Курсовая работа по курсу "Математическая статистика" студент группы 08-304 Принял: профессор ка

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика" КУРСОВАЯ РАБОТА по курсу "Математическая статистика" Выполнил: студент группы 08-304 Принял: профессор каф. 804 Кан Ю. С. Дата: Оценка: Подпись: 2003 г. Задание 1. Дан случайный вектор , где , k = 15. Методом Монте-Карло найти вероятность . Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q определяется, исходя из соотношения: , где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в область Q. Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной матрицей K, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K. Чтобы найти матрицу преобразования , приводим квадратичную форму к сумме квадратов: , где , . Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных случайных величин, с помощью преобразования получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K. Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки. На рис. 1 показан результат статистического испытания при объеме выборки n = 100000, k = 10. Полученная вероятность: P = 0,73924. Рис. 1 (n = 100000, k = 10) Задание 2. Имеются 50 опытов наблюдения X и Y: , где . Оценить параметры a и b методом наименьших квадратов. Решение 1: Для нахождения оценок и применим метод максимального правдоподобия. , Составляем функцию правдоподобия: , где n – объем выборки (n = 50). Получаем логарифмическую функцию правдоподобия: . Задача максимизации сводится к минимизации суммы квадратов: Распишем сумму квадратов: . Введем новые обозначения: С учетом новых обозначений получаем: J(a,b) =  a2 + nb2 + 2 ab – 2 a – 2 b +  Берем частные производные: 2 a + 2 b – 2, 2nb + 2 a – 2. Решаем систему:  a +  b = , nb +  a = . Получаем: , . Решение 2: Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений: , где , , Получаем: т.е. то же самое в виде системы: nb +  a = .  a +  b = , Как видно, это та же система, что и в решении 1. Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y, получаем значения коэффициентов:  = 46,5000961858679,  = 46,1733376283488,  = 147,911922402037,  = 146,973081745395,  = 471,011023261011. Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров: a = 3,15684427413119, b = 0,0242209047163106. На рис. 2 представлена прямая . Рис. 2. Результаты оценки параметров. Задание 2а. Построить доверительные интервалы уровня 0.95 для параметров a и b. Основная МНК-теорема: Пусть в условия предыдущей задачи , . Тогда , . Следствие: , , где - (i, i)-й элемент матрицы , - квантиль уровня для распределения Стьюдента с степенями свободы. С учетом условия задачи () и всего вышесказанного, получаем следующее: Матрица , соответственно,  0,240898564361575  0,259030178559918  0,718538058549758  2.011 Итого – доверительные интервалы уровня 0.95: для a : ( 3,13736861423897 ; 3,17631993402341 ) для b : ( 0,00610850355088199 ; 0,0423333058817393 ) Задание 3. Рассматривая как выборку, построить гистограмму (10 интервалов одинаковой длины). Пользуясь критерием и полученной гистограммой, проверить гипотезу о нормальном законе распределения с уровнем значения 0.01 случайной величины . Минимальное и максимальное выборочные значения равны -0,2037977 и 0,2390410, соответственно. Разобьем получившийся промежуток на 10 интервалов одинаковой длины. В таблице 1 представлены характеристики получившегося разбиения. № Левый конец Правый конец Кол-во элементов выборки, попавших в интервал 1 -0,203797779795623 -0,159513896959864 6 2 -0,159513896959864 -0,115230014124104 1 3 -0,115230014124104 -0,070946131288345 6 4 -0,070946131288345 -0,026662248452585 2 5 -0,026662248452585 0,017621634383174 7 6 0,017621634383174 0,061905517218934 16 7 0,061905517218934 0,106189400054693 6 8 0,106189400054693 0,150473282890453 4 9 0,150473282890453 0,194757165726212 0 10 0,194757165726212 0,239041048561972 2 Таблица 1. Данные для гистограммы. Рис. 3. Гистограмма. Прежде чем проверять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины , оценим параметры закона распределения в предположении, что распределение гауссовское. Из условия предыдущей задачи Значит, мат. ожидание равно нулю, а дисперсия оценивается выборочной дисперсией: Подставляя выборочные данные, получаем: 0,010326 Таким образом, выдвигаемая гипотеза: Для каждого интервала вычисляем вероятность, а также частоту попадания выборочных точек. Полученные результаты представлены в таблице 2. № (k) Вероятность попадания в k-интервал: Частота попадания выборочных точек в k-интервал , 1 0,0222 0,0375 0,0153 0,12 2 0,0375 0,1288 0,0913 0,02 3 0,1288 0,2427 0,1139 0,12 4 0,2427 0,3964 0,1537 0,04 5 0,3964 0,5688 0,1724 0,14 6 0,5688 0,7287 0,1599 0,32 7 0,7287 0,8519 0,1232 0,12 8 0,8519 0,9307 0,0788 0,08 9 0,9307 0,9723 0,0416 0,00 10 0,9723 0,9907 0,0184 0,04 Таблица 2. Вероятностные и частотные характеристики. На основании полученных результатов вычисляем статистику: 54,5 Если гипотеза верна, то статистика Используя закон распределения , находим критическое значение для заданного уровня p = 0.01: 0.99 Из таблицы распределения получаем: 20.8 , значит гипотеза отвергается.

Похожие:

	Курсовая работа Табу в рекламе Студент 2-ого курса Группы 1055 Сентябрь 2007 Кузнецов Пётр Евгеньевич		Название кафедры Курсовая (Контрольная) работа по предмету тема: выполнил(а): студент(ка) курса группы Специальность: 060109. 65 «Сестринское дело»
	Контрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей		Курсовая работа плагин для среды разработки Eclipse. «Javafx development Tools» Студент 3 курса, группы 2, дневного отделения, факультета компьютерных наук Петрушин Иван Александрович
	Курсовая работа по дисциплине " Локальные вычислительные сети" студент группы с-74 Кузьмищев А. С Спроектированная сеть состоит из нескольких сегментов. Адреса в сети распределены статически		Математическая статистика Математическая статистика это раздел прикладной математики, в котором рассматриваются методы отыскания законов и характеристик случайных...
	Математическая статистика. Основные понятия Математическая статистика – это раздел математики, который изучает методы сбора, систематизации, обработки результатов наблюдений...		Курсовая работа на тему "Математический расчет дальности Wi-fi сигнала" Работу Студент группы с-64 Для начала, разберемся в том, что же из себя представляет технология Wi-Fi. Технологией Wi-Fi называют один из форматов передачи...
	Учебные пособия по курсу. Труды отечественных и зарубежных ученых. Национальная и международная статистика. Другие источники Осенний семестр: лекций 34 час., практические занятия -17час., курсовая работа, консультации 7 час., экзамен – 0,5 ч на студента		1. Математическая статистика. Статистические оценки Предметом математической статистики является систематизация данных с целью их практического использования. В качестве необходимого...