Комбинаторика и элементы теории вероятностей
|
Скачать 49.93 Kb.
|
| ТЕМА № 3. КОМБИНАТОРИКА И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А.А.Маркова(1856—1922) и А. М.Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам. Элементы комбинаторикиПусть задано множество, содержащее конечное число элементов. (Студенты в группе, яблоки в корзине, набор костей домино и т.д.) Такие множества будем называть конечными и обозначать {a,b,c,d}. Если каждому элементу конечного множества поставлены в соответствие натуральные числа, то такое упорядоченное множество называется перестановкой и обозначается (a,b,c,d). Сколько перестановок можно составить из n-элементного множества? Из трехэлементного 6: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a). Число перестановок из n-элементного множества вычисляется по формуле: Рn = n!, где n! - произведение n(n - 1)(n - 2)(n - 3)…3*2*1. Полезна рекуррентная формула Pn = n*Pn-1. Прост и комбинаторный смысл числа перестановок: сколькими способами можно упорядочить конечное n-элементное множество. Размещением из n по k называется упорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. По смыслу определения ясно, что k  n. Число размещений из n по k обозначается  . Очевидно, что  = Рn = n!,  =n*(n – 1),  =n*(n –1)*(n–2 )  =n*(n – 1)*(n – 2)*(n – 3) и т.д. - это произведение k старших сомножителя натурального числа n, т. е.= n*(n – 1)*(n – 2)*…*(n – k + 1) (*). Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу: = n(n –1)(n – 2)(n –3)…3*2*1, т.е. k старших сомножителя числа n.Сочетанием из n по k называется неупорядоченное k-элементное подмножество n-элементного множества. По смыслу определения ясно, что k n. Число сочетаний из n по k обозначается  . Очевидно, что неупорядоченных подмножеств n-элементного множества в k! меньше чем упорядоченных подмножеств, т.е. = (*)Помножая и деля это выражение на (n – k)! можно получить еще формулу:  ;На практике, для вычисления используют формулу (*)Некоторые важные свойства числа сочетаний, которые необходимо применять при решении различных задач: 1)  =  = 1; 2)  = n; 3)  =  - эту формулу удобно применять при k > n/24) + +  +  + … +  = 2n; 5) +  =  - рекуррентная формула.Элементы теории вероятностейКлассическое определение вероятности Наблюдаемые нами события можно разделить на достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Случайным называют событие, которое может произойти, либо не произойти, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Т.е. под случайным событием, связанным с некоторым опытом, будем понимать всякое событие, которое либо происходит, либо не происходит при осуществлении этого опыта. Вместо слов «осуществлена совокупность условий» зачастую говорят «произведено испытание». События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Система событий образует полную группу для данного испытания, если любым исходом его является одно или только одно событие этой группы. Возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания называются элементарными исходами испытания. Исход испытания называется благоприятствующим некоторому событию, если в результате этого исхода появляется указанное событие. События называются равновозможными, если нет оснований считать одно из них более или менее возможным, чем остальные. Вероятностью Р(А) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу n всех возможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу, т.е Р(А) =  Свойства вероятности:
Таким образом, вероятность любого события А удовлетворяет неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1. Относительная частота и статистическая вероятностьКлассическое определение вероятности при переходе от простейших примеров к сложным задачам наталкивается на трудности принципиального характера. Во-первых, число элементарных исходов испытания не всегда конечно, во-вторых, очень часто невозможно представить результат в виде совокупности элементарных исходов, в-третьих, трудно указать основания, позволяющие считать элементарные исходы равновозможными. Поэтому используют также статистическое определение вероятности. Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось, к общему числу n фактически проведенных испытаний, т.е. W (A) = .При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, которая состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число называется вероятностью события А в статистическом смысле. Для осуществления статистической вероятности события А требуется: а) возможность хотя ба принципиально, проводить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; в) устойчивость относительной частоты события А в различных сериях большого числа испытаний. |
Похожие:
 | А. В. Гончар Элементы теории вероятностей Учебное пособие предназначено для студентов, преимущественно экономических специальностей, изучающих теорию вероятностей в рамках... | | «Теория вероятностей» Элементы теории множеств В четвёртом семестре в курсе «Высшая математика» изучаются два основных раздела «Теория вероятностей» и «Элементы линейного программирования».... |
| Лабораторная работа №6 Определение массы навески. Знакомство со статистическим анализом Элементы теории вероятностей Попробуем разобраться с логическими основами методов статистического анализа. И начнем с элементов теории вероятностей, которая является... | | Решение комбинаторных задач Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с использованием его в теории вероятностей,... |
| Вопросы по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" Предмет теории вероятностей, два признака случайного явления, постулат теории вероятностей. Примеры построения пространств элементарных... | | Элементы теории вероятностей |
 | Рабочая учебная программа По дисциплине: Избранные главы теории вероятностей По направлению: 010900 «Прикладные математика и физика» Цель дисциплины – освоение студентами избранных глав теории вероятностей, в частности, теории массового обслуживания и теории случайных... | | Теория вероятностей Предмет и методы теории вероятностей, ее основные этапы развития. Несколько современных задач. [3, Дополнение. “Очерк развития теории... |
| Задачи по теории вероятностей с решениями Комбинаторика ... | | Учебно-методический комплекс дисциплины математика Аналитическая геометрия и линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисления; ряды; дифференциальные уравнения, элементы... |