Разложение квадратного трехчлена на множители



Скачать 227.09 Kb.
Дата26.07.2014
Размер227.09 Kb.
ТипУрок


Тема урока: Разложение квадратного трехчлена на множители.

Цели урока:

  • Ввести понятие квадратного трёхчлена. Получить формулу разложения квадратного трёхчлена на множители, научить пользоваться данной формулой при решении упражнений.

  • Развивать умение соотносить, распознавать, сопоставлять, анализировать данные, критически оценивать результаты поиска. Умение производить исследования в простейших учебных ситуациях имеет большое значение для развития продуктивного мышления и активизации познавательной деятельности учащихся.

  • Воспитывать трудолюбие, самостоятельность, усилить внимание развитию продуктивного мышления.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.


  1. Дайте определение квадратного уравнения.

  2. сколько корней имеет уравнение , где ?

  3. Имеет ли уравнение , где , действительные корни?

  4. Какие квадратные уравнения называются неполными?

  5. Как решается уравнение ?

  6. Как решается уравнение ?

  7. Как решается уравнение ? Всегда ли оно имеет решение?

  8. Сформулируйте и запишите формулы квадрата суммы и разности двух одночленов.

  9. Какое выражение называется дискриминантом? Для чего оно нужно?

  10. Как зависит число корней квадратного уравнения от дискриминанта?

  11. Запишите формулу корней квадратного уравнения в общем виде.

  12. Какое квадратное уравнение называется приведенным?

  13. Сформулируйте и запишите теорему Виета.

1. Сколько корней имеет уравнение:

а) 2x²+5x-7=0;

б) 4x²+4x+1=0;

в) x²-x+4=0?

2. Решите уравнения:

а) x²=4;


б) 25x²=9;

в) x²+3x=0.

3. Методом подбора найдите корни квадратного уравнения:

а) x²+5x+6=0; в) x²-6x+5=0;

б) x²-7x+12=0; г) x²+8x+7=0.
4. Изучение нового материала.

Определение: Многочлен вида ax2+bx+c, где а≠0 называют квадратным и трехчленом.

Пример: 2х2-7х+6; -х2-√2х-12; х2-25.

Давайте, сравним общий вид квадратного уравнения и квадратный трехчлен. Приходим к выводу, что корни квадратного трехчлена и квадратного уравнения общего вида совпадают. Поэтому квадратный трехчлен может иметь корни, так же как и квадратное уравнение и их количество зависят от значения дискриминанта квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен, имеющий корни, можно разложить на множители.

Рассмотрим конкретный пример. Применим способ группировки: разложим квадратный многочлен х2-5х+6 на множители. По формулам Виета найдем корни, они соответственно равны 2 и 3.

х2-5х+6=х2-(2+3)х+2*3=х2-2х-3х+2*3=х(х-2)-3(х-2)=(х-2)(х-3).

Разложим теперь на множители трехчлен:

2-10х+12. Он имеет те же корни, что и х2-5х+6. Поэтому 2(х2-5х+6)=2(х-2)(х-3).

В общем случае:

Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2-bx+c, то ах2-bx+c=а(х-х1)(х-х2) (1).

Для доказательства проведем преобразование правой части равенства (1), воспользовались теоремой Виета, выполнив подстановку х12=-b/a и х12=с/а.

а(х-х1)(х-х2)=а(х21х-х2х+х1х2)=а(х2-(х12)х+х1х2)=а(х2+bх/a+с/а)=ах2+bx+с.

Итак, если квадратный трехчлен имеет корни, то он раскладывается на множители. Верно и обратное утверждение: если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни. Это обратное утверждение можно сформулировать по другому: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

5. Упражнение «Чудо-нос».

После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.

Выполним задание,

Задержим дыхание.

Раз, два, три, четыре –

Снова дышим:

Глубже, шире…

глубоко вдохнули.

спину потянули,

руки вверх подняли

радугу нарисовали

повернулись на восток,

продолжаем наш урок.

6. Закрепление нового материала.

Рассмотрим примеры, которые решены в пункте учебника.

