xfy.

Например. M = {○, ●, #} Зададим на множестве М какую-нибудь операцию f:



f





#




















#







#

Операция задана следующим образом:

(○, ○) → ○ f ○ = ●,

(○, ●) → ○ f ● - не существует,

(○, #) → ○ f # = ○,

(●, ○) → ● f ○ - не существует,

(●, ●) → ● f * = ○,

(●, #) → ● f # - не существует,

(#, ○) → # f ○ - не существует,

(#, ●) → # f ● - не существует,

(#, #) → # f # = #.

Если множество М - бесконечное, то операция f задается в виде правила получения композиции элементов x f y по данным элементам x и y из множества М.

Например, М – множество матриц, размера m×n с вещественными элементами. Если



A = (aik), B = (bik), то A + B = C = (cik), где cik = aik + bik . Так мы задаем операцию сложения (+) на множестве матриц.

При рассмотрении различных примеров мы можем выделить специальные свойства операций.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Похожие:

Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и коммуникаций
Учебно- методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по Новой истории стран Азии и Африки Брянск, 2008 Сагимбаев Алексей Викторович. Учебно-методическое пособие по курсу «Новая история стран Азии и Африки»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения Исторического факультета, обучающихся по специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей. Предлагаемый практикум является учебно-методическим пособием нового типа. Он активизирует познавательную деятельность обучаемого
Педагогика: практикум. Учебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по неорганической химии Алт гос техн ун-т им. И. И. Ползунова, бти. Бийск
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих курс "Неорганическая химия"
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов физико-математических специальностей вузов Балашов 2009 удк 004. 43 Ббк 32. 97
Данное учебно-методическое пособие состоит из лабораторных работ, которые условно можно разбить на несколько частей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов 4 курса (озо, одо) специальности 050602. 65 «Изобразительное искусство»
О. А. Бакиева. Народный костюм Севера: Учебно-методическое пособие для студентов 4 курса очной и заочной формы обучения специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для преподавателей и студентов санкт-Петербург 2008 г
Данное учебно-методическое пособие мы рассматриваем как одно из средств, способствующих конструированию новой образовательной среды,...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «Информатика»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «информатика», а также может использоваться...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org