Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012



страница7/12
Дата26.07.2014
Размер1.15 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Дистрибутивные операции


На данном множестве М может быть задано две алгебраические операции f1 и f2 . Например, на множестве N задана операция сложения и умножения (конечно, операций может быть задано и больше).

Определение. Операция f1 называется дистрибутивной слева относительно операции f2, если тождество (1)

X f1 (Y f2 Z) = (X f1 Y) f2 (X f1 Z)

выполняется для всех значений X, Y, Z из множества М.



Определение. Операция f1 называется дистрибутивной справа относительно операции f2, если тождество (2)

(Y f2 Z) f1 X = (Y f1 X) f2 (Z f1 X)

выполняется для всех значений X, Y, Z из множества М.

Определение. Операция f1 называется двояко дистрибутивной относительно операции f2, если она дистрибутивна и слева и справа относительно операции f2.

Определение. Операция f1 называется дистрибутивной относительно операции f2, если она двояко дистрибутивна относительно операции f2, причем при любой упорядоченной тройке элементов из множества М в качестве заданний X, Y, Z, результат вычислений согласно тождество (1) равен результату вычислений согласно тождества (2).

Примеры.


1. Пусть на N задана операция f1- сложение, f2- умножение. Тогда тождества (1) и (2) примут вид:


  1. X + (YZ) = (X + Y)∙(X + Z)

  2. (YZ) + X = (Y + X)∙(Z + X).

Если возьмем тройку значений X, Y, Z, например, (1, 2, 3), то

  1. 1+(2∙3) ≠ (1+2)∙(1+3), т.е. сложение не дистрибутивно слева относительно умножения.

  2. (2∙3)+1 ≠ (2+1)∙(3+1), т.е. сложение не дистрибутивно справа относительно умножения.

2. Пусть на N заданы операции f1- умножение и f2- сложение. Тогда тождества (1) и (2) примут вид:

(1) X∙(Y + Z) = XY + XZ.

(2) (Y + Z)∙X = YX + ZX.

Эти тождества выполняются при всех значениях X, Y и Z из N.

Причем, в силу коммутативности умножения на N результаты (1) и (2) тождеств в любой точке (a, b, c) будут равны. Т.е. умножение на N дистрибутивно относительно сложения.

3. Рассмотрим множество М= Mat(n, R) - множество квадратных матриц n-го порядка с вещественными элементами. На этом множестве рассмотрим операции f1- умножение, f2-сложение. Тогда интересующие нас тождества примут вид:∙

(1) X∙(Y + Z) = XY + XZ,

(2) (Y + Z)∙X = YX + ZX.

Из теории матриц известно, что в любой точке (A, B, C) тождество (1) и тождество (2) выполняются, т.е. умножение матриц двояко дистрибутивно относительно сложения. Возьмем точки , тогда:

(1)


(2)
Итак:

Иными словами, умножение матриц не дистрибутивно относительно сложения.


    1. Специальные элементы множества относительно

алгебраической операции


Введем понятие нейтрального элемента множества относительно данной операции. Известно, что при сложении чисел число 0 играет особую роль: сумма любого числа a и нуля равна числу а: а + 0 = 0 + а = а , при любом числе а.

Таким образом, при сложении чисел 0 является нейтральным элементом в том смысле, что его прибавление к любому числу не меняет это число.

При умножении чисел аналогичную роль играет число 1. Действительно, для любого числа а имеем а∙1 = 1∙а = а.

Распространим это понятие на произвольный случай, т.е. когда мы имеем произвольное множество М и на нем алгебраическую операцию f не обязательно коммутативную.



Определение. Элемент e1 множества М называется левым нейтральным элементом относительно операции f, если e1 f x = x при любом x из множества М.

Определение. Элемент e2 множества М называется правым нейтральным элементом относительно операции f, если x f e2 = x при любом x из множества М.

Во множестве М относительно операции f левый нейтральный элемент может существовать, а может и не существовать. То же самое можно сказать и о правом нейтральном элементе. Может существовать левый нейтральный, а правый нейтральный элемент не существовать и наоборот. Может случиться так, что и левый нейтральный элемент существует и правый нейтральный элемент существует, но они не одинаковые, т.е. e1 e2. А может случиться так, что левый нейтральный элемент e1 существует и правый нейтральный элемент e2 существует и e1 = e2. В этом случае мы говорим, что имеем нейтральный элемент.



Определение. Элемент e множества М называется нейтральным элементом относительно операции f, если e f x = x f e = x для любого x из множества М.

Примеры.


1. Рассмотрим на N операцию возведения натурального числа в натуральную степень.

Левый нейтральный элемент относительно этой операции не существует, т.к. нельзя подобрать такое натуральное число e1, что e1x = x при любом натуральном х.

Но правый нейтральный элемент e2 существует и равен 1, т.к. х1 = х при любом натуральном х.

2. На множестве М = Mat (2, R) относительно сложения существует и левый и правый нейтральные элементы, которые равны между собой e1 = e2 = . Другими словами, на множестве М мы имеем нейтральный элемент относительно сложения – нулевую матрицу.

3. На множестве всевозможных матриц рассмотрим умножение матриц (по правилу «строка на столбец»).

Возьмем матрицу A = Если эту матрицу А умножить слева на единичную матрицу E1 = , то матрица А не изменится: E1A = A, если матрицу А умножить справа на единичную матрицу E2 = , то матрица А не изменится: AE2 = A. Этот пример в какой-то мере иллюстрировал тот факт, что в общем может существовать левый нейтральный элемент и может существовать правый нейтральный элемент, но они не совпадают. Правда, операция умножения в этом примере не является алгебраической и мы имеем более широкое понятие нейтрального элемента.

Заметим, если операция на множестве М названа "сложением" , то нейтральный элемент относительно этой операции принято называть нулем и обозначать символом 0, Ō, Õ, Ө и др.

Заметим, если операция на множестве М названа "умножением", то нейтральный элемент относительно этой операции принято называть единицей и обозначать 1, е, ε, Е и др.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

Похожие:

Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и коммуникаций
Учебно- методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по Новой истории стран Азии и Африки Брянск, 2008 Сагимбаев Алексей Викторович. Учебно-методическое пособие по курсу «Новая история стран Азии и Африки»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения Исторического факультета, обучающихся по специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей. Предлагаемый практикум является учебно-методическим пособием нового типа. Он активизирует познавательную деятельность обучаемого
Педагогика: практикум. Учебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по неорганической химии Алт гос техн ун-т им. И. И. Ползунова, бти. Бийск
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих курс "Неорганическая химия"
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов физико-математических специальностей вузов Балашов 2009 удк 004. 43 Ббк 32. 97
Данное учебно-методическое пособие состоит из лабораторных работ, которые условно можно разбить на несколько частей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов 4 курса (озо, одо) специальности 050602. 65 «Изобразительное искусство»
О. А. Бакиева. Народный костюм Севера: Учебно-методическое пособие для студентов 4 курса очной и заочной формы обучения специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для преподавателей и студентов санкт-Петербург 2008 г
Данное учебно-методическое пособие мы рассматриваем как одно из средств, способствующих конструированию новой образовательной среды,...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «Информатика»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «информатика», а также может использоваться...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org