Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида



Скачать 259.96 Kb.
страница1/5
Дата08.10.2012
Размер259.96 Kb.
ТипЗадача
  1   2   3   4   5
Решение нелинейных уравнений

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида

F(x)=0        (1)

встречается в различных областях научных исследований. (здесь F(x) – некоторая непрерывная функция).

 

Нелинейные уравнения делятся на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

 

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения, в виде формулы. Из курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

 

Однако встречающиеся на практике уравнения не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы.

 

Итерационные методы, как и все численные методы, являются приближенными методами.

 

Пусть имеется точный корень уравнения (1) x’, превращающий уравнение в тождество F(x’)=0.

Решая уравнение численным методом, мы находим приближенное значение корня x*, которое отличается от точного на некоторую величину r, r  = |x’-x*| называемую абсолютной погрешностью.

 

Сущность итерационного метода заключается в следующем:

Задается начальное, возможно очень грубое, приближение к корню уравнения, называемое нулевым приближением - x0.

 

Затем, используя x0, по так называемой итерационной формуле, своей для каждого метода, находится следующее приближение к корню x1. Затем оценивается его погрешность r1.

 

Если эта погрешность нас устраивает, т.е. r1<e, где e - заранее заданное малое число, называемое точностью, то говорят, что мы решили уравнение с точностьe, или что x1 является корнем нашего уравнения  с точностьюe, если нет, то, повторяя вычисления по итерационной формуле (или выполняя n количество итераций) находим последовательность приближенных значений корня x1, x2, x3… xn.

Имеющих погрешности r1, r2, r3… rn.

Если эти значения с ростом n приближаются к точному значению корня x’ (погрешности уменьшаются r1> r2> r3>… >rn.), то говорят, что итерационный процесс сходится.

Итак, численные методы решения нелинейного уравнения состоят из трех этапов:

·        отделение корня,

·        уточнения корня,

·        оценка погрешности.


Цель первого этапа – найти отрезок [a,b], на котором функция F(x) меняет знак. Если F(x) непрерывна на[a,b], то уравнение (1) имеет хотя бы один корень на этом отрезке, если, к тому же F(x)строго монотонна на[a,b], то корень единственный.

 

Отделение корней можно провести графически, построив график функции F(x), а можно протабулировать функцию F(x)  на достаточно большом участке числовой прямой с достаточно большим шагом h, т. е. Вычислить значения F(x) начиная с некоторой точки x0, двигаясь вправо с шагом h.

 

Как только обнаружится пара соседних значений F(xi-1), F(xi), имеющие разные знаки,

F(xi-1) * F(xi) < 0.

Говорят, что удалось отделить отрезок [a,b] =[xi-1,xi], содержащий корень. Уточнение корня проводится подходящим численным методом.

Отделение корней
Отделение корней алгебраических
и трансцендентных уравнений

Пусть имеется уравнение вида

F(x) = 0,  (2.1)

где F(x) — алгебраическая или трансцендентная функция.

 

Решить такое уравнение - значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней (либо точно, либо, если это невозможно, то с нужной точностью). Мы ограничимся обсуждением методов поиска лишь действительных корней,  не затрагивая проблему корней комплексных.

 

Решение указанной задачи в достаточно общем случае начинается с отделения корней, т. е. с установления:

  • количества корней;

  • наиболее «тесных» промежутков, каждый из которых содержит только один корень.

Следует отметить, что универсальных приемов решения этой задачи, пригодных для любых уравнений, не существует.

 

Если бы мы располагали графиком функции F(x), то примерное положение корней уравнения (2.1) было бы очевидным — точки пересечения графика с осью абсцисс. Однако построение графиков функций обычно и начинается с поиска ее нулей, т.е. возникает замкнутый круг.

 

Тем не менее отделение корней во многих случаях можно произвести графически. Задачу часто удается сильно упростить, заменив уравнение (2.1) равносильным ему уравнением

f1(x)=f2(x)           (2.2)

В этом случае строятся графики функций f1(x) и f2(x), а потом на оси х отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

 

Пример 2.1

 

Для графического отделения корней уравнения sin 2x - In x = 0 преобразуем его к равносильному уравнению sin 2x = ln x и отдельно построим графики функций sin2x и lnx (рис. 2.1).

 

Из графика вполне очевидно, что уравнение имеет единственный корень E, и этот корень находится на отрезке [1; 1,5].

 



Рис. 2.1. Иллюстрация к отделению корней уравнения

 

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные положения:

  1. Если непрерывная на отрезке [а; b] функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. F(a)*F(b) < 0), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень.

  2. Если функция F(x) к тому же еще и монотонна, то корень на отрезке [а; b] единственный.

Вычислим для проверки значения функции F(x) = sin 2x - ln x на концах отрезка [1; 1,5]: F(l) = 0,909298; F(l,5) = -0,264344. Как видно, корень на отрезке [1; 1,5] действительно имеется.

 

Рассмотренный прием позволяет при желании сузить отрезок, полученный графическим способом. Так, в нашем примере имеем F(1,3) = 0,253138 > 0, так что отрезком, на котором находится корень, можно считать [1,3; 1,5].

