Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012



страница9/12
Дата26.07.2014
Размер1.15 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Определение группы и следствия, вытекающие из них


В современной математической литературе встречаются различные определения группы, с которыми мы и должны познакомиться.
      1. Первое определение группы и следствия,

вытекающие из него


Непустое множество A называется группой, если в этом множестве:

  1. Определено бинарное отношение равенства элементов,

  2. Задана внутренняя бинарная операция f, обладающая свойствами:

  1. алгебраичностью,

  2. ассоциативностью,

  3. относительно этой операции в множестве A есть нейтральный элемент,

  4. симметризуемостью.

При этом говорят, что A есть группа относительно операции f.

Группу относительно сложения называют аддитивной группой. Группу относительно умножения называют мультипликативной группой.

Если операция, относительно которой задана группа, коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.

Примеры.


  1. Множество A={e}, где e – нейтральный элемент относительно внутренней бинарной операции f, есть группа, т.к. оно удовлетворяет всем требованиям, положенным в основу определения группы.

  2. Множество N не является аддитивной группой, т.к. в нем нет нуля (нейтрального элемента по сложению).

  3. Множество A={-1, 1}, если 1 и -1 – целые числа, есть мультипликативная группа.

А теперь сформулируем и докажем ряд следствий, вытекающих из принятого нами определения группы.

Следствие 1. В группе существует только один нейтральный элемент.

Доказательство. Предположим, что в группе A относительно операции f существует два нейтральных элемента e1 и e2, причем e1 e2. Тогда e1 f x = x f e1 = x для любого элемента x A, e2 f x = x f e2 = x для любого элемента x A. Но тогда e1 f e2 = e2 f e1 = e2и e2 f e1 = e1 f e2 = e1. Значит, e1 f e2 = e2 = e1, что противоречит условию e1 e2. Следовательно, наше предположение неверно, т.е. в группе нейтральный элемент только один.



Следствие 2.
В группе для каждого элемента существует только один симметричный ему элемент.

Доказательство. Предположим, что в группе A для элемента x существуют два симметричных элемента x1' и x2' относительно групповой операции f . Тогда x1' f x= x f x1' = e и x2' f x= x f x2' = e. Рассмотрим x1' f x f x2'. В силу ассоциативности операции f имеем: (x1' f x) f x2' = x1' f (x f x2'), т.е. e f x2' = x1' f e, т.е. x1' = x2', что противоречит предположению x1' x2'. Значит, наше предположение неверно и для элемента x существует в группе A только один симметричный элемент x'.



Следствие 3. В группе A относительно операции f уравнение a f x = b с одним неизвестным x разрешимо, причем однозначно, при любых a и b A.

Доказательство. Как известно, решением уравнения a f x = b в группе A называется такой элемент cA, что a f c = b. Возьмем c = a' f b. Для любого a в группе обязан существовать симметричный элемент a'. В группе A операция f обязана быть алгебраической. Следовательно, элемент a' f b = c в группе A существует. Рассмотрим композицию a f (a' f b) = (a f a') f b = e f b = b. Т.е. элемент c является корнем (решением) уравнения a f x = b. Предположим, что уравнение a f x = b имеет два различных корня x1 и x2, т.е. a f x1 = a f x2 = b. Прокомпонируем обе части равенства a f x1 = a f x2 слева с элементом a': a' f (a f x1) = a' f (a f x2), откуда в силу ассоциативности операции f имеем: (a' f a) f x1 = (a' f a) f x2, т.е. e f x1 = e f x2, т.е. x1 = x2, что противоречит условию. Значит, уравнение a f x = b разрешимо, причем однозначно, при любых a, bA.



Следствие 4. В группе A относительно операции f уравнение y f a = b с одним неизвестным y разрешимо, причем однозначно, при любых a, bA.

Доказательство этого утверждения аналогично предыдущему и поэтому мы предлагаем его провести Вам самостоятельно.

Замечание: при фиксированных a и bA уравнение a f x = b имеет и притом только одно решение αA, а уравнение y f a = b имеет и притом только одно решение βA. Если операция f для группы A некоммутативна, то α не обязано равняться β.

Следствие 5. Если a – элемент группы A относительно операции f, то из a f x = a f y следует x = y.

