Теория вероятностей и математическая статистика



страница3/21
Дата08.10.2012
Размер2.17 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

Геометрическое определение вероятности


Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.

Пример 6.

Два лица А и В договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 9.00 до 10.00 часов. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого, и ожидает 15 минут. Какова вероятность, что они встретятся?

Решение.
Рассмотрим прямоугольную систему координат ХОУ, в качестве единиц масштаба - часы. Обозначим моменты прихода в определенное место лиц, соответственно через х и у. За начало отсчета возьмем 9.00. По условию 0х1, 0у1.
Всевозможные исходы будут являться точками квадрата со стороной 1. Встреча двух лиц произойдет, если разность между х и у не превзойдет 0,25 часа. Например, х=9.20, у=9.30 (первый дождался второго), а значит х-у0,25. Это неравенство можно записать –0,25у-х 0,25, а значит, х–0,25ух+0,25. Изобразим данную область на координатной плоскости.

Искомая вероятность равна отношению заштрихованной полосы к площади всего квадрата. Площадь всего квадрата равна 1. Найдем площадь заштрихованной полосы:

1-2*0,5*0,75*0,75=0,4375 (площадь квадрата минус площади двух равных не заштрихованных треугольников).


Значит, Р=

Ответ: Р=0,4375
Задачи:

1. Два лица А и В договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 11.00 до 12.00 часов. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого, и ожидает 30 минут. Какова вероятность, что они встретятся.(0,75).

2. Два лица А и В договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 9.00 до 10.00 часов. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого, и ожидает 15 минут. Какова вероятность, что они встретятся?

Два лица А и В договорились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 8.00 до 9.00 часов. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого, и ожидает 10 минут. Какова вероятность, что они встретятся? (11/36)

3. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет так же и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
Операции над вероятностями

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А  В) = Р(А) + Р(В).

Пример 7.

Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида.
Известны вероятности выделения каждой машины: Р(А) = 0,2; Р(В) = 0,4. Тогда вероятность того, что к складу будет подана одна из этих машин Р(А  В) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Теорема верна и для любого конечного числа несовместных событий.

Р (А1  А2  А3 ... Аn) = Р (А1 ) + Р(А2 ) + Р(А3) +... +Р(Аn).

Пример 8.

В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено 10 выигрышей по 200 рублей, 100 по 100 рублей, 500 по 25 рублей, 1000 по 5 рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не менее 25 рублей?

Решение.

А - выигрыш не менее 25 рублей;

А1 -выигрыш равен 25 рублей, Р(А1 )=500/1000=0,05

А2 - выигрыш равен 100 рублей, Р(А2 )=100/1000=0,01

А3 - выигрыш равен 200 рублей, Р(А3 )=10/1000=0,001.

Поскольку куплен только один билет, то А= А1  А2  А3. По теореме сложения вероятностей несовместных событий (события несовместны, так как куплен только один билет) Р(А1А2А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)=0,05+0,01+0,001=0,061.

Следствие из теоремы сложения: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Теорема.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий

Р(А  В) = Р(А)*Р(В).

Теорема распространяется и для случая событий больше двух.

Пример 8.

Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадет 10 раз?

Решение.

Событие А - выпадение герба или надписи при десятикратном бросании не зависит от результата предыдущих бросаний. Поэтому здесь идет речь о совмещении десяти независимых событий: А1 выпал герб при первом бросании, А2 выпал герб при втором бросании и т.д. Вероятность выпадения герба при однократном бросании - , поэтому искомая вероятность равна:

Р(А) = Р(А1)* Р(А2)*…*Р(А10) = S =

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления другого.
Пример 9.

Пусть в урне 3 белых и 10 черных шаров. Из урны наудачу извлекают один шар, а затем извлекают другой. Обозначим через событие А - при первом извлечении появился белый шар, через событие В - при втором извлечении появился белый шар. Если событие А произошло, то в урне из 12 оставшихся шаров есть 2 белых шара, поэтому Р(В)=2/12, если А не произошло, то Р(В)=3/12. Таким образом, вероятность события В зависит от появления или непоявления события А.

Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

Р(АВ)=Р(А)* РА(В).

Эта теорема распространяется и на случай числа зависимых событий больше двух, например, для трех зависимых событий Р(АВС)=Р(А)*РА(В)*РАВ(С), где РАВ(С) - вероятность события С, вычисленная в предположении, что А и В уже произошли.

Пример 10.

В ящике а белых и b черных шаров, последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба они черные?

Решение.

Событие А-«первый шар черный», В-«второй шар черный»,

Р(АВ)=Р(А)* РА(В)  Р(А) = РА(В) =
Р(АВ) =
Формула полной вероятности

Пусть требуется найти вероятность события А, которое может происходить вместе с одним из независимых событий В1, В2,…Вn. Тогда

Р(А) = Р(В1)*РА1) + Р(В2) * РА2) + … + Р(Вn) * РАn).

Пример 11.

В магазин поступает одна и та же продукция от первого предприятия в количестве 20 изделий, от второго предприятия – 10 и от третьего предприятия – 70. Вероятности некачественного изготовления изделий на предприятиях, соответственно, равны 0,02, 0,03 и 0,05. Случайным образом отбирается одно изделие. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное.

Решение.

