Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012
|
Скачать 1.15 Mb.
|
Всюду определенные операции на множествеили алгебраические операцииПусть на множестве М задана операция f. Определение. Говорят, что операция f всюду определена на множестве М, или что операция f алгебраическая, если для любых x и y из множества М их композиция xfy лежит в множестве М. Примерами алгебраических операций являются:
При этом говорят, что множество М замкнуто относительно операции f. Вычитание натуральных чисел не является алгебраической операцией. Сложение матриц не является алгебраической операцией, т.к. не для любых двух матриц существует их сумма.
Пусть на множестве М задана операция f. В дальнейшем мы будем рассматривать только алгебраические операции. Поэтому заранее предполагаем, что f - алгебраическая операция, т.е. для любых элементов x и y М их композиция x f y существует, т.е. представляет собой элемент Определение. Алгебраическая операция f на множестве М называется коммутативной, если тождество коммутативности X f Y=Y f X выполняется при всех значениях X и Y, взятых из множества М. Примерами коммутативных операций являются:
Операция возведения натурального числа в натуральную степень не является коммутативной. Действительно, тождество коммутативности X f Y=Y f X не выполняется, например, когда X принял значение 2, а Y принял значение 3 : 2 f 3 = 23, 3 f 2 = 32, 23≠32. Умножение матриц n-го порядка не является коммутативной операцией, т.к. тождество коммутативности X f Y=Y f X не выполняем, например, когда X принял значение Итак, все алгебраические операции подразделяются на коммутативные и некоммутативные. Коммутативные т.е., для которых тождество коммутативности X f Y=Y f X выполняется для всех значений X и Y из данного множества. Некоммутативные те, относительно которых в множестве М можно подобрать такие два элемента a и b,для которых тождество коммутативности не выполняется, т.е. a f b ≠ b f a.
Пусть на множестве М задана алгебраическая операция f. Определение. Операция f на множестве М называется ассоциативной, если тождество ассоциативности (X f Y) f Z = X f (Y f Z) выполняется для всех значений X, Y и Z из множества М. Иными словами, операция ассоциативна, если ее результат не зависит от того, как расставить скобки, указывающие на порядок выполнения действий с тремя элементами из данного множества. Сложение и умножение чисел ассоциативно. Сложение и умножение матриц одного и того же порядка ассоциативно. Приведем пример операции, не обладающей свойством ассоциативности. Рассмотрим операцию возведения натурального числа в натуральную степень. Тождество ассоциативности (X f Y) f Z = X f (Y f Z) не выполняется, например, когда X принял значение 2, Y принял значение 3, Z принял значение 2: Итак, все алгебраические операции подразделяются на два типа: ассоциативные и неассоциативные. Если операция ассоциативна, мы имеем право находить композицию трех элементов без дополнительного указания, в каком порядке выполнять действия. Например, на N мы пишем: 2+3+5. И знаем, что результат вычисления равен 10 вне зависимости от того, в каком порядке мы выполним действия: (2+3)+5 или 2+(3+5). В случае же неассоциативной операции этого сделать нельзя. Например, нам предлагают на N вычислить |
, а Y – значение 
: 
, 
, 
= 64, 
= 29=512, 64 ≠ 512. 
. Мы не можем дать результат, т.к. он зависит от выбора порядка выполнения действий. Заметим, при рассмотрении композиции трёх элементов эти элементы переставлять местами нельзя, т.к. операция может быть некоммутативной: (23)2=64, 
.
