Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»



Скачать 392.69 Kb.
страница7/7
Дата06.11.2012
Размер392.69 Kb.
ТипУчебно-методический комплекс
1   2   3   4   5   6   7

9. Сдача экзамена по курсу



После защиты курсовой работы студент сдает экзамен. Экзамен проводится по билетам. Каждый билет содержит два теоретических вопроса и одну задачу. Приведем пример экзаменационного билета.
Билет №41
1. Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей при известном и неизвестном среднеквадратическом отклонении. Критерий Стьюдента.

2. Способы задания случайных функций. Виды случайных функций. Характеристики случайных функций. Их определение из данных опыта.

3. Задача. В экзаменационном билете два теоретических вопроса и одна задача. Вероятность того, что студент решит задачу равна 0,7. Из 50 теоретических вопросов он знает 25. Какова вероятность того, что студент ответит правильно на весь билет?

Задания на контрольную работу для студентов-заочников специальности ИСЖ























МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

В РОИТ МИИТ изданы различные учебно-методические пособия, помогающие студенту сделать контрольную работу, написать курсовую работу. Ниже приведен список.

Методические пособия





  • Синдаловский Г.Х. Высшая математика. Основные понятия теории вероятностей. – М.: РГОТУПС, 1997.

  • Гушель Н.П. Начальные понятия комбинаторики: Учеб. пособ. – М.: ВЗИИТ, 1992.

  • Малышева И.А. Теория вероятностей и массового обслуживания: Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников II курса специальности УПП. – М.: ВЗИИТ, 1991.

  • Малышева И.А. Теория массового обслуживания. Методические указания по выполнению контрольных задач для студентов III курса специальностей ИСЖ и ЭВМ. – М.: РГОТУПС, 2002.

  • Малышева И.А. Теория массового обслуживания. Рабочая программа и задания на контрольную работу для студентов III курса специальностей ИСЖ и ЭВМ. – М.: РГОТУПС, 2002.



Пример методических указаний к решению задач по теории вероятностей
Классическое определение вероятности события А

,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, а n – общее число элементарных исходов испытания, если эти элементарные исходы равновозможные и образуют полную группу.

Для решения задач теории вероятности используют понятие числа сочетаний.

Числом сочетаний из n элементов по k в каждом, называют число соединений, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n по k обычно обозначается



n! (то есть n факториал) означает произведение всех натуральных чисел от единицы до n, т.е.



Например
Пример: В партии из 20 деталей имеется 18 стандартных. Наудачу отобраны 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 4 стандартных.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 20 деталей, то есть (числу сочетаний из 20 элементов по 5 элементов)

Число элементарных исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (что среди 5 деталей ровно 4 стандартных) можно сосчитать следующим образом: четыре стандартных детали можно взять из 18 стандартных деталей способами; при этом оставшаяся одна деталь должна быть нестандартной. Взять одну нестандартную деталь из двух нестандартных можно способами.

Итак, число благоприятствующих исходов равно

Общее число элементарных исходов



Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события к общему числу всех исходов. При этом оставшаяся одна деталь должна быть нестандартной. Взять одну нестандартную деталь из двух нестандартных можно способами.

Итак, число благоприятствующих исходов равно

Общее число элементарных исходов



Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события к общему числу всех исходов.

Справедливы следующие теоремы:

  1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.



  1. Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.



  1. Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.



Обратите внимание на то, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3, так как для независимых событий - вероятность события В при условии наступления события А, то есть условная вероятность, равна безусловной вероятности .

4. Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Теоремы верны не только для двух событий, но и для большого числа.
Пример 1. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4 , можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Введем обозначения событий:

Событие - ни при одном выстреле не будет промаха.

Событие - при первом выстреле не будет промаха.

Событие - при втором выстреле не будет промаха.



Событие - при i-м выстреле не будет промаха (i=1,2,3…n)

Интересующее нас событие состоит в совмещении событий ,



, при i= 1,2,3…n

События независимы в совокупности, поэтому применим теорему умножения независимых событий.



По условию задачи



Следовательно

И

Т.к.

И

И получим, что

Если события , независимы в совокупности и их вероятности равны , ;

Пусть в результате испытания может наступить один из них, или любые два, или любые три, или так далее, или все эти события, или не одного из них, то справедлива теорема 5. Вероятность наступления события , состоящего в появлении хотя бы одного из ,, независимых в совокупности, равна разнице между единицей и произведением вероятностей противоположных событий



Если все события имеют одинаковую вероятность P, то вероятность появления хотя бы одного из них

()

Пример. В электронную цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятность отказа элементов , ,

Найти вероятность того, что тока в цепях не будет. Так как элементы включены последовательно, тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент.