Событие А - выбранное изделие некачественное, события В1, В2, В3 - выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

Р(В1) = 0,2, Р(В2) = 0,1, Р(В3) = 0,7

РА1) = 0,02, РА2) = 0,03, РА3) = 0,05, тогда

Р(А) = 0,2*0,02 + 0,1*0,03 + 0,7*0,05 = 0,042

Вероятность повторения событий

Пусть в результате некоторого опыта может произойти или не произойти событие А. Опыт должен быть произведен n раз. Известно, что в каждом опыте вероятность появления события А равна р. Вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно m раз равна:

Р = Сnm pm (1 - p)n-m

Пример 12.

Подбрасывают монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

Решение:

А - появление герба.

n=10, m=2, р=1/2

Р= C102

Пример 13.

Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 5 изделий не будет ни одного забракованного?

Решение.

А - изделие забраковано, р(А) = 0,1, n = 5, m = 0,

Р = С50 0,10 (1 - 0,1)5 = 110,95  0,6

Задачи для практики

1. В данном пункте имеют остановку трамваи шести маршрутов: №7,12,16,24,31,49. Пассажир ждет трамвай либо 12, либо 16. Какова вероятность того, что первым подойдет трамвай нужного маршрута? (1/3)

2. Подбросили 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше 5? (13/18)

3. Подбросили три монеты. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них упадет гербом вверх? (7/8)

4. В лотерее 4 выигрышных билета и 96 пустых. Какова вероятность того, что на 10 купленных билетов выпадет хотя бы один выигрыш? (0,3439)

5. Работают три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует остановки, равна для первого – 0,85, для второго – 0,9 и для третьего – 0,95. Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует остановки? (0,73)

6. Вероятность сбить самолет противника выстрелом из винтовки – 0,004. Найти вероятность уничтожения самолета при одновременной стрельбе из 25 винтовок. (1-(0,996)25)

7. Вероятность попасть в цель равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти выстрелов будет хотя бы один промах? (1-0,85)

8. Вынимают 100 раз карту из колоды в 52 карты и кладут ее обратно. Какова вероятность того, что червонный валет не появится ни разу? (51/52)100

9. Вынимают 100 раз карту из колоды и кладут ее обратно. Какова вероятность того, что червонный валет появится хотя бы один раз?(1-(51/52)100)

10. На военных учениях летчик получил задание уничтожить три склада. На борту самолета – одна бомба. Вероятность попадания в первый склад – 0,01, во второй - 0,08, в третий - 0,025. Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв всех трех складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены? (0,115)

11. Из колоды в 36 карт одну за другой вынимают 2 карты. Найти вероятность, что вынуты: а) 2 валета, б) 2 карты пиковой масти, в) вынуты валет и дама.(1/105, 2/35, 4/315)

12. В лотерее выпущено n билетов, из них m - выигрышных. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов – выигрышный?

13. Какова вероятность вытащить короля из колоды 2 раза подряд, если после первого извлечения карты ее не возвращают обратно? (1,221)

14. Вероятность того, что взятое наугад изделие является пригодным, равна 92/100. Вероятность того, что взятое наугад годное изделие является изделием первого сорта, равна 72/100. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие является изделием первого сорта?(0, 6624)

15. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Вынимают 2 шара, не возвращая обратно. Какова вероятность того, что первый шар белый, а другой черный? (14/55)

16. На 5 карточках написаны буквы а, г, и, к, н. Вынимают одну за другой карточки и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получится слово «книга»? (1/120)

17. На 7 карточках написаны буквы к, к, л, л, о, о, о. Вынимают одну за другой карточки и кладут в том порядке, в каком они были вынуты. Какова вероятность того, что получится слово «колокол»? (1/1050)

18. В ящике 10 белых и 8 красных шаров. Одновременно наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что они разных цветов? (40/153)

19. В ящике 7 белых и 9 черных шаров. Вынимают один шар и кладут его обратно, снова вынимают и снова кладут обратно. Какова вероятность того, что шары белые? (49/256).

20. В телевизоре 10 ламп, для любой лампы вероятность быть исправной в течение года равна р. Какова вероятность: а) что в течение года хотя бы одна лампа выйдет из строя; б) в течение года выйдут из строя ровно 2 лампы? (48р8(1-р)2)?

Приближенные формулы в схеме Бернулли

При большом числе опытов по схеме Бернулли удобнее пользоваться приближенными формулами.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   21

Похожие:

Теория вероятностей и математическая статистика iconРабочая программа дисциплины (модуля) "Теория вероятностей и математическая статистика"
Цель освоения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – фундаментальная подготовка в области теории...
Теория вероятностей и математическая статистика iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Теория вероятностей и математическая статистика iconТеория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н....
Теория вероятностей и математическая статистика iconКурса теория вероятностей и математическая статистика Дискретная теория вероятностей
Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по n ячейкам (статистика...
Теория вероятностей и математическая статистика iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика Направление подготовки 080100 Экономика
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки...
Теория вероятностей и математическая статистика iconИ. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике краткий курс лекций для инженеров
Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
Теория вероятностей и математическая статистика iconКнига позволит быстро получить основные знания по предмету, повторить пройденный материал, а также качественно подготовиться и успешно сдать зачет и экзамен. Рекомендуется всем изучающим и сдающим дисциплину «Теория вероятностей и математическая
Теория вероятностей и математическая статистика: Шпаргалка. — М.: Риор, 2008. — 40 с
Теория вероятностей и математическая статистика iconЛекция «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора И. И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Теория вероятностей и математическая статистика iconПримерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
По дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Теория вероятностей и математическая статистика iconВопросы по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"
Предмет теории вероятностей, два признака случайного явления, постулат теории вероятностей. Примеры построения пространств элементарных...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org