Доказательство. Пусть a f x = a f y, так как a – элемент группы, то для него существует в группе симметричный элемент a'. Равенство не изменится, если обе его части прокомпонировать слева элементом a': a' f (a f x) = a' f (a f y).

В силу ассоциативности операции f имеем: (a' f a) f x = (a' f a) f y, e f x = e f y, x= =y.

Итак, в группе относительно операции f из a f x= a f y следует, что x= y.


      1. Второе определение группы и следствия,

вытекающие из него


Непустое множество A называется группой относительно внутренней бинарной операции f, если

  1. Операция f алгебраическая,

  2. Операция f ассоциативна,

  3. Всегда разрешимы, прием однозначно, уравнения: a f x = b и y f a = b.

Примеры.

  1. Множество Z всех целых чисел является аддитивной группой, так как в нем всегда однозначно разрешимы уравнения a + x = b и y + a = b.

  2. Множество Z не является мультипликативной группой, т.к. уравнение 2x = 3 в нем неразрешимо, т.е. не всякое уравнение ax = b разрешимо.

Следствие 1. В группе A относительно операции f существует правый нейтральный элемент. Это такой элемент e1, который удовлетворяет условию: α f e1 = α для любого элемента αA.

Доказательство. В группе A по определению однозначно разрешимо уравнение .

Пусть корнем уравнения будет элемент , т.е. такой элемент, что .

Рассмотрим уравнение . Оно тоже разрешимо однозначно. Пусть его решением является элемент , т.е. такой элемент, что . Но тогда . Это означает, что элемент является правым нейтральным элементом для элемента . Другими словами, правый нейтральный элемент для элемента в группе является правым нейтральным элементом для любого элемента этой группы, т.е. .

Аналогично можно доказать, что левый нейтральный элемент для элемента будет левым нейтральным элементом для любого элемента b группы A.

Но тогда (т.е. - левый нейтральный) , (т.е. - правый нейтральный).

Следовательно, в группе A есть нейтральный элемент .

Следствие 2. В группе A относительно операции f для каждого элемента есть симметричный ему элемент.

Доказательство. Возьмем . Покажем, что для этого элемента существует симметричный элемент , т.е. такой элемент, что .

Действительно, решая уравнение , мы найдем однозначно . Решая уравнение , мы однозначно найдем . Т.е. для элемента существуют элементы и такие, что и . Рассмотрим композицию . В силу ассоциативности операции f мы будем иметь: , т.е. .

Итак, для любого элемента из группы A существует симметричный элемент.


      1. Эквивалентность определений группы


Мыдали два определения группы. Сравнивая эти определения, приходим к следующему выводу:

  1. В обоих определениях группы первые две аксиомы – общие.

  2. Третья и четвертая аксиомы первого определения группы являются следствиями, вытекающими из аксиом второго определения группы.

  3. Третья и четвертая аксиомы второго определения группы являются следствиями, вытекающими из аксиом первого определения группы.

Эти факты означают, что принятые нами определения группы есть определения эквивалентные между собой.

Поэтому мы можем пользоваться любым из двух, принятых нами, определений группы. Теория групп, построенная на основе первого определения группы, совпадают с теорией групп, построенной на основе второго определения группы. В связи с этим, решая задачи теории групп, можно пользоваться тем определением, которое в данном случае окажется более выгодным.



Примеры.

  1. На множестве A всех векторов, как направленных отрезков, расположенных в пространстве, определено векторное умножение. Множество A относительно векторного умножения не является группой, т.к. уравнение при в A не имеет решений.

При решении указанной задачи мы использовали второе определение группы.

  1. Рассмотрим множество A всех корней n-ой степени из 1. Будет ли A мультипликативной группой относительно обычного умножения комплексных чисел? Для решения этой задачи применим первое определение группы. Сначала напомним, что корнем n-ой степени из 1 называется такое комплексное число t , что . Заметим, , т.к. .

Проверим выполнимость аксиомы первого определения группы.

  1. Алгебраичность. Пусть и . Значит, и . Найдем и проверим, будет ли . Для этого возведем в степень n: по свойству умножении комплексных чисел. Тогда , т.е. . Следовательно умножение на A алгебраично.

  2. Ассоциативность. Множество A есть непустое подмножество множества C комплексных чисел. На C умножение ассоциативно, следовательно оно ассоциативно и на любом непустом подмножестве множества C, в частности на множестве A.