Искомая вероятность


Теорема 6. (формула полной вероятности)

Вероятность события А, которое может наступать лишь при появлении одного из событий , образующая полную группу, равна сумме и произведений вероятностей каждой из гипотезна соответствующую условную вероятность события А :

,

где + +…+ =1
Теорема 7. (Формула Байеса)

Пусть событие Ф может наступать лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , ,.., , которые образуют полную группу событий . Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоцененные по формуле Байеса

(i=1,2,…n)

Пример. Число грузовых автомашин проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2 .Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовик. Введем обозначения событий. А- событие заключающееся в том, что машина подъехала на заправку. Сделаем 2 гипотезы. -машина легковая. -машина грузовая. Подсчитаем вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.

.

. .

. .

.

Событие А произошло. Машина подъехала заправиться. Вероятность того, что это грузовая машина: .

Теорема 8 (Формула Бернулли). Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна Р (а не наступления q=1-p), события наступят ровно К раз, равна: .

Пример. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей 2 мальчика (вероятность рождения мальчика равна 0.51). Обозначим А событие, состоящее в рождении мальчика. Можно сказать, что производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний и зависит от других испытаний и равна Р=0.51. Вероятность того что в пяти независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события А равна Р=0.51(q=0.49) событие А наступит ровно 2 раза равна: .

С помощью этих теорем можно решить первую задачу.

Задача. Относится к разделу непрерывные случайные величины. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения. Дискретная случайная величина задается таблицей или графиком, или аналитически. Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: (1) Так же дисперсию удобно вычислять по формуле: (2). Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии .Очевидно, невозможно задать непрерывную случайную величину таблицей, так как она принимает все значения из какого-либо конечного или бесконечного промежутка, таких значений бесчисленное множество, перечислить их нельзя. Для задания непрерывной случайной величины используют функции распределения. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х т.е. .Иногда вместо слов “функция распределения’’ говорят “интегральная функция распределения’’. Эта функция обладает следующими свойствами:

1.Значение функции распределяется

Линия принадлежит отрезку



2.Функция распределения, неубывающая функция

если >

3.Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале

равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале.



4.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное

Значение равное нулю

5.Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

при

при

6.Справедливы следующие соотношения

;

Функцию распределения иначе называют интегральной функцией распределения, потому что имеется дифференциальная функция распределения или функция плотности распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу определяется равенством



Зная плотность распределения, можно найти интегральную функцию распределения



Свойства функции плотности:

1.Плотность распределения неотрицательна, то есть

2.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах

от до равен единице:

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат всей оси , определяется так:

, где

- плотность распределения случайной величины .

В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат интервалу , то



Медианой непрерывной случайной величины называют, то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой непрерывной случайной величины называют, то ее возможное значение, которое определяется следующим равенством:



Дисперсия непрерывной случайной величины определяется равенством



Соответствующим формуле ( * * ) из части, посвященной дискретным случайным величинам, или

Пример: Дана функция распределения непрерывной случайной величины

при

1.Найдем плотность распределения .

Плотность распределения равна первой производной от функции распределения

при

Заметим, что при производная не существует.

2.Найдем вероятность того, что примет значения из интервала

а) Можно воспользоваться формулой:



б) Можно воспользоваться формулой:



3. Найдем математическое ожидание величины Х.



4. Найдем дисперсию случайной величины Х. Воспользуемся формулой:



Непрерывные случайные величины могут быть распределены равномерно. Равномерным называют распределение вероятностей случайной величины X, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно ; вне этого интервала .

Непрерывные случайные величины могут быть распределены по показательному закону. Показательным законом или экспоненциальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, заданной плотностью


-положительная постоянная величина.

Непрерывные случайные величины могут быть распределены по нормальному закону. Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которой имеет вид



где aматематическое ожидание,

- среднестатистическое отклонение Х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
, где

- функция Лапласа

Вероятность данного отклонения ( т.е. вероятность того, что нормально распределённая величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на )



Во всех учебниках по теории вероятности имеются таблицы значений функции Лапласа и соответствующей функции плотности.

