А. В. Клемина, И. Ю. Демин, Н. В. Прончатов-Рубцов медицинская акустика: ультразвуковая диагностика медико-биологических сред

1.4. Энергия звуковых волн. Закон сохранения энергии

Рассмотрим задачу: Жидкость находится в покое, а затем через нее начинает проходить звуковая волна, изменяется давление и плотность:

Возьмем случай, когда потенциальная энергия равно нулю, тогда энергия единицы объема жидкости будет складываться из кинетической и внутренней энергий: . Подставляем возмущенное состояние:

Если учесть, что в линейном приближении , то .

Таким образом,

Рассмотрим случай плоской волны: и ,

Таким образом, получаем: . Интегрируя обе части данного выражения по всему объему жидкости, получим закон сохранения энергии:

где - вектор плотности потока энергии или вектор Умова, – интенсивность акустической волны.

В акустике силой звука или интенсивностью звуковой волны называется средняя по времени энергия, переносимая плоской волной за одну секунду через площадку в 1 см², перпендикулярно направлению движения волны.

Рассмотрим плоскую волну: – энергия плоской волны.

таким образом, энергия в однородной среде переносится со скоростью звука с.

Для гармонической волны: усреднение проводим за период gif" align=bottom> Различают максимальное значение величины и эффективные (или средние) – именно их измеряют на опыте:

Численный пример (для воздуха):

а) бар=3000=300 Па – болевой порог,

б). бар – порог слышимости, .

В акустике принято характеризовать уровень интенсивности звука (уровень звукового давления) в децибелах:

где и – стандартные уровни для данной среды.

Воздух: , Па – порог слышимости звука.

Вода: Уровень звукового давления отсчитывается относительно , .

1.5. Распространение звуковых волн в «почти» идеальной среде

Для введения данного уравнения необходимо ввести импульс и закон сохранения импульса. – импульс единицы объема вещества. Определим скорость его изменения: . Выразим изменения во времени скорости и плотности из уравнения Эйлера и уравнения непрерывности: , . Тогда

- тензор плотности потока импульса – определяет i компоненту количества движения, которая уносится в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно к оси k. Проинтегрируем по произвольному фиксированному V, получим: - закон сохранения импульса в интегральной форме. Таким образом, изменение импульса в объеме V связано с действием объемных сил и потоком импульса через граничную поверхность S. Закон сохранения импульса в дифференциальной форме:

На течение любой реальной жидкости существенное влияние оказывает вязкость. Поэтому, если рассматривать вязкую среду, то в тензоре плотности потока импульса должно появиться еще одно слагаемое, связанное с вязкостью. В вязкой жидкости , - тензор вязких напряжений.

Для вязкой несжимаемой жидкости уравнение движения будет иметь вид:

. (1.13)

Если же жидкость сжимаема уравнение Навье – Стокса имеет более сложный вид: , где - коэффициент объемной вязкости (характеризует сжатие жидкости), - коэффициент сдвиговой вязкости, – кинематический коэффициент вязкости.

Введем понятие числа Рейнольдса: Это отношение нелинейности к любому вязкому члену в правой части уравнения Навье – Стокса: Re = .

Физический смысл числа Рейнольдса – это отношение запасенной кинетической энергии и энергии потерь. Если Re>>1, то можем пренебречь вязкими слагаемыми и значит приходим к уравнению Эйлера. Если Re<<1, то пренебрегаем нелинейностью и получаем уравнение для сильно вязкой жидкости. Если Re, то получаем идеальную жидкость.