Действительно, предположим, что это не так. Т.е. в множестве A найдется по крайней мере одна тройка элементов a, b, c, которая не удовлетворяет тождеству ассоциативности , т.е. . Но a, b, c,, т.е. тождество ассоциативности в точке не удовлетворяется в C. Другими словами, умножение в C не является ассоциативным, что противоречит известным фактам из теории комплексных чисел. Итак, умножение на A ассоциативно.

  1. В A существует единица. Ей является комплексное число . Действительно, нейтральным элементом по умножению в C является число . Это число попадает в множество A, так как , т.е. e является корнем n-ой степени из 1.

  2. Для каждого элемента существует . Действительно, t – комплексное число, т.е. и . В C для любого отличного от нуля числа t существует . Будет ли это число лежать в множестве A? Ответ положителен, так как . Другими словами, в множестве A всякий элемент обладает обратным, т.е. операция умножения на A симметризуема.

Итак, умножение на множестве A всех корней n-ой степени из 1 удовлетворяет всем аксиомам группы (первое определение).

Заметим, что эта группа коммутативная.


      1. Мультипликативная группа подстановок n элементов


Особую роль в теории групп и ее приложениях играет мультипликативная группа подстановок множества длины n, обозначаемая символом .

Рассмотрим построение группы .

Напомним, что множество подстановок n элементов состоит из n! подстановок. Две подстановки называются равными, если они представляют собой один и тот же закон взаимно однозначного отображения.

Введем понятие произведения двух подстановок.



Определение. Произведением двух подстановок n элементов называется результат их последовательного выполнения.

В итоге возникает правило умножения двух подстановок. Пусть x, y, z – некоторые перестановки множества A, состоящего из n элементов.

Пусть , - подстановки множества A. Тогда .

Например, , .


.

Проверим выполнимость аксиом группы, пользуясь первым определением группы, относительно введенной операции умножения подстановок.



  1. Умножение подстановок алгебраично.

Действительно, если , подстановки, то x, y, z –перестановки некоторого множества A, подстановки которого мы рассматриваем.

Тогда - тоже подстановка. Значит, - подстановка, т.е. умножение подстановок операции алгебраическая.



  1. Умножение подстановок операция ассоциативная.

Рассмотрим выполнимость тождества ассоциативности , когда X приняло значение . Y приняло значение , Z приняло значение .

Тогда мы установим истинность равенства :

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,



- истинное равенство.

Итак, умножение подстановок – операция ассоциативная.



  1. Установим наличие нейтрального элемента в множестве подстановок n элементов.

В множестве Sn имеется тождественная подстановка . Докажем, что она является нейтральным элементом по умножению в Sn. Действительно, для любой подстановки имеем:

1) ,

2) e

3) ee для любой подстановки Sn

Итак, e = нейтральный элемент по умножению в множестве Sn

4. Умножение подстановок – операция симметризуемая.

Покажем, что для любой подстановки в множестве Sn имеется обратная подстановка α-1: α-1·α = α·α-1 = e

В качестве α-1·выступает подстановка , которая получается из α путём перемены мест строк.

Действительно:

1)

2)

3) α-1 =

Итак, операция умножения в Sn симметризуемая.

Все аксиомы группы на множестве Sn выполняются, следовательно, Sn - группа.

Выясним, коммутативная группа Sn или нет.

1. Рассмотрим группу . , где . Умножение в ней явно коммутативное, так как =

Вывод: S1 - коммутативная группа.

2. Рассмотрим группу S2 = {α1, α2}, где , .

Построим таблицу Кэли для этой группы:



α1

α2

α1

α1

α2

α2

α2

α1

Тождество коммутативности XY = YX выполняется для всех значений X и всех значений Y из множества S2:

= , = , = , = .

Вывод: S2 - коммутативная группа

3. Рассмотрим группу S2 = {α1, α2, α3, α4, α5, α6}, где , , , , , .