Учащиеся знакомятся с решениями примеров, учитель дает соответствующие пояснения. Затем выполняют № 874(2, 3), 707(1, 2) с использованием теоремы Виета.

Решение № 708(1, 2) вычисление дискриминанта учащиеся выполняют в парах, затем проводится проверка (на боковой доске заранее записаны ответы).

Решение № 711(1, 2) учащиеся поочередно выходят к доске и с помощью учителя выполняют разложение трехчленов на множители.

Самостоятельная работа

І вариант ІІ вариант

Сократить дробь:

Подведение итогов урока. Оценивание учащихся.



Рефлексия. Итоги урока. Д/з.

1. Сегодня я узнал…….

2. Было интересно……

3. Было трудно…….

4. Я выполнял задание….

5. Я понял что…….

6. Теперь я могу…….

7. Я почувствовал что…..

8. Я приобрёл….

9. Я научился…….

10. У меня получилось………

11. Я смог….

12. Я попробую……

13. Меня удивило…..

14. Урок дал мне для жизни….

15. Мне захотелось….

Выучить п.20, решить № 710(1-4), 708(3, 4), 712(1)
Тема урока: Решение уравнений, которые сводятся к квадратным.

Цели урока:


  • образовательная: опираясь на предыдущий опыт учащихся по решению квадратных уравнений, закрепить умение решать уравнения, приводимые к квадратным способом подстановки и определять, какую подстановку рациональнее делать.

  • развивающая: способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы.

  • воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята.

Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,


Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.

2. Мотивация урока.

Эпиграфом нашего урока являются слова Галилео Галилей «Без упорного умственного труда никто не может далеко продвинуться в математике. Но каждый, кому знакома радость познания, кто увидел красоту математики, не будет жалеть затраченных усилий». Для того чтобы успешно решать уравнения, сводящиеся к квадратным, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых квадратных уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы. И. П. Павлов «Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее»



3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

Тест «Продолжить фразу» (последующая самопроверка и оценка знаний).



  1. Квадратным уравнением называется уравнение вида …

  2. Корни квадратного уравнения находятся по формуле …

  3. Количество корней квадратного уравнения зависит от …

  4. Приведённым квадратным уравнением называется уравнение вида …

  5. Способы решения квадратных уравнений: …

  6. Какие уравнения называются дробными рациональными?

  7. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

  8. Основное свойство пропорции.

  9. Когда дробь равна 0?

Решение уравнения x-8x -9 = 0 известными способами.

Решить № 709(2, 5, 11), 711(3).



4.Изучение нового материала.

Решение № 733(1, 2, 4)


Предложите способы решения следующего уравнения:

Составление алгоритма решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Алгоритм решения:


  • Ввести замену переменной

  • Составить квадратное уравнение с новой переменной

  • Решить новое квадратное уравнение

  • Вернуться к замене переменной

  • Решить получившиеся квадратные уравнения

  • Сделать вывод о числе решений уравнения

  • Записать ответ

5. Релаксация: “Поза покоя”

Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать,

Прыгать, бегать, рисовать,

Но пока не все умеют

Расслабляться, отдыхать.

Есть у нас игра такая –

Очень лёгкая, простая,

Замедляется движенье,

Исчезает напряжение…

И становится понятно –

Расслабление приятно!



6. Закрепление нового материала.

«Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил». Л.Н. Толстой.

Решение № учащиеся поочередно выходят к доске и с помощью учителя выполняют разложение трехчленов на множители.

7. Самостоятельная работа

Работа в парах № 733(5)



8. Рефлексия. Итоги урока. Д/з.

Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии

1 строчка – квадратное уравнение;

2 строчка – 2 прилагательных;

3 строчка – 3 глагола;

4 строчка – предложение, выражающее личное отношение.

Д/з. Решить № 710(5), 712(2), 734(1, 2, 3).
Уроки по теме «Решение биквадратных уравнений»

Цели урока:


  • Образовательные: Познакомить учащихся с понятием биквадратное уравнение и способом его решения.

  • Развивающие: Развивать умения применять теоретические знания на практике. Развивать познавательную активность, мышление, внимание и память, умение слушать товарища, математическую речь.

  • Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, аккуратности, дисциплинированности, умение общаться.

Ход урока.

1. Организационный этап.

Учитель. Добрый день, дорогие ребята!

Тем, кто учит математике,

Тем, кто учит математику,

Тем, кто знает и любит математику,

И тем, кто ещё не знает, что он любит математику,

Работать сегодня на уроке.

2. Мотивация урока.

Ребята, а какие ассоциации у вас вызывает слово «урок»? Давайте разложим его по буквам.

У – успех,

Р – радость,

О – одаренность,

К – коллектив.

Надеюсь, что сегодня на уроке нас ждет и успех, и радость. И мы, работая в коллективе, покажем свою одарённость.

Будьте внимательны в течение урока. Думайте, спрашивайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе.



3. Актуализация изучения темы.
Этап – I: «Определение квадратного уравнения; неполные уравнения».

Определение:

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + bx +c = 0,


где коэффициенты a,b,c – любые действительные числа, где а http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image002.gif.

а – первый или старший коэффициент.
b – второй коэффициент.
c – свободный член.

Квадратное уравнение полное

Приведенное квадратное уравнение

ах2 + bx +c = 0

х2+http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image004.gif

Неполное квадратное уравнение

ahttp://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image002_0000.gif, b = 0, c = 0
ax2 = 0
x = 0

ahttp://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image002_0001.gif, bhttp://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image002_0002.gif, c = 0
ax2 +bx = 0
x(ax+b)=0

http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image007.gif

ahttp://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image002_0003.gif, b = 0, chttp://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image002_0004.gif
ax2 +c =0
x2 = -http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image009.gif
x1,2 =http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image011.gif, http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image009_0000.gif<0

3. Этап – II. «Формула корней квадратного уравнения»

Квадратное уравнение: ax2 + bx + c =0

Дискриминант: D = b2 – 4ac.

Алгоритм решения квадратного уравнения общего вида

Условие

Решение

D < 0

Уравнение не имеет корней

D = 0

Уравнение имеет один корень: x = -http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image014.gif.

D < 0

x1 = http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image016.gif, x2 =http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image018.gif.

4. Этап – III. «Теорема Виета»

Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q =0

Дискриминант: D = p2 – 4q.

Теорема Виета для приведенного уравнения:

«Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,


взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену»:

x1 + x2 = - р; x1x2 = q

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:

x1 + x2 = -http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image020.gif; x1x2 = http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image009_0001.gif

Обратная теорема Виета:

Если числа x1 и x2 таковы, что x1 + x2 = - р; x1x2 = q,


то эти числа – корни уравнения  x2 + px + q =0.

Самостоятельная работа:



  • Вариант 1: № 708(3), 710(5), 711(4)

  • Вариант 2: № 708(4), 710(6). 711(5).

Решить № 733(3, 4).

4.Изучение нового материала.

Этап IV. «Биквадратные уравнения» 



Биквадратное уравнение: ax4 + bx2 + c = 0

Алгоритм решения

1.

Сделать замену переменной:

x2 = t

2.

Получится:

at2 + bt + c = 0

3.

Найти корни квадратного уравнения:

t1,2 = http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image023.gif

4.

Обратная подстановка:

http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image025.gif

5.

Если tk < 0
Если tk > 0
Если tk = 0

Корней нет
x = http://festival.1september.ru/articles/550564/full_clip_image027.gif
x = 0

Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений.

Вопросы:

  1. Покажите общий вид биквадратного уравнения.

  2. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения.

  3. Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

Рассмотреть решение примера 1 стр.188 учебника.

sp2.gif

5.Закрепление нового материала.

Решить № 731(1-3).

6. Релаксация: “Поза покоя”

Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать,

Прыгать, бегать, рисовать,

Но пока не все умеют

Расслабляться, отдыхать.

Есть у нас игра такая –

Очень лёгкая, простая,

Замедляется движенье,

Исчезает напряжение…

И становится понятно –

Расслабление приятно!



7. Самостоятельная работа учащихся.

Решить № 731(4).



