Тема «Математическая теория оптимального управления»



Скачать 34.28 Kb.
Дата07.11.2012
Размер34.28 Kb.
ТипДокументы
Тема «Математическая теория оптимального управления»

  1. Постановка задачи теории оптимального управления.

  2. Условия оптимальности (по Понтрягину).


1.Постановка задачи теории оптимального управления

Предметом математической теории оптимального управления является методы решения задач, в которых учитываются изменения изучаемых объектов и систем во времени и пространстве при поиске оптимального управления.

Рассмотрим динамический объект, состояние которого в каждый момент времени t описывается несколькими величинами , которые называются фазовыми координатами, т.е. имеем вектор . Пример, положение самолета как твердого тела в пространстве полностью определяет шестимерная вектор-функция времени. Три координаты определяют положение центра масс, а три – определяют вращение вокруг центра масс.

Объектом можно управлять изменяя управляемые параметры ). Состояние объекта изменяется во времени по закону, который связывает функции и :

, (*)

где t- время;

- вектор состояния;

- вектор управления;

- некоторая заданная функция, непрерывная вместе со своими частными производными.

Это система обыкновенных дифференциальных уравнений в векторной форме. Она описывает скорость изменения каждой фазовой координаты.

Управление объектом происходит за интервал времени , поэтому параметр .

На управление обычно накладываются условия

,

где - множество допустимых управлений;

- функции кусочно-непрерывные, т.е. имеют конечное число разрывов первого рода.


Начальное состояние объекта задается функцией .

Критерий качества управления объектом имеет вид (задача Больца):

,

где и - заданные непрерывно – дифференцируемые функции.

Интегральная часть критерия качества (первое слагаемое) характеризует качество функционирования объекта за весь период управления . Терминальный член (второе слагаемое) характеризует только конечный результат воздействия управления.

Если в задаче моменты времени и известны, то она называется задачей с фиксированным временем. Иначе, это задача с нефиксированным моментом начала и окончания управления.

В задаче необходимо найти такое решение , что ,

где - оптимальный момент окончания процесса;

- оптимальная траектория;

- оптимальное управление.

Или

Задача Лагранже (интегральный критерий).

Рассмотрим ситуацию, когда функционал качества имеет вид

.

Пусть - новая переменная, тогда (**).

Тогда задача нахождения минимума критерия качества становится задачей определения минимума фазовой координаты в момент времени расширенного векторного пространства по отношению к управлению u.

На конечное положение объекта могут накладываться ограничения вида:

, (***),

где - дифференцируемые функции.

Воспользуемся методом множителей Лагранжа и составим функцию:

,

где - неопределенные множители Лагранжа .

Итак, необходимо найти , при котором функционал будет оптимален.

2.Условия оптимальности (по Понтрягину)

Понтрягин и его ученики открыли принцип максимума, который связал оптимизируемый функционал с динамикой процесса, и решили задачу Лагранжа (интегральный критерий).

Была построена функция Гамильтона (или функция Понтрягина) вида:

,

где - правые части уравнений (*) и (**).

Вспомогательные функции удовлетворяют уравнению: для условий (***)

=

=, ;

.

Принцип максимума: для оптимального управления и соответствующих координат , обеспечивающих минимальное значение , функция Гамильтона имеет максимум по отношению к управлению на всем интервале . (это необходимое условие для нелинейных объектов; а также необходимое и достаточное условие оптимальности для линейных объектов).

Таким образом, задача определения оптимального управления становится задачей нахождения максимума функции относительно для любого момента времени .





Похожие:

Тема «Математическая теория оптимального управления» iconРешение Рассмотрим задачу оптимального управления: при. Запишем функцию Лагранжа
Привести пример задачи оптимального управления, в которой функция не является непрерывно дифференцируемой
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconЛекция 7 Классификация задач оптимального управления
Математически задача оптимального управления может быть сформулирована так. Дан управляемый динамический объект, вектор состояния...
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconСпециальность 05. 13. 01. «Управление в технических системах» Основные понятия и определения теории управления
Теория управления, кибернетика и математическая теория систем. Понятия абстрактной системы. Структурные схемы и структурные преобразования....
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconРабочая программа дисциплины Математическая логика и теория алгоритмов Направление подготовки 230700 Прикладная информатика
Целями освоения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» являются получение теоретических знаний по основам математическая...
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconСписок публикаций по кафедре дифференциальных уравнений 1998 год
Минюк, В. К. Бойко. О решении некоторых задач оптимального управления для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений//...
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconРешение одной задачи теории оптимального управления с подвижным левым концом и закреплённым правым концом
В статье на базе формулы Коши для решения системы линейных дифференциальных уравнений выводятся необходимые условия оптимальности...
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconЛабораторная работа №2 по дисциплине «Теория оптимального управления»
Программная реализация метода локальных вариаций и решение задачи о брахистохроне при кусочно-линейных ограничениях на допустимые...
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconТеория вероятностей и математическая статистика
М математика: часть II. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс / Сост. Кит Ю. В. – Казань:...
Тема «Математическая теория оптимального управления» iconТеория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org