Тема «Математическая теория оптимального управления»
|
Скачать 34.28 Kb.
|
Тема «Математическая теория оптимального управления»
1.Постановка задачи теории оптимального управления Предметом математической теории оптимального управления является методы решения задач, в которых учитываются изменения изучаемых объектов и систем во времени и пространстве при поиске оптимального управления. Рассмотрим динамический объект, состояние которого в каждый момент времени t описывается несколькими величинами  , которые называются фазовыми координатами, т.е. имеем вектор  . Пример, положение самолета как твердого тела в пространстве полностью определяет шестимерная вектор-функция времени. Три координаты определяют положение центра масс, а три – определяют вращение вокруг центра масс.Объектом можно управлять изменяя управляемые параметры  ). Состояние объекта изменяется во времени по закону, который связывает функции  и  : , (*)где t- время;  - вектор состояния; - вектор управления; - некоторая заданная функция, непрерывная вместе со своими частными производными.Это система обыкновенных дифференциальных уравнений в векторной форме. Она описывает скорость изменения каждой фазовой координаты. Управление объектом происходит за интервал времени  , поэтому параметр  .На управление обычно накладываются условия  ,где  - множество допустимых управлений; - функции кусочно-непрерывные, т.е. имеют конечное число разрывов первого рода.Начальное состояние объекта задается функцией  .Критерий качества управления объектом имеет вид (задача Больца):  ,где  и  - заданные непрерывно – дифференцируемые функции.Интегральная часть критерия качества (первое слагаемое) характеризует качество функционирования объекта за весь период управления . Терминальный член (второе слагаемое) характеризует только конечный результат воздействия управления.Если в задаче моменты времени  и  известны, то она называется задачей с фиксированным временем. Иначе, это задача с нефиксированным моментом начала и окончания управления.В задаче необходимо найти такое решение  , что  ,где  - оптимальный момент окончания процесса; - оптимальная траектория; - оптимальное управление.Или  Задача Лагранже (интегральный критерий). Рассмотрим ситуацию, когда функционал качества имеет вид  .Пусть  - новая переменная, тогда  (**).Тогда задача нахождения минимума критерия качества  становится задачей определения минимума фазовой координаты  в момент времени расширенного векторного пространства по отношению к управлению u. На конечное положение объекта могут накладываться ограничения вида:  ,  (***),где  - дифференцируемые функции.Воспользуемся методом множителей Лагранжа и составим функцию:  ,где  - неопределенные множители Лагранжа .Итак, необходимо найти  , при котором функционал  будет оптимален.2.Условия оптимальности (по Понтрягину) Понтрягин и его ученики открыли принцип максимума, который связал оптимизируемый функционал с динамикой процесса, и решили задачу Лагранжа (интегральный критерий).Была построена функция Гамильтона (или функция Понтрягина) вида:  ,где  - правые части уравнений (*) и (**).Вспомогательные функции  удовлетворяют уравнению: для условий (***) ==  ,  ; .Принцип максимума: для оптимального управления и соответствующих координат  , обеспечивающих минимальное значение , функция Гамильтона  имеет максимум по отношению к управлению на всем интервале . (это необходимое условие для нелинейных объектов; а также необходимое и достаточное условие оптимальности для линейных объектов).Таким образом, задача определения оптимального управления становится задачей нахождения максимума функции относительно для любого момента времени . |
Похожие:
 | Решение Рассмотрим задачу оптимального управления: при. Запишем функцию Лагранжа Привести пример задачи оптимального управления, в которой функция не является непрерывно дифференцируемой |  | Лекция 7 Классификация задач оптимального управления Математически задача оптимального управления может быть сформулирована так. Дан управляемый динамический объект, вектор состояния... |
| Специальность 05. 13. 01. «Управление в технических системах» Основные понятия и определения теории управления Теория управления, кибернетика и математическая теория систем. Понятия абстрактной системы. Структурные схемы и структурные преобразования.... | | Рабочая программа дисциплины Математическая логика и теория алгоритмов Направление подготовки 230700 Прикладная информатика Целями освоения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» являются получение теоретических знаний по основам математическая... |
| Список публикаций по кафедре дифференциальных уравнений 1998 год Минюк, В. К. Бойко. О решении некоторых задач оптимального управления для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений//... | | Решение одной задачи теории оптимального управления с подвижным левым концом и закреплённым правым концом В статье на базе формулы Коши для решения системы линейных дифференциальных уравнений выводятся необходимые условия оптимальности... |
| Лабораторная работа №2 по дисциплине «Теория оптимального управления» Программная реализация метода локальных вариаций и решение задачи о брахистохроне при кусочно-линейных ограничениях на допустимые... | | Контрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей |
| Теория вероятностей и математическая статистика М математика: часть II. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс / Сост. Кит Ю. В. – Казань:... | | Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н.... |