Дифференциальные уравнения



Скачать 55.65 Kb.
Дата06.11.2012
Размер55.65 Kb.
ТипДокументы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные.

F(xyy, y, …, y(n)) = 0


Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения.

Пример:

xy  – 3y = 0 – уравнение I порядка

y  + 5y  – 4y = 0 – уравнение II порядка

Решением (интегралом) дифференциального уравнения называется функция y = f(x), которая обращает исходное уравнение в тождество.

Пример:

y  + y = 0

y(x) = 2sinx

y  = 2cosx

y  = –2sinx

–2sinx + 2sinx = 0

y = c1sinx + c2cosx

Общим решением дифференциального уравнения называется его решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

y = (xc1c2, …, cn) – общее решение дифференциального уравнения n-го порядка.

Если общее решение задано неявно, то его называют общим интегралом уравнения.

Ф(xyc1c2, …, cn) – общий интеграл.

Геометрически общий интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, являющихся графиками решений уравнения.


Пример:






Если в общем решении произвольным постоянным ci придать конкретное значение, то мы получим частное решение дифференциального уравнения. Геометрически частное решение представляет собой одну интегральную кривую. Частных решений бесконечное множество, как и дифференциальных кривых.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

F(xyy) = 0

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.


y = f(xy)

y(x0) = y0 – начальное условие

Совокупность дифференциального уравнения и начального условия называется задачей Коши.

ТЕОРЕМА: Если f(x, y) и непрерывны в некоторой области плоскости XOY, содержащей точку (x0y0), то решение задачи Коши единственное.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Уравнением с разделенными переменными называются уравнения вида

f(x)dx = g(y)dy или M(x)dx + N(y)dy = 0.

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу.



Пример:



Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

y = f(x)y(y) или M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0

ЗАМЕЧАНИЕ: . Необходимо привести уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, т.е. преобразовать его таким образом, чтобы множитель при dx содержал только переменную x, а множитель при dy – только y. Это действие называется разделением переменных.

Пример:



Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.

y = f(ax + by), Замена: z = ax + by

Пример:



Пример:



Однородные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция f(xy) называется однородной функцией n-го измерения, если для любого выполняется равенство



Пример:



Пример:



Утверждение 1:

Если f(xy) – однородная функция нулевого измерения, то она является функцией аргумента

Доказательство:



Утверждение 2:

Если функция M(xy) и функция N(xy) однородные функции одного измерения, то их отношение есть однородная функция нулевого измерения.



Доказательство:



ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнение y = f(xy), где f(xy) – однородная функция нулевого измерения, называется однородным уравнением первого порядка.

Проверка однородности:



Решение однородных уравнений первого порядка.



Пример:



Пример:



Уравнения, приводимые к однородным.



УТВЕРЖДЕНИЕ: Если c = c1 = 0, то (*) – однородное уравнение первого порядка.



Пример:





Пример:





Линейные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно y и y. (Относительно x линейность никто не гарантирует.)

y + P(x)y = Q(x) (1)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если Q(x) = 0, то линейное уравнение называется линейным однородным уравнением.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Линейное однородное уравнение y + P(x)y = 0          (2) является уравнением с разделяющимися переменными.

Доказательство:



ДВА СПОСОБА РЕШЕНИЯ

1) Чтобы решить уравнение (1) необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения (2). В полученном решении постоянную c рассматривать как функция от x, т.е. c = c(x), подставить в (1) и найти c.

Пример:



2) y + P(x)y = Q(x)

Метод Бернулли.



Пример:



Иногда, чтобы получить линейное уравнение, требуется поменять ролями x и y по теореме о производной обратной функции.



Пример:



Пример:

Найти кривые, у которых площадь трапеций, ограниченных осями координат, касательной и ординатой точки касания, равна 27.






Похожие:

Дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения iconУчебного курса «Дифференциальные и разностные уравнения» для направления 521600 Экономика
Первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Дифференциальные уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Дифференциальные уравнения icon01. 01. 02 Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Формула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Дифференциальные уравнения iconФормула специальности: Специальность «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»
Основными составными частями специальности являются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными....
Дифференциальные уравнения iconМетодика оценки уровня знаний по обязательной дисциплине «Дифференциальные и интегральные уравнения»
«Дифференциальные и интегральные уравнения», привязанной к семестрам, направление подготовки «Физика»
Дифференциальные уравнения iconОбыкновенные дифференциальные уравнения
Вопрос Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальная система решений. Метод вариации постоянных для...
Дифференциальные уравнения icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
Дифференциальные уравнения iconВариант I решить задачу Коши при начальных условиях
«Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org