Построим для группы S2 таблицу Кэли





α1

α2

α3

α4

α5

α6

α1

α1

α2

α3

α4

α5

α6

α2

α2

α1

α4

α3

α6

α5

α3

α3

α6

α5

α2

α1

α4

α4

α4

α5

α6

α1

α2

α3

α5

α5

α4

α1

α6

α3

α1

α6

α6

α3

α2

α5

α4

α1

Заметим, что



α2·α3 = α4

α3·α2 = α6,

т.е. α3·α2α3·α2. Другими словами, тождество коммутативности не выполняется при значении X, равном α2 и значении Y, равном α3


Вывод: S3 не является коммутативной группой.
4. Если при построении группы Sn для n > 3 мы возьмём подстановки и , то ,

Значит α·ββ·α

Другими словами, умножение в Sn при n > 3 некоммутативно.

Вывод: Группа Sn коммутативна при n = 1 и 2.

Группа Sn некоммутативна при n ≥ 3.

      1. Определение конечной группы


Принятые нами определения группы, пригодны, как для групп конечных, так и для групп бесконечных, так как такая характеристика множества не входила в определения групп. Далее, мы доказали предложение, справедливое для любой группы, именно:

Если a - элемент групп относительно операции f, то из равенства afx = afy необходимо следует, что x = y.

Однако обратное предложение не всегда остаётся верным. Другими словами: пусть в множестве A относительно алгебраической ассоциативной операции f из равенства afx = afy для любого элемента a следует, что x = y. Но при этих условиях множество A не обязательно должно быть группой относительно операции f. В самом деле, при соблюдении указанных условий, уравнения afx = b и yfa = b, заданные в A, могут оказаться неразрешимыми в множестве A относительно операции f.

Пример.


В множестве N натуральных чисел определена операция умножения, которая обладает свойствами алгебраичности и ассоциативности. По этой операции в множестве N всегда справедливо предложение: из ax = ay следует, что x = y.

Однако, вместе с этим справедливым предложением, остаётся верным и такое предложение: множество натуральных чисел не является группой по умножению, так как в этом множестве уравнение ax = b не всегда разрешимо.

Заметим, множество N натуральных чисел – бесконечное, что при рассмотрении данного вопроса, является существенным фактором. Именно, что означает условие: из afx = afy следует, что x = y? В данном множестве A по операции f это условие означает, что через эту алгебраическую операцию мы данное множество взаимно однозначно отображаем на его подмножестве: xb = afx.

Однако, подмножество элементов b = afx бесконечного множества A не обязательно должно равняться данному множеству A. Например, A = N, f – обычное умножение натуральных чисел. Зададим отображение: xb = 2x

В результате этого отображения элемент b заполняет множество чётных чисел 2N. Однако, N ≠ 2N, но .

Потому, из взаимно однозначного отображения множества A на его подмножество по закону: xb = afx, ещё не следует разрешимость уравнения afx = b в множестве A при любых значениях a и b из этого множества A, так как элементы b = afx , вообще говоря не могут исчерпать все элементы множества A, когда x пробегают все значения элементов множества A.

Такое явление для конечного множества, как мы убедимся, невозможно.

Для конечного множества справедлива следующая



Теорема. Если в конечном множестве определена такая алгебраическая операция f, по которой из равенства afx = afy всегда следует, что x = y, то в этом множестве всегда разрешимо уравнение afx = b и разрешимо уравнение yfa = b

Доказательство. Пусть в конечном множестве A = {x1, … , xn} определена алгебраическая операция f, по которой из afx = afy всегда следует x = y, где a - любой элемент множества A. Нам следует доказать, что при этих условиях в множестве A всегда разрешимо уравнение afx = b.

Для доказательства положим, что a и b – произвольные элементы множества A. Составим равенства:

afx1 = b1,

afx2 = b2,

………..


afxn = bn.

Элементы b1, b2, …, bnA, так как операция f – алгебраическая. Кроме того, из afxk = afxm следует, что k = m по условию теоремы. А это означает, что элементы b1, b2, …, bm заполняют всё множество А. Другими словами, это означает, что мы множество A взаимно однозначно отобразили на себя по формуле: xkbk = afxk, k = 1, 2, …, n. Это взаимно однозначное отображение множества A на себя характеризуется подстановкой его элементов, которая и утверждает, что для любых элементов a, biA, в множестве A существует элемент c = afxi, который является корнем уравнения afx = bi. Другими словами, уравнение afx = b разрешимо всегда в множестве A. Аналогично доказывается, что уравнение yfa = b всегда разрешимо в A. Это мы предлагаем провести самостоятельно.

