Интегральное исчисление функций одной переменной
-
Первообразная функция, ее свойства. Определение неопределенного интеграла, его простейшие свойства.
Первообразной функции  называется такая функция  , что  =  .
Её свойства: 1) Пусть  непрерывна, F(x) –первообразная  .
(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) F(x)+C
2) Если две первообразные для функции на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.
Доказательство:  
Неопределенный интеграл- множество первообразных данной функции  .
Его свойства: 1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. F’(x)=f(x), то и
2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: 
3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: или
4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где а- некоторая постоянная. Действительно, в силу свойства 1) неопределенного интеграла и , т.е. выражения и являются неопределенными интегралами для одной и той же функции . Следовательно, они равны (в том смысле, что выражают одно и то же множество функций).
5) Неопределенный интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов, т.е. . Доказательство: Как и в предыдущем случае, найдем производные левой и правой частей равенства:
, Таким образом, производные от левой и правой частей равенства равны между собой. Следовательно, выражения  gif" align=bottom> и представляют собой совокупность всех первообразных для одной и той же функции . Значит они равны.
6) Если , то .
Действительно, . Обозначим через и вспомнив правило вычисления производной сложной функции, имеем .
-
Интегралы некоторых элементарных функций (таблица интегралов).
-
Метод подстановки или замена переменной в неопределенном интеграле.
-
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
-
Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.
, где и -многочлены от х.
дробь правильная
дробь неправильная, тогда , где -многочлен, а -правильная дробь.
Любой многочлен с действительными коэффициентами можно записать в виде:
Простейшие дроби называются функции двух видов: 1) 
2)
Всякая правильная дробь представима, причем единственным образом, в виде суммы простейших дробей. -неизвестные коэффициенты
-
Алгоритм и интегрирования рациональных дробей.
Алгоритм взятия интеграла вида : 1) если дробь неправильная выделить целую часть
2) Знаменатель дроби разложить на множители.
3) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.
4) Проинтегрировать простейшие дроби.
-
Интегралы от простейших (элементарных дробей).
-
Интегралы вида . Универсальная подстановка и другие подстановки.
Вычисление неопределенных интегралов вида сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.
Другие подстановки: 1)Интегралы типа .
а) подстановка , если n-целое положительное нечетное число;
б) , если m-целое положительное нечетное число
в) формулы понижения степени
г) , если m+n-есть четное отрицательное число
2) тригонометрические преобразования
3) дробно-линейная подстановка
-
Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегралы вида:
и .
-
Тригонометрические и гиперболические подстановки. Интегралы вида:
-
Интегрирование дифференциального бинома.
, здесь m,n,p-рациональные числа.
Теорема П.Л.Чебышева.
Интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех случаях.
-
Если p-целое.
-
Если 
-
Рассмотрим подробно эти случаи:
-
Если p-целое.
Если обозначим через r-наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n, то получим:
Пусть p- дробное число. Сделаем замену .
2) - целое число
Пусть . Используя замену , получаем:

3) целое число.
s- знаменатель числа p. Замена сводит интеграл
к интегралу от рациональной функции t
-
Определение определенного интеграла, его простейшие свойства.
Пусть дана функция Если предел существует и не зависит от выбора точек , то функция называется интегрируемой на отрезке [a;b], а предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [a;b] и обозначается символом .
Можно сказать, что определенный интеграл существует, если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва.
Основные свойства определенного интеграла.
-
Для любого действительного числа справедливо равенство
В самом деле, для любой интегральной суммы функции имеем
, поэтому предел таких сумм при равен .
-
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b]. Тогда для любого действительного числа функция также интегрируема на [a;b] и выполняется равенство
,
Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Т.к интегральная сумма функции имеет вид
то .
Это означает, что функция интегрируема на [a;b] и справедлива формула
-
Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и выполняется равенство:
, т.е интеграл от суммы(разности) равен сумме(разности) интегралов.
-
Если на отрезке [a;b] функции f(x) и g(x) интегрируемы и , то справедливо неравенство:
-
Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в [a;b]. Кроме того, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и интегрируема на отрезке [c;b], то она интегрируема на отрезке [a;b] и справедливо равенство .
