Решение одной задачи теории оптимального управления с подвижным левым концом и закреплённым правым концом

УДК 62-50 Решение одной задачи теории оптимального управления с подвижным левым концом и закреплённым правым концом Лутманов Сергей Викторович (научный руководитель) Вилданов Владислав Рафисович Созонов Николай Сергеевич Попова Екатерина Сергеевна Куксенок Любовь Владимировна Адрес: ПГНИУ, ул. Букирева, 15. E-mail: young1990@ya.ru В статье на базе формулы Коши для решения системы линейных дифференциальных уравнений выводятся необходимые условия оптимальности в задаче оптимального управления с подвижным левым концом. Их применение иллюстрируется на примере конкретной управляемой линейной динамической системе второго порядка. Введение. В линейных задачах теории оптимального управление использование формулы Коши для решения системы дифференциальных уравнений позволяет свести вывод условий трансверсальности для оптимальной траектории, к задаче математического программирования специального вида, применив для ее решения необходимые условия Кароша—Джона [1]. В работе получены указанные условия трансверсальности и на их основе решен конкретный пример задачи теории оптимального управления с подвижным левым концом. 1. Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу теории оптимального управления Задача 1. Найти допустимую программную стратегию , доставляющую минимум функционалу при ограничениях , , где матрицы размера , соответственно, непрерывные по переменной . Относительно множества предположим, что оно имеет вид , где -заданные непрерывно дифференцируемые по совокупности аргументов функции. Будем также считать, что для него выполнено следующее условие регулярности: для всех набор векторов gif" name="object13" align=absmiddle width=287 height=44> является линейно независимым. 2. Вывод необходимых условий оптимальности. Пусть пара доставляет решение задачи 1. Тогда в соответствие с принципом максимума Л. С. Понтрягина [2] должно выполняться (1) для почти всех , где ,. (2) Условия (1) и (2) не позволяют однозначно определить программную стратегию управления, претендующую на решение задачи 1, поскольку они содержат неизвестных параметров, образующих вектор начальных условий . Для их определения выведем так называемые условия трансверсальности на левом конце траектории. Оптимальное начальное положение фазового вектора удовлетворяет равенству . По теореме Кароша – Джона существует вектор , для которого справедливы соотношения ; (3) ; (4) . (5) Заметим, что в силу регулярности множества , в условии (5) можно сразу записать . Действительно, пусть . Тогда из условий (3) и (4) следует, что , (6) причем среди чисел есть числа, отличные от нуля. Равенство (6) противоречит линейной независимости набора векторов . Остается признать, что . Вычисляем . Теперь условие (3) можно переписать в виде . Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть пара доставляет решение задачи 1. Тогда необходимо при почти всех . В случае, когда для множества выполнены условия регулярности, существует набор чисел таких, что . 3. Модельный пример Рассмотрим линейный управляемый динамический объект , , , . Таким образом функции определяются в следующем виде: , . Множество показано на рис. 1. Рис. 1 Из условия (1) программное управление определяется следующим образом , а объединенная система дифференциальных уравнений имеет вид , , (7) , . Выпишем граничные условия. На правом конце траектории: , . (8) В соответствии с теоремой 1 выпишем граничные условия на левом конце траектории: , , , , . Общее решение системы дифференциальных уравнений (7) имеет вид , (9) , , . Выпишем граничные условия с учетом равенств (9). На левом конце , , , , (10) , . На правом конце , (11) . В результате получилась система из восьми уравнений относительно восьми неизвестных. Последовательно рассмотрим четыре случая: 1) , 2) , 1) , 1) . Случай 1. Из первых двух равенств в (10) вытекает, что . В этом случае условия принципа максимума не позволяют определить структуру оптимального управления. Случай 2. Граничные условия принимают вид , , (12) , , , . (13) Решением системы (12), (13) будут числа . (14) Проверим, входит ли точка (0;2) в : , следовательно точка принадлежит области . Подставляя (14) в (7), определяем программную стратегию и траекторию объекта. Значение функционала равно . Случай 3. Граничные условия принимают вид , , . (15) , . (16) Решением системы (15), (16) будут числа . Проверим, входит ли точка (1.1525,3.9884) в : , следовательно точка не принадлежит области . Случай 4. Граничные условия принимают вид , , . (17) , , . (18) Эта система имеет два решения. Первое решение . Значение функционала равно . Второе решение . Подставляя это решение в (7), определяем программную стратегию и траекторию объекта. Значение функционала равно Таким образом, задача оптимального управления имеет оптимальное решение, полученное в последнем случае, так как при этом значение функционала наименьшее. На рис. 2 представлена оптимальная траектория динамического объекта. Рис. 2 Заключение Условия принципа максимума и условия трансверсальности позволили однозначно определить программное управление и траекторию движения динамической системы. В силу того, что для данной задачи выполнены предположения теоремы существования оптимального решения, полученная пара является искомой. Библиографический список 1. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач /Ф. П. Васильев. М.: Наука, 1988. 549 с. 2. Понтрягин Л.С., Математическая теория оптимальных процессов /Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М.: Наука, 1976. 392 с. One optimal control problem with variable initial point and fixed endpoint Lutmanov Sergey Viktorovich (advisior) Vildanov Vladislav Rafisovich Kuksеnok Lubov Vladimirovna Popova Ekaterina Sergeevna Sozonov Nikolay Sergeevich In this article Cauchy’s differential formula was used to found necessary conditions of optimal control problem with variable initial point. They are used in example of linear dynamic control system of second order.

Похожие:

	Решение Рассмотрим задачу оптимального управления: при. Запишем функцию Лагранжа Привести пример задачи оптимального управления, в которой функция не является непрерывно дифференцируемой		Тема «Математическая теория оптимального управления» Предметом математической теории оптимального управления является методы решения задач, в которых учитываются изменения изучаемых...
	2. Характеристика задачи оптимального размещения элементов топологии Целью настоящей работы является изучение и исследование задачи оптимального размещения элементов топологии сложных объектов проектирования...		Лабораторная работа №2 по дисциплине «Теория оптимального управления» Программная реализация метода локальных вариаций и решение задачи о брахистохроне при кусочно-линейных ограничениях на допустимые...
	«Дрянцо хлещите рифмы концом»		Рабочая программа дисциплины "Управляемые случайные процессы" Направление подготовки Для изучения курса необходимо усвоение студентами теории дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории вероятностей, теории...
	Пентаграмма и ее значение Пентаграмма — основной символ Сатанизма. Она представляет собой пятиконечную звезду, направленную концом вниз и вписанную в круг....		Реализация многометодных процедур оптимального управления Интеллектуальной Системы построения процедур Оптимизации Управления (исоу) [5]. Приводится пример использования описываемого подхода...
	Конспект урока по физической культуре в 9 классе Учитель Телепнев Н. Д. Тема урока: Развитие двигательных качеств (раздел Гимнастика) Задачи урока: Развитие двигательных качеств круговым методом Бег, бег с заданиями (правым, левым боком, приставными шагами, бег спиной вперед, прыжками на правой и левой ноге)		Лекция 7 Классификация задач оптимального управления Математически задача оптимального управления может быть сформулирована так. Дан управляемый динамический объект, вектор состояния...