Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств



Скачать 29.57 Kb.
Дата26.07.2014
Размер29.57 Kb.
ТипДокументы
Приложение 6
3 уровень
Задание 1

Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств

Решение:
При фиксированном при :

В точках х = 1 и х = -1 f(x) = 0,

Т.е. предельная функция .


Рассмотрим при , т.е. сходимость равномерная на всем отрезке , т.е. на множествах Е1 и Е2.

Задание 2

Исследовать равномерную сходимость ряда на множестве .

Решение:
Применим признак Дирихле. Для этого представим исходный ряд в виде:


Последовательность bn(x) монотонно сходится к 0, т.к. , а последовательность с общим членом монотонно сходится к 0.

Оценим последовательность частичных сумм ряда:

т.к. на , то имеет конечное значение. Условия признака Дирихле выполнены.

Ряд сходится равномерно.
Задание 3

Найти область существования функции и исследовать ее на непрерывность.
Решение:
С учетом того, что , получаем:

Т.к. ряд сходится, то - сходится равномерно на R по мажорантному признаку. Можно сделать вывод о непрерывности на R предельной функции.

Задание 4

Найти множество сходимости ряда и исследовать дифференцируемость во внутренних точках множества.
Решение:
При gif" align=bottom> общий член ряда не стремится к 0 – не выполняется необходимое условие сходимости, ряд расходится.

Рассмотрим ряд .

Применим к нему признак Даламбера: . Этот ряд будет сходиться при .

Подставим в ряд точки . Оба ряда будут сходиться, т.к. , а ряд с общим членом сходится.

Таким образом, область сходимости .

Исследуем дифференцируемость ряда:



Этот ряд сходится во всех точках Е (по признаку Даламбера см. выше).

Для любой внутренней точки х0 можно указать х = q; чтобы ряд сходился. При этом на (-q; q) ряд из производных сходится равномерно.

Таким образом, исходный ряд сходится к дифференцируемой функции S(x).
Задание 5

Показать, что ряд допускает почленное интегрирование на [2, 10] и найти получаемый при этом числовой ряд.
Решение:


- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (сходится равномерно), первый член равен e-x, знаменатель прогрессии равен е.

Можно сделать вывод о равномерной сходимости ряда на [2, 10], значит на этом отрезке возможно почленное интегрирование ряда:

Задание 6

Используя известные разложения элементарных функций и методы дифференцирования и интегрирования, разложить функцию в степенной ряд с центром в точке х0 = 0. Найти радиус сходимости полученного ряда.
Решение:

Заметим, что

Обозначим .

Тогда:

Известно разложение

Для нашего случая получаем:





Окончательно:



Для ряда , радиус сходимости , для

Похожие:

Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств iconИсследовать сходимость знакоположительных рядов
Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать абсолютно или условно
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств icon1, Исследовать на абсолютную и условную сходимость Проверим на абсолютную сходимость
Интеграл расходящийся, следовательно, и ряд – расходящийся. Абсолютной сходимости нет
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств iconПрограмма вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010200. 68 – Математика. Прикладная математика «Математический анализ»
Основные свойства: единственность предела; ограниченность сходящейся последовательности; сходимость подпоследовательности сходящейся...
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств iconДифференциальные уравнения
Сформулировать и доказать признаки Коши и Даламбера сходимости рядов с положительными членами. Исследовать на сходимость ряд
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств iconСписок вопросов по курсу «Дискретная математика» для направления 230102
Диаграммы Венна. Классификация множеств. Пересечение множеств. Объединение множеств. Свойства пересечения и объединения множеств....
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств iconВопросы к экзамену по математической статистике для гр, К5-221-224
Неравенство Чебышева. Сходимость по вероятности последовательности случайных величин
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств iconЧисловые последовательности
Кратко ее обозначают символом называется общим членом последовательности. Т. к члены последовательности действительные числа, то...
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств icon1. Найти область сходимости степенного ряда и исследовать ряд на концах интервала
Исследуем сходимость ряда на границах промежутка, т е для тех х, для которых =1
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств icon12 поточечная сходимость функционального ряда
...
Исследовать равномерную сходимость последовательности на каждом из множеств iconЗадачи 1 Теория множеств [36]. №№3, 12, 19, 10. 10
Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду помощью основных законов алгебры множеств
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org