Лекция Интегрирование функций комплексного переменного



Скачать 29.81 Kb.
Дата26.07.2014
Размер29.81 Kb.
ТипЛекция
Лекция 5. Интегрирование функций комплексного переменного.
План лекции:

  1. Интеграл от функции комплексного переменного.

  2. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей.

  3. Вычисление интеграла от регулярной функции.

  4. Интегральная формула Коши.


Содержание лекции:
Вопрос 1. Интеграл от функции комплексного переменного.

Понятие интеграла от функции комплексного переменного, основные свойства этих интегралов и формулы интегрирования элементарных функций почти не отличается от основных понятий и свойств интегралов функций действительного переменного. Но определенный интеграл регулярной функции комплексного переменного обладает свойством, присущим не всем криволинейным интегралам функций действительного переменного: в односвязной области интеграл от регулярной функции не зависит от пути интегрирования.

Перейдем к понятию интеграла от функции комплексного переменного.


Рассмотрим в комплексной плоскости z кривую с начальной точкой z0 и конечной точкой z. Предположим, что функция непрерывна во всех точках кривой. Разобьем кривую произвольным образом на n элементарных дуг и занумеруем точки деления zk в направлении от начальной точки к конечной. Введем обозначения:




Число изображается вектором, идущим из точки zk-1 в точку zk, а - длина этого вектора, т.е. длина хорды, стягивающей соответствующую элементарную дугу. Возьмем на каждой элементарной дуге по одной точке и обозначим эти точки



. Составим сумму:

Предел этой суммы при называется интегралом от функции по рассматриваемой кривой Г: .

Таким образом, понятие интеграла от функции комплексного переменного вводится для кривой сходно с понятием криволинейного интеграла от функции двух действительных переменных.

Более того, интеграл от функции комплексного переменного может быть выражен через криволинейные интегралы. Действительно, если , то



Аналогично, если , то



, причем , .

Но тогда каждое слагаемое интегральной суммы можно представить в виде:



Поэтому



.

Итак, (1)
Замечания:

  1. Кривая Г может быть замкнутой. В этом случае интеграл обозначается символом

Положительным считается обход контура против часовой стрелки.

  1. Пусть кривая Г задана параметрически: , . (2)

Как известно из метода вычисления криволинейных интегралов, подставив под знак интеграла вместо x и y функции, стоящие в правых частях уравнений (2), а вместо dx и dy – дифференциалы этих функций, можно свести вычисление криволинейных интегралов в правой части (1) к вычислению определенных интегралов с нижним пределом t0 и верхним пределом Т. С другой стороны, уравнения (2) равносильны одному уравнению в комплексной форме z=z(t) , где , и подстановка в правую часть формулы (1) вместо x и y функций, стоящих в правой части (2), а вместо dx и dy –дифференциалов этих функций равносильна подстановке в левую часть формулы (1) вместо z выражения z(t), а вместо dz – дифференциала этой функции.
Итак,
Рассмотрим теперь свойства интеграла от функции комплексного переменного:

  • интеграл от суммы двух функций комплексного переменного равен сумме интегралов от каждой из этих функций

  • постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак интеграла .

  • если контур интегрирования Г разбить на конечное число контуров Г12,…,Гn, то .

  • интеграл изменит знак, если изменить направление обхода контура интегрирования

  • , где z0 – начальная точка Г, z – конечная точка Г.

  • (теорема об оценке модуля интеграла) Если наибольшее значение модуля на контуре Г есть М (), а длина контура Г равна l, то

Похожие:

Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconУчебная программа Дисциплины р1 «Теория функций комплексного переменного»
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconУчебная программа Дисциплины р2 «Теория функций комплексного переменного» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород 2011 г
Дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями...
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconРабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного
Воспитание достаточно высокой математической культуры; развитие навыков использования понятий и методов теории функций комплексного...
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconРабочая программа курса «Теория функций комплексного переменного»
«Теория функций комплексного переменного» для специальности 220600 «Организация и технология защиты информации»
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconКонтрольные вопросы по курсу «Теория функций комплексного переменного»
Контрольные вопросы предназначены для проверки знаний студентов по теории функций комплексного переменного и представлены в виде...
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconРабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» предназначена для студентов 2 курса по специальности
Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного»
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconПрограмма дисциплины «Теория функций комплексного переменного (тфкп)»
Рабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» [Текст]/Сост. Шварцман О. В.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 7...
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconПрограмма дисциплины «Теория функций комплексного переменного (тфкп)»
Рабочая программа дисциплины «Теория функций комплексного переменного» [Текст]/Сост. Шварцман О. В.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 7...
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconЛекция Производная функци комплексного переменного. План лекции
Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции
Лекция Интегрирование функций комплексного переменного iconПрактикум по теории функций комплексного переменного нижний Новгород 2005 г
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «При- кладная математика и информатика». Первая часть включает...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org