А. В. Клемина, И. Ю. Демин, Н. В. Прончатов-Рубцов медицинская акустика: ультразвуковая диагностика медико-биологических сред

1.3. Линеаризация полной системы уравнений акустики

Так как уравнения нелинейные, а мы будем интересоваться звуковыми волнами малых амплитуд, надо произвести линеаризацию уравнений и привести их к линейной системе.

Подставляем в уравнение Эйлера: . Пренебрегаем нелинейностью второго порядка - , получаем:

Слагаемое – второй порядок малости, в итоге получим уравнение:

Уравнение Эйлера для гидростатики: . Тогда _.

- уравнение акустики идеальной жидкости.

Подставляем (*) в уравнение непрерывности: .

. Тогда зависимостью от времени для начального значения плотности можно пренебречь и

где – второй порядок нелинейности, получим

(1.6)

– линеаризованное уравнение непрерывности.

Рассмотрим уравнение состояния, оно нелинейно: И будем рассматривать трехмерный случай , а – меняется сильно по координате z: , . Найдем полную производную давления по времени .

С другой стороны по определению полной производной:.

Получаем .

Учитывая слабую зависимость и от x, y и t ( и gif" align=bottom>зависят от z), имеем:

- уравнение состояния для нашего частного случая.

Если можно пренебречь изменениями давления и плотности по координате z, то полная система линеаризованных уравнений акустики идеальной однородной жидкости выглядит следующим образом:


(1.8)

Так как при линеаризации мы пренебрегали слагаемым , то , такое движение называется безвихревым и можно ввести потенциал , . Подставим в систему: . Из третьего уравнения системы: и подставим в уравнение непрерывности:

Отсюда: – волновое уравнение.

Можно показать, что такому же уравнению удовлетворяют . Решением волнового уравнения являются две плоские волны: – две волны бегут в разные направления.

Перейдем к одномерному случаю :

Перепишем волновое уравнение в переменных и :

Подставив все слагаемые в уравнение, получим:

Соотношения между характеристиками плоской бегущей волны:

Таким образом,

В плоской волне: – акустический закон Ома. Похожее выражение встречается в радиотехнике: тогда – акустическое сопротивление, .

Оценим для воды: м/с, кг/м³, . Для воздуха:

Величина – называется волновой проводимостью среды.

Если в качестве функций и g брать тригонометрические функции, то такие волны носят название монохроматических плоских волн.

, где – комплексная амплитуда,

Подставим в волновое уравнение: .

Получим – уравнение Гельмгольца (распределение амплитуды в пространстве).

Введем понятие неоднородной плоской волны: , амплитуда изменяется.

Фазовая скорость: – характеризует направление распространения, – направлено вдоль фронта волны. – поверхность постоянной фазы, – поверхность постоянной амплитуды, . Фазовая скорость неоднородной волны меньше, чем скорость распространения звука в среде.