Для нормального распределения справедливо “правило трёх сигм”

Что означает, что 99,73% значений нормально распределенной величины лежит в интервале

.
Хорошо видно на графике функции плотности нормально распределённой случайной величины .

Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания х примет значении, заключенное в интервале (12; 14)

Функция плотности случайной величины х имеет вид:


Воспользуемся формулой:




Значения Ф взяты из таблицы значений функции:


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
Основной объем учебной работы студент выполняет самостоятельно, изучая рекомендуемую литературу, в соответствии с учебным материалом рабочей программы, выполняя курсовую работу или контрольную работу и подготовку к сдаче зачета по контрольной работе и экзамена по курсу дисциплины, предусмотренные учебным планом. При необходимости студент консультируется у преподавателя. Лекционные и практические занятия в вузе во время учебной сессии являются установочными.

В процессе обучения рекомендуется использовать современные версии пакетов прикладных программ для математических расчетов: Mathematica, Matlab,Mathcad, Maple,Derive, Excel,Statistica. Применение компьютерной техники и прикладных программ имеет целью сокращение времени выполнения расчетов и оформления полученных результатов, но

не может заменить изучение и освоение метода решения задач. Поэтому задачи и необходимые примеры с выполнением всех промежуточных расчетов предварительно решаются вручную и лишь затем, при необходимости использовать освоенные методы и будучи уверенным в правильности их применения и получения ожидаемых результатов, в целях сокращения времени на рутинную работу применяется быстродействующая вычислительная техника.












МАТЕРИАЛЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО, ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Защита работы проводится по тестовым заданиям для I части и в форме качественной беседы для II части. Формулировка вопросов и ответы на них фиксируются в конце работы на чистых страницах. Приведем примеры тестовых заданий для I части курсовой работы.

Вопрос №1. В урне 3 белых, 5 черных и 7 красных шаров. Наугад вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара либо белые, либо черные.

Вопрос №2. Написать выборочное уравнение прямой регрессии Y на X, если известно, что



Вопрос №3. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Вопрос №4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Найти функцию распределения и построить ее график.
Вопрос №5. Плоскость разграфлена параллельными прямыми так, что получаются квадраты со стороной 20 см. На плоскость брошена монета радиуса 1 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной прямой.

Вопросы по II части курсовой работы носят качественный характер и существенно зависят от характера ошибок и недочетов, допущенных студентом в процессе выполнения работы. Приведем примеры вопросов по II части курсовой работы.

Вопрос №1. Как меняется гистограмма плотности относительных частот с увеличением k?

Вопрос №2. В чем состоит свойство устойчивости относительной частоты?

Вопрос №3. Как меняется гистограмма плотности относительных частот нормально распределенного количественного признака с ростом
М (Х); с уменьшением (Х) теоретического распределения?

Сдача экзамена по курсу



После защиты курсовой работы студент сдает экзамен. Экзамен проводится по билетам. Каждый билет содержит два теоретических вопроса и одну задачу. Приведем пример экзаменационного билета.
Билет №41
1. Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей при известном и неизвестном среднеквадратическом отклонении. Критерий Стьюдента.

2. Способы задания случайных функций. Виды случайных функций. Характеристики случайных функций. Их определение из данных опыта.

3. Задача. В экзаменационном билете два теоретических вопроса и одна задача. Вероятность того, что студент решит задачу равна 0,7. Из 50 теоретических вопросов он знает 25. Какова вероятность того, что студент ответит правильно на весь билет?
1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconПримерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
По дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconТеория вероятностей и математическая статистика
М математика: часть II. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс / Сост. Кит Ю. В. – Казань:...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconУчебно-методический комплекс по учебным дисциплинам «Теория вероятностей»
Учебно-методический комплекс по учебным дисциплинам «Теория вероятностей» и «Математическая статистика» для социологов: Учебно-методическое...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconТеория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н....
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconРабочая программа дисциплины (модуля) "Теория вероятностей и математическая статистика"
Цель освоения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – фундаментальная подготовка в области теории...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconПрограмма курса лекций "Теория вероятностей и математическая статистика"
Интуитивные предпосылки теории вероятностей: испытание, событие, детерминированные, недетерминированные и случайные события, статистическая...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconКурса теория вероятностей и математическая статистика Дискретная теория вероятностей
Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по n ячейкам (статистика...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика Направление подготовки 080100 Экономика
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки...
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» iconИ. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике краткий курс лекций для инженеров
Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org