8. Постановка домашнего задания.

Прочитать п.21 из учебника, разобрать примеры.

Решить № 734(3, 4), 732(1-3)..

9. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с биквадратным уравнением, способом его решения путем введения новой переменной, научились решать эти уравнения, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы.

Учитель формулирует незаконченное предложение, а учащимся предлагается продолжить по итогам своей деятельности во время урока:

«Сегодня на уроке я узнал …»

« Наиболее трудным для меня было…»

«Больше всего мне понравилось…»

«Завтра я буду более успешным, потому что…»

Ответы учащихся позволят учителю иметь представление о характере трудностей, которые испытывают учащиеся во время изучения рассматриваемой темы, а также будут формировать состояние успеха у учащегося.

Всем спасибо, урок окончен.
Тема урока: Решение уравнений, которые сводятся к квадратным.

Цели урока:


  • образовательная: опираясь на предыдущий опыт учащихся по решению квадратных уравнений, закрепить умение решать уравнения, приводимые к квадратным способом подстановки и определять, какую подстановку рациональнее делать.

  • развивающая: способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы.

  • воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение

Ход урока.

1. Организационный момент.

Кто сказал, что математика скучна,

Что она сложна, суха, тосклива?..

В этом вы не правы господа,

Знайте: математика – красива!
Нет неблагодарнее занятья,

Чем красоту словами объяснять.

Не любить её нельзя, я точно знаю:

Можно только знать или не знать.

(О. Панишева)

2. Мотивация урока.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. «Умение решать задачи– такое же искусство, как умение плавать и бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения». Д. Пойа



3. Актуализация изучения темы.

Вопросы:



    • Какое уравнение называется квадратным?

    • Запишите формулу корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

    • Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта?

    • Какое квадратное уравнение называется биквадратным? Способы его решения.

    • Сформулируйте теорему Виета.

    • Дайте определение квадратного трехчлена.

    • Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на множители?

  1. Решение уравнений, которые сводятся к квадратным.

Решите уравнение:







  • Решить уравнения № 739(1), 732(5, 6), 735(1), 737(1)

  • Решить задачу № 759.

Закрепить алгоритм решения уравнений, приводимых к квадратным:

  • 1.Заменить одинаковые выражения новой переменной.

  • 2. Привести уравнение, относительно новой переменной, к квадратному.

  • 3.Найти корни квадратного уравнения (если они есть).

  • Вернуться к прежней переменной.

  • Решить уравнения, определяемые подстановкой.

  • Записать корни исходного уравнения.

5. Физкультминутка для глаз.

Встали.


Подняли руки вверх и потянулись…

Быстро поморгали.

Закрыли глаза и постояли спокойно, медленно считая до 5.

Повторить 4 раза



  1. Повернулись к окну.

Крепко зажмурили глаза (считать до 3)

Открыли глаза и посмотрели вдаль (считать до 5)

Повторить 4 раза.


  1. Вытянули правую руку вперёд.

Следим глазами, не поворачивая головы, за медленными движениями указательного пальца вытянутой руки влево-вправо-вверх-вниз.

Повторить 4 раза.



  1. Посмотрели на указательный палец вытянутой руки (считаем до 4).

Перенесли взор вдаль (считаем до 6).

Повторить 4 раза.



  1. В среднем темпе делаем галазами круговые движения вправо. (3-4 раза)

Теперь влево. (3-4 раза)

Расслабили мышцы глаз посмотрели вдаль (считаем до 6)

Повторить 2 раза.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Решить № 737(2)



8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Решить № 738(1), 740(1), 735(1), 762.



  • Что мы сегодня изучали на уроке?

  • Какой новый способ решения уравнений вы узнали?

  • В чём заключается метод введения новой переменной?

  • Каков алгоритм этого метода?

  • Показался ли вам этот метод трудным, неудобным?

  • Для всех ли уравнений его можно применить?

Дуглас Мэллох
Если ты не можешь быть сосной
на вершине холма,
Будь маленьким деревцем в долине,
но только самым лучшим деревцем.
Будь кустиком, если не можешь быть деревом.
Будь травой у дороги и дай отдых усталому путнику,
Если не можешь быть кустиком.

