Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012
|
Скачать 1.15 Mb.
|
Дистрибутивные операцииНа данном множестве М может быть задано две алгебраические операции f1 и f2 . Например, на множестве N задана операция сложения и умножения (конечно, операций может быть задано и больше). Определение. Операция f1 называется дистрибутивной слева относительно операции f2, если тождество (1) X f1 (Y f2 Z) = (X f1 Y) f2 (X f1 Z) выполняется для всех значений X, Y, Z из множества М. Определение. Операция f1 называется дистрибутивной справа относительно операции f2, если тождество (2) (Y f2 Z) f1 X = (Y f1 X) f2 (Z f1 X) выполняется для всех значений X, Y, Z из множества М.
Примеры.
1. Пусть на N задана операция f1- сложение, f2- умножение. Тогда тождества (1) и (2) примут вид:
Если возьмем тройку значений X, Y, Z, например, (1, 2, 3), то
2. Пусть на N заданы операции f1- умножение и f2- сложение. Тогда тождества (1) и (2) примут вид: (1) X∙(Y + Z) = X∙Y + X∙Z. (2) (Y + Z)∙X = Y∙X + Z∙X. Эти тождества выполняются при всех значениях X, Y и Z из N. Причем, в силу коммутативности умножения на N результаты (1) и (2) тождеств в любой точке (a, b, c) будут равны. Т.е. умножение на N дистрибутивно относительно сложения.3. Рассмотрим множество М= Mat(n, R) - множество квадратных матриц n-го порядка с вещественными элементами. На этом множестве рассмотрим операции f1- умножение, f2-сложение. Тогда интересующие нас тождества примут вид:∙ (1) X∙(Y + Z) = X∙Y + X∙Z, (2) (Y + Z)∙X = Y∙X + Z∙X. Из теории матриц известно, что в любой точке (A, B, C) тождество (1) и тождество (2) выполняются, т.е. умножение матриц двояко дистрибутивно относительно сложения. Возьмем точки (1) (2) 
Итак: 
Иными словами, умножение матриц не дистрибутивно относительно сложения.
алгебраической операцииВведем понятие нейтрального элемента множества относительно данной операции. Известно, что при сложении чисел число 0 играет особую роль: сумма любого числа a и нуля равна числу а: а + 0 = 0 + а = а , при любом числе а. Таким образом, при сложении чисел 0 является нейтральным элементом в том смысле, что его прибавление к любому числу не меняет это число. При умножении чисел аналогичную роль играет число 1. Действительно, для любого числа а имеем а∙1 = 1∙а = а. Распространим это понятие на произвольный случай, т.е. когда мы имеем произвольное множество М и на нем алгебраическую операцию f не обязательно коммутативную. Определение. Элемент e1 множества М называется левым нейтральным элементом относительно операции f, если e1 f x = x при любом x из множества М. Определение. Элемент e2 множества М называется правым нейтральным элементом относительно операции f, если x f e2 = x при любом x из множества М. Во множестве М относительно операции f левый нейтральный элемент может существовать, а может и не существовать. То же самое можно сказать и о правом нейтральном элементе. Может существовать левый нейтральный, а правый нейтральный элемент не существовать и наоборот. Может случиться так, что и левый нейтральный элемент существует и правый нейтральный элемент существует, но они не одинаковые, т.е. e1 ≠ e2. А может случиться так, что левый нейтральный элемент e1 существует и правый нейтральный элемент e2 существует и e1 = e2. В этом случае мы говорим, что имеем нейтральный элемент. Определение. Элемент e множества М называется нейтральным элементом относительно операции f, если e f x = x f e = x для любого x из множества М. Примеры.
1. Рассмотрим на N операцию возведения натурального числа в натуральную степень. Левый нейтральный элемент относительно этой операции не существует, т.к. нельзя подобрать такое натуральное число e1, что e1x = x при любом натуральном х. Но правый нейтральный элемент e2 существует и равен 1, т.к. х1 = х при любом натуральном х. 2. На множестве М = Mat (2, R) относительно сложения существует и левый и правый нейтральные элементы, которые равны между собой e1 = e2 = 3. На множестве всевозможных матриц рассмотрим умножение матриц (по правилу «строка на столбец»). Возьмем матрицу A = Заметим, если операция на множестве М названа "сложением" , то нейтральный элемент относительно этой операции принято называть нулем и обозначать символом 0, Ō, Õ, Ө и др. Заметим, если операция на множестве М названа "умножением", то нейтральный элемент относительно этой операции принято называть единицей и обозначать 1, е, ε, Е и др. |
, тогда:
. Другими словами, на множестве М мы имеем нейтральный элемент относительно сложения – нулевую матрицу.
Если эту матрицу А умножить слева на единичную матрицу E1 = 
, то матрица А не изменится: E1∙A = A, если матрицу А умножить справа на единичную матрицу E2 = 
, то матрица А не изменится: A∙E2 = A. Этот пример в какой-то мере иллюстрировал тот факт, что в общем может существовать левый нейтральный элемент и может существовать правый нейтральный элемент, но они не совпадают. Правда, операция умножения в этом примере не является алгебраической и мы имеем более широкое понятие нейтрального элемента.