Поясним доказательство теоремы хотя бы одним примером.

Пример. Нам дано конечное множество A = {1, –1, i, –i}, на котором определено умножение его элементов: Из теории комплексных чисел известно, что если число a ≠ 0, то из ax = ay всегда следует, что x = y.






1

–1

i

i

1

1

–1

i

–1

–1

–1

1

i

i

i

i

i

–1

1

i

i

i

1

–1

Это условие в множестве A выполнимо для любого элемента a. Следовательно, множество A можно всегда отобразить взаимно однозначно на себя по формуле: xb = ax. Тогда, полагая a = 1,-1, i, –i мы получим подстановки

a = 1: , a = – 1: ,

a = i: , a = – i: .

В каждой верхней строке стоят значения x, а в нижней строке – значения b при заданном значении a.

Имеем при заданном aA: какое бы значение b мы не имели найдётся значение x такое, что afx = b.

Другими словами, уравнение afx = b вида разрешимо.

Так как умножение на множество A коммутативно, то мы можем утверждать, что уравнение ya = b тоже всегда разрешимо.

Из доказанной теоремы вытекает следствие:

Если в непустом конечном множестве A определена ассоциативная алгебраическая операция, по которой из равенства afx = afy всегда следует, что x = y, то данное множество относительно операции f будет группой.

В самом деле при этих условиях множество A относительно операции f удовлетворяет всем аксиомам второго определения группы.

Таким образом мы получили необходимое и достаточное условие, при котором конечное множество A будет группой относительно внутренней бинарной операции f.

Именно: непустое конечное множество A будет группой относительно внутренней бинарной операции f , когда



  1. эта операция алгебраическая,

  2. эта операция ассоциативная,

  3. из равенства afx = afy следует x = y при всех значениях aA.

Ещё раз заметим, что эта теорема для множеств бесконечных места не имеет, как мы показали на множестве всех натуральных чисел.

Изучение конечных групп представляет собой одну из интереснейших и труднейших задач современной алгебры.



Замечание: Число элементов конечной группы называется её порядком.

Т.к. группа это множество непустое, то порядок конечной группы является число натуральное.

Утверждение: существует конечная группа любого порядка.

Действительно, группа первого порядка, содержит всего один элемент. С другой стороны, группа обязана иметь нейтральный элемент. Следовательно, группа первого порядка состоит всего из одного элемента, являющегося нейтральным элементом относительно групповой операции. Эту группу часто обозначают E = {e}

Пусть n – натуральное число большее 1.

Из теории комплексных чисел известно, что корней n-ой из комплексного числа z ≠ 0 ровно n штук. Если z = 1, то множество корней n-ой степени из 1 ровно n штук и относительно операции умножения это множество представляет группу. Другими словами, существует группа любого наперёд заданного порядка, большего или равного 2.


1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Похожие:

Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и коммуникаций
Учебно- методическое пособие для студентов-заочников направлений и специальностей Института информационных технологий и
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по Новой истории стран Азии и Африки Брянск, 2008 Сагимбаев Алексей Викторович. Учебно-методическое пособие по курсу «Новая история стран Азии и Африки»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения Исторического факультета, обучающихся по специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей. Предлагаемый практикум является учебно-методическим пособием нового типа. Он активизирует познавательную деятельность обучаемого
Педагогика: практикум. Учебно-методическое пособие для студентов педагогических колледжей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие по неорганической химии Алт гос техн ун-т им. И. И. Ползунова, бти. Бийск
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих курс "Неорганическая химия"
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов физико-математических специальностей вузов Балашов 2009 удк 004. 43 Ббк 32. 97
Данное учебно-методическое пособие состоит из лабораторных работ, которые условно можно разбить на несколько частей
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов 4 курса (озо, одо) специальности 050602. 65 «Изобразительное искусство»
О. А. Бакиева. Народный костюм Севера: Учебно-методическое пособие для студентов 4 курса очной и заочной формы обучения специальности...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для преподавателей и студентов санкт-Петербург 2008 г
Данное учебно-методическое пособие мы рассматриваем как одно из средств, способствующих конструированию новой образовательной среды,...
Учебно-методическое пособие для студентов гуманитарных направлений Саранск 2012 iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «Информатика»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «информатика», а также может использоваться...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org