Если ты не можешь быть китом,


будь самым красивым окунем в озере!
Все мы не можем быть капитанами,
кто-то должен быть и матросом.
Для всех найдется работа на корабле жизни, только найди свое дело.
Работа может быть большой и малой.
Мы должны делать то, что неотложно.

Если ты не можешь быть широкой дорогой, будь узенькой тропинкой.


Если ты не можешь быть солнцем,
будь звездой на небе.
Только найди свое дело и старайся
стать самым лучшим!
Проявляй лучшее, что в тебе есть.

Тема урока: Применение квадратных уравнений при решении текстовых задач.

Цели урока:

♦ практическое закрепление знаний и умений учащихся решать квадратные уравнения;

♦ показать учащимся применение квадратных уравнений в ходе решения задач;

♦ повышение интереса учащихся к предмету через межпредметные связи с другими учебными предметами.



Ход урока.

1. Организационный момент.

Громко прозвенел звонок-

Начинается урок.

Здравствуйте! Садитесь!

Все мне улыбнитесь!

Квадратные уравнения повторяем,

Способы решения обобщаем!

Слушаем, запоминаем,

Ни минутки не теряем.

2. Мотивация урока.

Эпиграфом нашего урока являются слова Генри Форда «Залогом успеха является, в первую очередь, хорошая подготовка»; они имеют отношение не только к предпринимательской деятельности, но и к учебной, в том числе и к изучению математики. Для того чтобы успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений, сводящихся к квадратным, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых квадратных уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы.



3. Актуализация изучения темы. Проверка д/з.

Вопросы:

  • Какие уравнения называются квадратными?

  • Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

  • Что значит полные и неполные квадратные уравнения?

  • Какие уравнения на доске являются квадратными? Почему?

  • Почему оставшиеся уравнения не являются квадратными?

  • Как называются коэффициенты а, в, с в полном квадратном уравнении?

  • Назвать все старшие коэффициенты в данных уравнениях;

  • В каком уравнении нет второго коэффициента?

  • В каком уравнении есть только старший коэффициент?

  • В каких уравнениях отсутствует свободный член?

Просим Вас ответить на данные вопросы.

Решение заданий:

  1. Подчеркните одной чертой первый коэффициент, двумя чертами – второй, тремя – свободный член.

а) б) в) г) д) е)

  1. Укажите неполные квадратные уравнения из задания 1. (для «слабых учеников).

  2. Решите уравнения:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)



  1. Найдите дискриминант квадратного уравнения: а) б)

  2. Решите квадратные уравнения:

1) 2) 3)

4) 5) 6)



  1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

  2. Сократите дробь:

  3. Решите уравнение:

4.Лирическая пауза.

Греческий математик

Диофант Александрийский

В третьем веке проживал,

Даром время не терял.
Задачи решали тогда

Ни как в наши времена.

Путем построения-

Циркуль, линейка!

Попробуй, реши-ка,

Осиль неумейка.


Диофант смекалку проявил

Много нового в науке открыл.

Он ввел обозначения неизвестной величины,
Чтобы его уравнения решать все могли.

А также знак равенства-

как без него,

И методы решения

алгебраического уравнения-

заслуга его.

Если хочешь больше о Диофанте узнать,

Можно в Интернете, энциклопедиях почитать.



5.Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Задача 1

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?







Скорость, км/ч

Время,

ч


Путь,

км


Автобус

Х

60/Х

60

Такси

Х+10

60/(Х+10)

60

Уравнение;

(В тетрадях сделать подробную запись решения.)

720(х+10) – 720х= х (х+10)

Ответ; 80км/ч

Вопросы по решению;



  1. Что означает дробь 1/12?

  2. Сравните дроби 60/х и 60/(х+10)

  3. Являются ли корни полученного уравнения решениями задачи?

Задача 2

Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга? (480/(х-4) – 480/х = 20; х = 12)



6.Физминутка.

На уроке мы сидим

И во все глаза глядим,

А глаза нам говорят,

Что они уже болят.

