1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется



Скачать 76.69 Kb.
Дата26.07.2014
Размер76.69 Kb.
ТипДокументы
1!!!!Ограниченное числовое множество

Множество действительных чисел x \subset \mathbb{r}называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:



 \exists b \; \forall x \; (x \in x \rightarrow x \leqslant b)

Множество действительных чисел x \subset \mathbb{r}называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше b:



 \exists b \; \forall x \; (x\in x \rightarrow x \geqslant b)

Множество x \subset \mathbb{r}, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество x \subset \mathbb{r}, не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок [a, b] = \{ a \leqslant x \leqslant b\},

неограниченного — множество всех целых чисел \mathbb{z} = \{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\},

ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч x < 0,

ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч x > 0.

Точной верхней гранью, или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних границ. Обозначается \sup x.

Более формально:



s_x=\{y\in m\mid\forall x\in x\!:x\leqslant y\}\!— множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X

s=\sup(x)\iff s\in s_x\and\forall y\in s_x\!:s\leqslant y.<div id=" align=bottom width=371 height=21 border=0>

Точной нижней гранью, или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается \inf x

4!!!!


бесконечно малая последовательность). Бе-
сконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. То есть

limn  xn = 0

или более подробно с учетом определения предела >0  N: n>N |xn| <  xn.

Пример 20. Последовательность xn = 1/n

является бесконечно малой последовательностью.

5!!!


  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

  • ограниченная \leftrightarrow \exists m,m \in x ~ \forall n \in \n \colon m \leqslant x_n \leqslant m

7!!!
Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности

8!!!

Нера́венство Берну́лли утверждает: если x\geq -1, то

(1+x)^n\geq 1 + nxдля всех n\in\mathbb{n}_0.

НЬЮТОНА БИНОМ, название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени.

9!!!

Свойства сходящихся последовательностей


  • Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

  • Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

  • Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

  • Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

  • Если последовательность \{ x_n \}~сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность \{ 1 / x_n \}~, которая является ограниченной.

  • Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

  • Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

  • Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

  • Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

  • Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

  • Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

  • Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

  • Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся к числу A, если нет, то расходящейся.

12!!!


4 теоремы.
1) Xn>=C и есть предел lim Xn=C следовательно l>=C
2)тоже самое для <=
3)есть lim Xn=l1 и lin Yn=l2 и по усл Xn<=Yn следовательно l1<=l2
4) если Xn<=Yn<=Zn и существует Lim Xn=l и существует lim Zn=l, то существует Lim Yn=l

14!!!


Пусть f(x) при каждом вещественном значении переменной x является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть ψ(x) обладает теми же свойствами, что и f, и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству ψ( − x) = ψ(x) и для нее сходится интеграл

\int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx,

который можно обозначить как ω. Если положить



f(x,k)=\frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy,

то


f(x)=\lim\limits_{k=0}f(x,k).

16!!!


Определение (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x a, если

limx af(x) = 0



Теорема (свойства бесконечно малых функций).

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

  2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

  3. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует limx a(x) = 0, следует, что >0 1()>0 такое, что  x: 0<|x-a|<1 выполняется неравенство


|(x)|< /2. Аналогично, из существования предела limx a (x) = 0, следует >0 2()>0 такое, что  x: 0<|x-a|<2
выполняется неравенство |(x)|< /2. Тогда  x: 0<|x-a|< = min{1,2} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

|(x)+(x)| |(x)|+|(x)|<.

36!!!

Определение производной


Пусть функция f(x) непрерывна в точке x. Тогда производной http://www.allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan2/clip_image002.gif от этой функции в точке x, называется предел (разумеется, если он существует)

42!!!


Если функция f имеет в некоторой точке x0 конечную или бесконечную производную, то f(x) называется функцией, имеющей при x=x0 производную в широком смысле.

Теорема 1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0 и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если при x=x0 существует производная в широком смысле, то она равна нулю.

Теорема 2. Пусть функция f:

1)непрерывна на отрезке [a, b]

2)имеет в каждой точке интервала (a, b) производную в широком смысле

3)принимает равные значения на концах отрезка, т.е. f(a)=f(b)



Тогда существует хотя бы одна такая точка α, a<α

Похожие:

1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconБесконечное множество, отличное от счетного, называется несчетным
Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных и алгебраических чисел. Несчетность множества действительных чисел....
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется icon3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел Ограниченное множество. Точные грани
Обозначим [a1,b1] правый из отрезков [a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b], имеющий непустое пересечение с E. Отметим свойства этого oтрезка
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconКомплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение
Определение. Упорядоченную пару действительных чисел называют комплексным числом
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconДифференциальное исчисление функции многих переменных 5 > Понятие функции нескольких переменных 5
Пространством называется множество групп из “n” действительных чисел. Такое множество групп из “n” чисел отождествляют с множеством...
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconУрок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи)
Множество действительных чисел позволяет полностью оценить количественные стороны явлений действительности. При помощи действительных...
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconМатематический анализ проф. Т. П. Лукашенко 1 курс, 1 семестр
Аксиоматика действительных чисел. Бесконечные десятичные дроби как модель действительных чисел. Принципы полноты действительных чисел....
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconЛекция Множество вещественных чисел (продолжение)
Опр. Числовое множество Х называют ограниченным сверху, если найдется число М, для которого
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconПоследовательности
Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}:...
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconА Область определения: множество действительных чисел
Графиком данного отношения является множество точек лежащих внутри получившейся заштрихованной фигуры, включая сами линии
1!!!!Ограниченное числовое множество действительных чисел называется iconПрограмма экзамена по Модулю Введение
А – множество чётных чисел, в – множество чисел кратных 3, с – множество чисел кратных 5, d – множество чисел кратных 7, е – множество...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org