Интегральное исчисление функций одной переменной

Интегральное исчисление функций одной переменной

1. 
   Первообразная функция, ее свойства. Определение неопределенного интеграла, его простейшие свойства.
   

Первообразной функции называется такая функция , что =.

Её свойства: 1) Пусть непрерывна, F(x) –первообразная .

(F(x)+C)'=F'(x)=f(x)F(x)+C

2) Если две первообразные для функции на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство:

Неопределенный интеграл- множество первообразных данной функции .

Его свойства: 1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. F’(x)=f(x), то и

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: или

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где а- некоторая постоянная. Действительно, в силу свойства 1) неопределенного интеграла и , т.е. выражения и являются неопределенными интегралами для одной и той же функции . Следовательно, они равны (в том смысле, что выражают одно и то же множество функций).

5) Неопределенный интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов, т.е. . Доказательство: Как и в предыдущем случае, найдем производные левой и правой частей равенства:

, Таким образом, производные от левой и правой частей равенства равны между собой. Следовательно, выражения

6) Если , то .

Действительно, . Обозначим через и вспомнив правило вычисления производной сложной функции, имеем .

2. 
   Интегралы некоторых элементарных функций (таблица интегралов).
   

3. 
   Метод подстановки или замена переменной в неопределенном интеграле.
   

4. 
   Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
   

5. 
   Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.
   

Любой многочлен с действительными коэффициентами можно записать в виде:

Простейшие дроби называются функции двух видов: 1)

2)

Всякая правильная дробь представима, причем единственным образом, в виде суммы простейших дробей. -неизвестные коэффициенты

6. 
   Алгоритм и интегрирования рациональных дробей.
   

2) Знаменатель дроби разложить на множители.

3) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.

4) Проинтегрировать простейшие дроби.

7. 
   Интегралы от простейших (элементарных дробей).
   

8. 
   Интегралы вида . Универсальная подстановка и другие подстановки.
   

Другие подстановки: 1)Интегралы типа .

а) подстановка , если n-целое положительное нечетное число;

б) , если m-целое положительное нечетное число

в) формулы понижения степени

г) , если m+n-есть четное отрицательное число

2) тригонометрические преобразования

3) дробно-линейная подстановка

9. 
   Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегралы вида:
   

10. 
    Тригонометрические и гиперболические подстановки. Интегралы вида:
    

11. 
    Интегрирование дифференциального бинома.
    

1. 
   Если p-целое.
   
2. 
   Если
   
3. 
   
   

1. 
   Если p-целое.
   

Пусть p- дробное число. Сделаем замену .

2) - целое число

Пусть . Используя замену , получаем:

3) целое число.

s- знаменатель числа p. Замена сводит интеграл

12. 
    Определение определенного интеграла, его простейшие свойства.
    

Можно сказать, что определенный интеграл существует, если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва.

Основные свойства определенного интеграла.

1. 
   Для любого действительного числа справедливо равенство
   

В самом деле, для любой интегральной суммы функции имеем

2. 
   Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b]. Тогда для любого действительного числа функция также интегрируема на [a;b] и выполняется равенство
   

Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Т.к интегральная сумма функции имеет вид

то .

Это означает, что функция интегрируема на [a;b] и справедлива формула

3. 
   Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и выполняется равенство:
   

4. 
   Если на отрезке [a;b] функции f(x) и g(x) интегрируемы и , то справедливо неравенство:
   

5. 
   Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в [a;b]. Кроме того, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и интегрируема на отрезке [c;b], то она интегрируема на отрезке [a;b] и справедливо равенство .
   
6. 
   Если на отрезке [a;b] выполняется неравенство
   

13. 
    Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
    

1. 
   Вычисление площади фигуры в декартовых координатах.
   

2. 
   Площадь фигуры в случае параметрического задания функций.
   

3. 
   Вычисление площади фигуры в полярных координатах
   

4. 
   Вычисление объема по известной площади поперечного сечения.
   

5. 
   Объем тела вращения
   

6. 
   Длина дуги кривой
   
7. 
   Длина дуги задана параметрически
   
8. 
   Длина дуги кривой в полярных координатах
   

9. 
   Площадь поверхности вращения:
   

1. 
   Задача о вычислении пути.
   

В общем случае, когда скорость непостоянна, поступают следующим образом.

Промежуток времени [a;b] разбивают точками на n отрезков одинаковой длины. Длина каждого отрезка равна

Выбрав на каждом отрезке произвольную точку , составляют сумму .

Каждое слагаемое этой суммы дает приближенное значение пути, пройденного материальной точки за некоторое время.

Весь путь, пройденный точкой за время от t=a до t=b, приближенно выражается этой суммой.

Путь, пройденный точкой за отрезок времени [a;b] будет:.

Этот предел, есть определенный интеграл от функции v(t) на отрезке [a;b] => путь будет равен:

.

2. 
   Задача о силе давления жидкости
   

Если пластина находится в горизонтальном положении на глубине h, то сила давления P жидкости будет равна весу столба жидкости , имеющего основанием данную пластину, а высотой h, т.е. ,где g- ускорение силы тяжести, S- площадь пластины.

Если же пластина погружена в жидкость вертикально, то по данной формуле силу давления жидкости на неё вычислить нельзя, т.к. в этом случае давление жидкости на единицу площади пластины изменяется с глубиной погружения, т.е зависит от расстояния площадки до поверхности жидкости.

При решении задач будем учитывать тот факт, что по закону Паскаля давление в жидкости передается одинаково во всех направлениях , в том числе и на вертикальную площадку.

Разобьем пластину на n частей (малых горизонтальных полосок) прямыми , параллельными поверхности жидкости (т.е параллельным оси Oy) и проходящими через точки где Для достаточно узких полосок давление во всех частях можно считать приближенно одинаковым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски..

Точное значение силы давления на пластину жидкости определяется по формуле

3. 
   Работа переменной силы.
   
4. 
   Вычисление статических моментов и координат центра масс плоской кривой.
   

14. 
    Свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.
    

В самом деле, для любой интегральной суммы функции имеем

2. 
   Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b]. Тогда для любого действительного числа функция также интегрируема на [a;b] и выполняется равенство
   

Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Т.к интегральная сумма функции имеет вид

то .

Это означает, что функция интегрируема на [a;b] и справедлива формула

3. 
   Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и выполняется равенство:
   

4. 
   Если на отрезке [a;b] функции f(x) и g(x) интегрируемы и , то справедливо неравенство:
   

5. 
   Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в [a;b]. Кроме того, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и интегрируема на отрезке [c;b], то она интегрируема на отрезке [a;b] и справедливо равенство .
   
6. 
   Если на отрезке [a;b] выполняется неравенство
   

Д-во:

при любом поэтому . Разделив эти неравенства на b-a, получим

Отсюда следует справедливость формулы *** . Действительно, так как функция f(x) непрерывна на [a;b], то она принимает любое значение из отрезка [m;M] и, в частности, значение, равное т.е существует такая точка что

Если же a>b, то , где , и теорема доказана