Мы закроем наши глазки

И расскажем без подсказки.

Все способы решения прошли

Зажмурьтесь дружно от души.

Каким вам легче способом решать

На пальцах нужно показать.

Открываем мы глаза

Дальше нам решать пора.

Продолжаем мы урок

Всем пошел наш отдых впрок.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Решить № 758/



8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Решить № 759, 740(1), 742(1).


Урок по теме «Обобщение и систематизация знаний по теме «Квадратный трехчлен и его корни»

Цель урока:

  • Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы;

  • отработка способов решения квадратных уравнений, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.

  • Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать.

  • Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Ход урока.

1. Организационный момент.

В класс вошел – не хмурь лица,

Будь разумным до конца.

Ты не зритель и не гость –

Ты программы нашей гвоздь.

Не ломайся, не смущайся,

Всем законам подчиняйся.
А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свои успех в баллах. И еще один не обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.

2. Мотивация урока.

Тема нашего урока « Урок обобщения и систематизации знаний по теме: Квадратный трехчлен»

На этом уроке повторим и закрепим знание и умение решения квадратных уравнений различными способами. Каждый из вас должен уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения. Эта тема очень важная в курсе математики, она является первой ступенькой в изучении более сложного материала. Вам дан ключ к решению квадратных уравнений, и если вы научились им пользоваться, вы сможете решить любое квадратное уравнение. А сегодня вы покажете, насколько готовы пользоваться этим ключом.

3. Актуализация изучения темы. Проверка д/з.

Угадай тему урока” Учащимся предлагается разгадать ребус:

Задание для первого варианта:

Вычислите:

а) 10http://festival.1september.ru/articles/514000/image6308.gif+http://festival.1september.ru/articles/514000/image6309.gif; б)3http://festival.1september.ru/articles/514000/image6310.gif; в)2http://festival.1september.ru/articles/514000/image6311.gif

1)846; 2)96; 3)106 1)1; 2)3; 3)3http://festival.1september.ru/articles/514000/image6312.gif; 1)2http://festival.1september.ru/articles/514000/image6313.gif; 2)1; 3)4.

Ключ к ответу

 

1

2

3

а

три

ква

пока

б

драт

зат

гоно

в

ие

ые

ные

Задание для второго варианта:

Вычислите:

а)http://festival.1september.ru/articles/514000/image6314.gif; б)6http://festival.1september.ru/articles/514000/image6315.gif; в)http://festival.1september.ru/articles/514000/image6316.gif

1)4; 2)0,4; 3)-36 1)6; 2)36; 3)1 1)5; 2)25; 3)125.

Ключ к ответу

 

1

2

3

а

ура

ира

нера

б

цио

вен

вне

в

ств

ния

ых

Устная работа (Классу предлагается ответить на следующие вопросы:

отвечают по цепочке)


  1. Определение квадратного уравнения.

  2. Виды квадратных уравнений.

  3. Что называется дискриминантом квадратного уравнения?

  4. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

  5. Каковы формулы для нахождения корней квадратного уравнения?

  6. Формулировка теоремы Виета.

  1. Путешествие с квадратными уравнениями по странам мира.

Математика - это история, история развития человеческой мысли, интеллекта. А когда люди научились решать квадратные уравнения? Итак, ребята, отправимся в путешествие.
Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:



, а> 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам...
Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая...

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение



Бхаскара пишет под видом



и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:











Квадратные уравнения в Европе XIII–XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI—XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:



Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.


  1. Физминутка.

Раз! Два! Час вставати,

Будемо відпочивати

Три! Чотири! Посідаймо.

Швидко втому проганяймо.

П’ять! Шість! Засміялись,

Кілька раз понахилялись

Зайчик сонячний, до нас

Завітав у світлий клас

Будемо бігати, стрибати

Щоб нам, зайчика впіймати.

Прудко зайчик утікає

І промінчиками грає.

Сім, вісім! Час настав

Повернутися до справ.



  1. Самостоятельная работа.

По одному представителю из группы вытягивают наугад путевки, следующего содержания:

Древняя Греция.