 

В простейших случаях графическое отделение корней можно осуществить вручную, однако в более сложных случаях для исследования вопроса о наличии (и количестве) корней уравнения на заданном отрезке целесообразнее воспользоваться инструментальным пакетом или составить программу для компьютера на языке программирования. Рассмотрим коротко суть идеи для применения указанных подходов.

 

Пусть имеется уравнение F(x) = 0, причем известно, что все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке [А; В], на котором функция F(x) определена, непрерывна и F(A)*F(B) < 0. Требуется отделить корни уравнения, т.е. указать все отрезки [а; b] принадлежащие [А; В], содержащие по одному корню.

 

Будем вычислять значения F(x), начиная с точки х-А, двигаясь вправо с некоторым шагом h (рис. 2.2).

 

Как только обнаружится пара соседних значений F(x), имеющих разные знаки, и функция F(x) монотонна на этом отрезке, так соответствующие значения аргумента х (предыдущее и следующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

 



Рис. 2.2. Иллюстрация к процессу отделения корня

 

 

Пример 2.2

 

Построить графическую иллюстрацию и локализовать корни уравнения cos x = 0,1х на отрезке [-10; 10] с шагом 0,1.

 

Решим эту задачу с помощью Excel (рис. 2.3).



 



Рис. 2.3. Отделение корней функции с помощью ТП Excel

 

Кроме графика функции у = cos х - 0,1 х  на экран компьютера выводится таблица табулирования, из которой и выбирается окончательный результат — семь отрезков отделения корня с шагом 0,1: -9,7 < Х\ < -9,6;  -9,0 < х2 < -8,9;  -4,3 < х3 < -4,2;  -1,8 < х4 < -1,7;  1,4 < х5 < 1,5;  5,2 < x6 < 5,3;  7,0 < х7 < 7,1.

 

Рассмотрим решение этой же задачи отделения корней уравнения cosx = 0,1х на отрезке [-10; 10] с помощью программы для компьютера.

 

Общая схема соответствующего алгоритма изображена на рис. 2.4. Результатом решения поставленной задачи будут выводимые на экран (или на печать) в цикле значения параметров х1 и х2 (концов выделенных отрезков).

 

По схеме алгоритма отделения корней легко составить программу.

Ниже приведена программа отделения корней уравнения на языке Turbo Pascal.

 

 





 

 

Рис. 2.4. Блок-схема алгоритма отделения корней уравнения F(x) = О

 

Результаты выполнения программы:



 

Как видим, результатом решения задачи отделения корней, как и в примере 2.2, является последовательный вывод семи отрезков, содержащих по одному корню. Для того чтобы эту же программу использовать для отделения корней другого уравнения, достаточно заменить в тексте программы выражение для функции f.

 

Обратим внимание на то, что надежность рассмотренного алгоритма отделения корней уравнения зависит как от характера функции F(x), так и от выбранной величины шага h. Действительно, если при достаточно малом значении h на концах текущего отрезка [х; х + И\ функция F(x) принимает значения одного знака, естественно ожидать, что уравнение F{x) = 0 корней на этом отрезке не имеет. Это, однако, не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функции F(x) на отрезке [х; х + h] могут оказаться корни уравнения (рис. 2.5, а). Не один, а несколько корней могут оказаться на отрезке [х; х + h] и при соблюдении условия F(A)*F(B) < 0 (рис. 2.5, б). Предвидя подобные случаи, следует выбирать при отделении корней достаточно малые значения h.

 



Рис. 2.5. Зависимость количества корней функции F(x) на отрезке [х, х+ h]
от характера функции и величины шага h:

 

а — функция не меняет знака на отрезке [х, х + h], но не монотонна,
поэтому на отрезке [х, х+ h]  имеются корни;

б — функция на отрезке [х, х + h] меняет знак, но немонотонна,
поэтому корней на отрезке не один, а несколько.

 

Контрольные вопросы

1.  Что означает «решить уравнение аналитически» и «решить уравнение численно»?

2.  В чем заключается задача отделения корней?

3.  В чем суть графического метода отделения корней? Какие свойства функции одной переменной используются для проверки правильности отделения корня и его единственности на отрезке?

 

Упражнения

Отделить действительные корни уравнений: a) lg x + 6 = х2; б) x sin x -1 = 0:

1)  графическим методом (схематически, на бумаге);

2)  с помощью ТП Excel;

3)  с помощью программы для компьютера.
  1   2   3   4   5

Похожие:

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconЛабораторная работа №8 решение нелинейных уравнений отделение корней Отделить корень уравнения f X
Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a,b] является сохранение знака производной. При отделении корней стараются...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconДисциплина: Прикладная математика Факультет: 8 Курс: 2 Семестр: 4 Вопросы к коллоквиуму «методы приближённых вычислений»
Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Геометрическ интерпретация
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений методом простых итераций. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconШамшина Е. Графический метод решения уравнений вида
При решении трансцендентных уравнений мы пользуемся приближенными методами. Для выявления числа их решений выполняется эскиз графиков...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРеферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными»
Тема моего реферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. (Историческая...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconВывод формулы корней квадратного уравнения
Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org