Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012



страница8/12
Дата26.07.2014
Размер1.15 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Симметризуемые элементы.

Симметризуемые операции


Пусть дано множество М и алгебраическая операция f на этом множестве, относительно которой в М существует нейтральный элемент е. Может случиться так, что для выбранного элемента aM найдется такой элемент а'М, что а' f a = a f a' = е. В этом случае, элемент а называется симметризуемым элементом относительно операции f, а элемент а' называется элементом, симметричным к элементу а.

Мы видим, что понятие симметризуемого элемента является обобщением понятия обратимого числа, а понятие симметричного элемента к данному – понятия обратного числа и противоположного числа.

Принято симметричный элемент к элементу а относительно операции, названной "сложением" обозначать символом – а и называть элементом, противоположным к элементу а.

Например, матрицу, противоположную к матрице A = , мы обозначаем –А = .

Симметричный элемент к элементу а относительно операции, названной "умножением" обозначают символом а-1 и называют обратным элементом, а элемент а – обратимым элементом.

Например, матрица A = – обратима и A-1 = . Действительно, A·A-1 = A-1·A = E = .

Определение. Если каждый элемент множества М относительно операции f симметризуем, то операция f называется симметризуемой.

Примеры.


    1. Сложение на Z - симметризуемая операция, т.к. для любого целого числа а существует противоположное число – а. Например, а = 2, – а = –2, а = 0, – а = 0, а = – 5, – а = 5.

    2. Умножение на множестве положительных рациональных чисел операция симметризуемая, т.к. для любого положительного рационального числа а существует обратное положительное число а-1 = .

Например, а = , а-1 = , а = , а-1 = = 5, а = 1, а-1 = 1.

    1. На множестве R умножение не является симметризуемой операцией, т.к. можно подобрать вещественное число а, для которого а-1 не существует.
      Например а = 0.

    2. На множестве М = Mat (2, R) умножение не является симметризуемой операцией, т.к. можно подобрать такую матрицу А, для которой А-1 не существует. Это матрица А такая, у которой определитель равен нулю.

Например, матрицы , , , …

Итак, мы рассмотрели понятие внутренней бинарной операции на множестве, увидели, какими свойствами она может обладать (алгебраичность, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность относительно второй внутренней операции, симметризуемость), увидели какие специальные элементы относительно этой операции в множестве могут существовать (нейтральный, симметризуемый, симметричный к данному).

Заметим, на множестве М могут быть определены операции не обязательно внутренние бинарные. Могут быть определены операции унарные. Например, на множестве матриц операция транспонирования. Могут быть определены операции тернарные. Например, смешанное умножение на множестве векторов пространства. Можно говорить о внешних операциях. Например, умножение матрицы на число, умножение вектора на число. Можно задавать операции, которые не подходят под определение ни внутренней бинарной, ни внешней бинарной. Это, например, операция скалярного умножения на множестве векторов. Здесь композицией двух векторов является вещественное число. Это более общий случай бинарной операции. Но в дальнейшем мы будем говорить только о внутренних бинарных операциях. Поэтому во всем тексте лекций и практических занятий под термином «операция» мы понимаем только внутреннюю бинарную операцию.

3. Алгебраические структуры: группы, кольца, поля




    1. Введение


Ранее мы изучали конкретные математические объекты – множество целых чисел Z , множество подстановок n элементов Sn, множество матриц размера m×n с вещественными элементами, множество классов вычетов по mod m, множество векторов плоскости, множество векторов пространств, непрерывные функции и т.д. На первый взгляд, они не связаны между собой, так как состоят из элементов совершенно разной природы. Однако развитие алгебры привело к выработке общих концепций, которые позволяют по-новому взглянуть на, казалось бы, разобщенные факты. В настоящей лекции мы введем фундаментальные для всей алгебры и ее приложений понятия группы, кольца и поля, ограничившись знакомством с их простейшими свойствами.