-
Если на отрезке [a;b] выполняется неравенство 
Где m и M некоторые числа, то .
-
Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла
-
Вычисление площади фигуры в декартовых координатах.
-
Площадь фигуры в случае параметрического задания функций.
-
Вычисление площади фигуры в полярных координатах
-
Вычисление объема по известной площади поперечного сечения.
-
Объем тела вращения
-
Длина дуги кривой
-
Длина дуги задана параметрически
-
Длина дуги кривой в полярных координатах
-
Площадь поверхности вращения:
Физический смысл Определенного интеграла.
-
Задача о вычислении пути.
Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью v=v(t). Требуется найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени от t=a до t=b.
В общем случае, когда скорость непостоянна, поступают следующим образом.
Промежуток времени [a;b] разбивают точками на n отрезков одинаковой длины. Длина каждого отрезка равна
Выбрав на каждом отрезке произвольную точку , составляют сумму .
Каждое слагаемое этой суммы дает приближенное значение пути, пройденного материальной точки за некоторое время.
Весь путь, пройденный точкой за время от t=a до t=b, приближенно выражается этой суммой.
будет тем лучше, чем меньше отрезки разбиения.
Путь, пройденный точкой за отрезок времени [a;b] будет: .
Этот предел, есть определенный интеграл от функции v(t) на отрезке [a;b] => путь будет равен:
.
-
Задача о силе давления жидкости
Пусть пластина в виде криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью .
Если пластина находится в горизонтальном положении на глубине h, то сила давления P жидкости будет равна весу столба жидкости , имеющего основанием данную пластину, а высотой h, т.е. ,где g- ускорение силы тяжести, S- площадь пластины.
Если же пластина погружена в жидкость вертикально, то по данной формуле силу давления жидкости на неё вычислить нельзя, т.к. в этом случае давление жидкости на единицу площади пластины изменяется с глубиной погружения, т.е зависит от расстояния площадки до поверхности жидкости.
При решении задач будем учитывать тот факт, что по закону Паскаля давление в жидкости передается одинаково во всех направлениях , в том числе и на вертикальную площадку.
Разобьем пластину на n частей (малых горизонтальных полосок) прямыми , параллельными поверхности жидкости (т.е параллельным оси Oy) и проходящими через точки где Для достаточно узких полосок давление во всех частях можно считать приближенно одинаковым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с высотой и основанием, равным нижнему основанию полоски..
Точное значение силы давления на пластину жидкости определяется по формуле 
-
Работа переменной силы.
-
Вычисление статических моментов и координат центра масс плоской кривой.
Координаты центра масс
5)Масса материальной точки
-
Свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.
Основные свойства определенного интеграла.
1) Для любого действительного числа справедливо равенство
В самом деле, для любой интегральной суммы функции имеем
, поэтому предел таких сумм при равен .
-
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a;b]. Тогда для любого действительного числа функция также интегрируема на [a;b] и выполняется равенство
,
Т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Т.к интегральная сумма функции имеет вид
то .
Это означает, что функция интегрируема на [a;b] и справедлива формула
-
Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и выполняется равенство:
, т.е интеграл от суммы(разности) равен сумме(разности) интегралов.
-
Если на отрезке [a;b] функции f(x) и g(x) интегрируемы и , то справедливо неравенство:
-
Пусть функция f(x) интегрируема на [a;b], тогда она интегрируема на любом отрезке, содержащемся в [a;b]. Кроме того, если функция f(x) интегрируема на отрезке [a;c] и интегрируема на отрезке [c;b], то она интегрируема на отрезке [a;b] и справедливо равенство .
-
Если на отрезке [a;b] выполняется неравенство 
Где m и M некоторые числа, то .
Теоремы об оценке и о среднем значении.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда на этом отрезке существует такая точка c, что ***
Д-во:
Если a=b, то эта формула очевидна. Пусть a при любом поэтому . Разделив эти неравенства на b-a, получим
Отсюда следует справедливость формулы *** . Действительно, так как функция f(x) непрерывна на [a;b], то она принимает любое значение из отрезка [m;M] и, в частности, значение, равное т.е существует такая точка что 
Если же a>b, то , где , и теорема доказана
|