О свойстве простой подстановки для суперинтуиционистских и модальных логик В. И. Хомич

О свойстве простой подстановки для суперинтуиционистских и модальных логик В. И. Хомич (Москва) Настоящее сообщение посвящено изучению введенного в работах [1,2] свойства простой подстановки, касающегося суперинтуиционистских пропозициональных логик и модальных пропозициональных логик - нормальных расширений логики S4. Это свойство изучалось в работах [1-6]. Пусть H – интуиционистское пропозициональное исчисление, а S4 – модальное пропозициональное исчисление. Суперинтуиционистское пропозициональное исчисление (нормальное модальное пропозициональное расширение исчисления S4), получающееся из H (S4) путем добавления в список его аксиом конечного множества пропозициональных (модальных пропозициональных) формул K, называемых его дополнительными аксиомами, будем обозначать через H+K . Конъюнкцию всех формул, полученных в результате всевозможных подстановок в пропозициональную или модальную пропозициональную формулу Y вместо ее переменных переменных будем обозначать через Y[]. Скажем, что исчисление H+K , где , обладает свойством простой подстановки [1,2], если какова бы ни была формула Z, построенная из переменных и выводимая в H+K , в H (S4) выводима формула . Будем говорить, что логика обладает свойством простой подстановки, если им обладает некоторая ее аксиоматизация. Пропозициональная (модальная пропозициональная) формулаY называется общезначимой во множестве псевдобулевой (топологической булевой) алгебры , если значение каждого выражения, получающегося из Y путем замены переменных формулы Y элементами множества , а логических знаков соответствующими им операциями алгебры , равно ее выделенному элементу. Если , то мы будем говорить просто, что формула Y общезначима в алгебре . Пропозициональная (модальная пропозициональная) формула Y называется наследственно общезначимой в псевдобулевой (топологической булевой) алгебре [5], если для любого множества ее образующих верно, что из общезначимости Y в подмножестве алгебры следует общезначимость Y в . Псевдобулева алгебра называется геделевой или вполне связной, если множество всех ее элементов, отличных от выделенного, имеет наибольший элемент. Топологическая булева алгебра называется вполне связной, если множество всех ее открытых элементов, отличных от выделенного, имеет наибольший элемент. Теорема 1. Какова бы ни была пропозициональная формула Y, исчисление H+{Y} обладает свойством простой подстановки тогда и только тогда, когда формула Y наследственно общезначима в каждой конечной геделевой псевдобулевой алгебре. Через L(Y), где Y - пропозициональная формула, будем обозначать логику, порожденную формулой Y, т.е. множество пропозициональных формул, выводимых в исчислении H+{Y}. С помощью теоремы 1 получается следующая теорема, касающаяся логики, рассматриваемой в работе [7]. Теорема 2. Логика не обладает свойством простой подстановки. Рассмотрим пропозициональные формулы от одной переменной b, определенные в работе [8] следующими условиями: , , , , . Множество этих формул можно превратить в псевдобулеву алгебру [8], которую обозначим буквой . Теорема 3. Если пропозициональная формула Y принадлежит логике и опровержима в псевдобулевой алгебре , то логика L(Y) не обладает свойством простой подстановки. Из теоремы 3 следует, что почти все логики, порожденные пропозициональными формулами от одной переменной, не обладают свойством простой подстановки. Получены также результаты, касающиеся свойства простой подстановки для модальных пропозициональных логик. Выражение T(X) означает результат отображения пропозициональной формулы X во множество модальных пропозициональных формул (т.е. результат перевода Маккинси-Тарского), а - модальный логический знак необходимости. Теорема 4. Какова бы ни была модальная пропозициональная формула Z, исчисление обладает свойством простой подстановки тогда и только тогда, когда формула наследственно общезначима в каждой конечной вполне связной топологической булевой алгебре. Теорема 5. Какова бы ни была пропозициональная формула Y, если исчисление H+Y не обладает свойством простой подстановки, то и исчисление не обладает свойством простой подстановки. Список литературы 1. Sasaki K. The simple substitution property of the intermediate propositional logics // Bulletin of the Section of Logic, Polish Acad. Sci., Inst. Phil. and Sociol. 1989. V. 18. № 3. P. 94-99. 2. Sasaki K., Shundo S., Hosoi T. The simple substitution property for the normal modal logics // SUT J. Math. 1994. V. 30. № 2. P. 107-128. 3. Hosoi T., Sasaki K. Finite logics and simple substitution property // Bulletin of the Section of Logic, Polish Acad. Sci., Inst. Phil. and Sociol. 1990. V. 19. № 3. P. 74-78. 4. Sasaki K. The simple substitution property of the intermediate propositional logics of finite slices // Studia Logica. 1993. V. 52. № 1. P. 41-62. 5. Хомич В. И. О свойстве простой подстановки для суперинтуиционистских пропозициональных логик // Доклады РАН. 2000. Т. 374. № 3. С. 318-320. 6. Хомич В. И. О свойстве простой подстановки для суперинтуиционистских пропозициональных логик и о его связи с их свойством отделимости // Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. № 2. С. 181-210. 7. Kreisel G., Putnam H. Eine Unableitbarkeitsbeweismethode fϋr den intuitionistischen Aussagenkalkϋl // Arch. f. Math. Logik Grundlagenforschung.1957. V. 3. P. 74-78. 8. Nishimura I. On formulas of one veriable in intuitionistic propositional calculus // J. Symbolic Logic. 1960. V. 25. № 4. P. 327-331.

Похожие:

	«Функционально-коммуникативный анализ модальных слов в составе побудительного высказывания» Сосредоточение внимания исследователя на тонкостях лексического значения модальных слов и особенно частиц и специфике их функционирования...		Балаклава центр крымских пирамид Ее влекущая красота притягивала многих мореплавателей и военачальников. Но сегодня мы поговорим ещё об одном её свойстве — магическом...
	Указатель для завершения набора текста.  Создать простой текст. Простой текст создается внутри текстовой рамки Фигурный текст применяется для коротких надписей и заголовков, а простой – для создания текстовых документов		Сведения о наиболее значимых научных результатах нир Изучение свойств дизъюнктивности и альтернативности квантовых логик проекторов. Описание конечных однородных квантовых логик и их...
	Удк.? Об одном классе логик аргументации Рассматривается класс четырехзначных логик аргументации. Предлагается логика аргументации, соответствующая симметричному дсм-методу...		Название стихотворения «Цветок простой» простой околоцветник. Околоцветник состоит из венчика и чашечки. Простой околоцветник может быть чашечковидным и...
	I. Введение II. Общая характеристика модальных глаголов Глагол must		Применение модальных регуляторов в промышленных объектах водоснабжения Пид-регулятором. Предлагается применять автоматический регулятор, основанный на методах модальности и искусственного интеллекта для...
	1 предварительные сведения о допустимых правилах вывода в нестандартных логиках 19 Допустимость правил вывода для некоторого класса 54-логик, не обладающих свойством ветвления 35		Простой узел (рис. 1) Его можно завязать на конце или на средней части троса. Для этого ходовой конец троса один раз обносят вокруг его коренной части...