Найти сторону квадрата, площадь которого равна 81 . (Ответ: 9 см).

Известно, что площадь круга вычисляется по формуле S=П. Каков радиус круга r, площадь которого 300 (П≈3) (Ответ: r=10 см).

Сколько времени будет падать камень, брошенный с высоты 12 м башни? (Ответ: t = с). Используйте формулу S=(gt2)/2, g≈10 м/с2.



Древний Вавилон.

Найдите стороны прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 . (Решение: х(х+4)=60. Ответ: 6м,10 м).

Периметр прямоугольника 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника 210 (Решение: х(31-х)=210. Ответ: 10 м, 21м)

Арабский Багдад.

Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа. ( Решение: одно число х, второе (х+1). х(х+1)-(х+х+1)=109, D=441, x1=-10, x2=11. Ответ: -10 и -9, 11 и 12).



Франция 16 век.

В уравнении +px-35=0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p. ( Ответ :-5, -2).

Один из корней уравнения -13х+q=0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q. (Ответ: 6,25).

Современная мастерская.

Изготовить прямоугольник, если известно, что одна из сторон на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см ( Решение: +(х+14)2=342. Ответ: стороны 16 см и 30 см).




  1. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Повторить п. 20-22. Решить № 749(1), 744(1), 769.

    • Ваше отношение к уроку:

      1. Мне понравилось заниматься;

      2. Мне было трудно;

      3. Математика точно не для меня;

      4. Другое ________________________________________________

        • С каким настроением Вы шли на данный урок? (поставьте «галочку» около соответствующего знака)

          • _______

            • _______

              • _______




    • Считаете ли Вы, что цели данного урока достигнуты?

      1. да;

      2. нет.

    • Усвоили ли Вы главное в изученной теме?

      1. да;

      2. нет.

    • Научились ли Вы решать задачи по теме урока?

      1. да;

      2. нет.

        • Поставьте «галочку» около соответствующего знака, который отвечает Вашему настроению по окончании урока:

          • _______

            • _______

              • _______

Спасибо за ответы.

Я хочу закончить наш урок словами французского писателя Эмиля Золя «Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного, в вечном усилии познать больше».

Квадратные уравнения прошли,

Итог сегодня подвели.

Смелей шагайте вы вперед,

Много нового вас ждет.

Спасибо вам за знания,



За ваши все старания.

Похожие:

Разложение квадратного трехчлена на множители iconКвадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
Добиться от всех учащихся класса успешной отработки и применения знаний при разложении квадратного трехчлена на множители
Разложение квадратного трехчлена на множители iconУрока Содержание учебного материала Примерные сроки изучения 1-2
Разложение квадратного трехчлена на множители, п. 4 Проверочная самостоятельная работа
Разложение квадратного трехчлена на множители iconРешение квадратных уравнений, формулы корней квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена на множители iconПрограмма учебного курса «Подготовка к егэ по математике»
Решение квадратных уравнений; теорема Виета, применение ее при решении квадратных уравнений и в тождественных преобразованиях; разложение...
Разложение квадратного трехчлена на множители iconУрок №3. Тема урока: «Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители»
Цель: развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать; воспитывать ответственность учащихся за результаты своего труда;...
Разложение квадратного трехчлена на множители iconЗадачи, связанные с исследованием корней квадратного трехчлена
...
Разложение квадратного трехчлена на множители iconИсследовательская работа «Теорема Виета»
Теорема Виета для квадратного уравнения x2 + px + q = 0 позволяет вычислить сумму корней 1 = x1 + x2 и произведение корней 2 =...
Разложение квадратного трехчлена на множители icon«Разложение на простые множители»
Спрашивает ребят, какую тему они изучили на предыдущих уроках, что нового узнали
Разложение квадратного трехчлена на множители iconВопросы для экзамена по алгебре и аналитической геометрии (1-ый семестр)
Алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители
Разложение квадратного трехчлена на множители iconЗадача Разложение числа на простые множители
На этом занятии будет приведено несколько примеров программирования циклических и ветвящихся алгоритмов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org