Слово "поле" в алгебре применяется для описания системы, очень похожей на обычную арифметическую. Операции сложения, вычитания, умножения и деления включаются в поле и очень напоминают соответствующие арифметические операции. Например, во всяком поле имеется элемент, который заменяет числовой ноль и элемент, который заменяет числовую единицу. Существует огромное многообразие полей. Таблицы Кэли:





O

J

A

B

O

O

O

O

O

J

O

J

A

B

A

O

A

B

J

B

O

B

J

A




+

O

J

A

B

O

O

J

A

B

J

J

O

B

A

A

A

B

O

J

B

B

A

J

O



определяют поле, которое состоит только из четырех элементов O, J, A, B. В этой системе операции производятся в основном по тем же правилам, что и в обычной арифметике или элементарной алгебре: здесь выполняются и коммутативность, и ассоциативность сложения и умножения, и дистрибутивность умножения относительно сложения.

Существование поля из конечного числа элементов обнаружил в 1830 г. Французский математик Эварист Галуа. Это поле называют полем Галуа из четырех элементов.

Возьмите любую формулу из курса школьной алгебры, и вы найдете, что она остается верной в поле Галуа. Например, элементарная алгебра утверждает, что A + B , умноженное на AB , означает то же что A2B2. Если взять из таблиц результаты обоих действий, мы получим один и тот же ответ J.

Теперь можно считать, что в наших рассуждениях достигнута ступень полной абстракции. Мы уже не предполагаем, что O, J, A, B имеют конкретный смысл. Мы просто нашли схему, которая имеет интересные аналогии со схемами обычной арифметики. Чистый математик заявит, что в том-то и состоит задача математики – находить красивые и оригинальные схемы. А математику – прикладнику, ученому – естествоиспытателю или инженеру интересно установить, похожа ли эта схема на те, которые возникают в природе, можно ли найти для нее подходящую интерпретацию и приложение. Хотя поля Галуа и возникли как результат абстрактных математических упражнений, в настоящее время они нашли довольно неожиданное приложение: их изучают в связи с задачами безошибочного кодирования при передачи информации с помощью быстродействующих вычислительных машин.

В поле допускаются сложение, умножение, вычитание и деление на ненуль. Однако не все алгебраические системы располагают таким числом операций. В кольце, например, мы можем складывать, вычитать и умножать, но не всегда можем делить. Обычным примером кольца служат целые числа. Например, если ученику известны только такие числа, то он сможет решить любую задачу со сложением, вычитанием и умножением этих чисел. Однако если потребовалось бы разделить 3 на 5, то он оказался бы беспомощным.

Группа – понятие еще более широкое, чем кольцо. Когда говорят, что некоторая система образует группу, то подразумевают существование в этой системе одной единственной операции, которую можно рассматривать как обобщенное умножение. Эта операция должна быть ассоциативной, т.е. выражение XYZ обязано иметь определенное значение вне зависимости от "грамматики". Группа должна содержать также элемент J, который заменяет число 1 в обычной арифметике. Кроме, того в группе должно быть возможно деление.

Чтобы алгебраическая система была признана группой, она должна пройти удивительно мало тестов. Поэтому весьма знаменательно, что такая изящная теория, как теория групп, стала столь широко применяться во многих ветвях математики и ее приложениях.



1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Похожие:

Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и коммуникаций
Учебно- методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по Новой истории стран Азии и Африки Брянск, 2008 Сагимбаев Алексей Викторович. Учебно-методическое пособие по курсу «Новая история стран Азии и Африки»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения Исторического факультета, обучающихся по специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей. Предлагаемый практикум является учебно-методическим пособием нового типа. Он активизирует познавательную деятельность обучаемого
Педагогика: практикум. Учебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по неорганической химии Алт гос техн ун-т им. И. И. Ползунова, бти. Бийск
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих курс "Неорганическая химия"
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов физико-математических специальностей вузов Балашов 2009 удк 004. 43 Ббк 32. 97
Данное учебно-методическое пособие состоит из лабораторных работ, которые условно можно разбить на несколько частей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов 4 курса (озо, одо) специальности 050602. 65 «Изобразительное искусство»
О. А. Бакиева. Народный костюм Севера: Учебно-методическое пособие для студентов 4 курса очной и заочной формы обучения специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для преподавателей и студентов санкт-Петербург 2008 г
Данное учебно-методическое пособие мы рассматриваем как одно из средств, способствующих конструированию новой образовательной среды,...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «Информатика»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «информатика», а также может использоваться...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org