Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида



Скачать 259.96 Kb.
страница2/5
Дата08.10.2012
Размер259.96 Kb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5

Метод половинного деления

УТОЧНЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

При решении уравнения, как правило, заранее задается допустимая погрешность е приближенного значения корня E. В процессе уточнения корней требуется найти их приближенные значения, отличающиеся от точных не более чем на е.

 

Описанный выше способ табулирования может рассматриваться и как способ уточнения корня (хотя и крайне неэффективный). При этом можно либо постепенно уменьшать шаг табулирования, приближая его к значению е, либо сделать это сразу, полагая h = е. В любом случае получим b - а < е. Тогда в качестве искомого значения корня можно выбрать середину этого отрезка, т.е. положить E = (а + b)/2.

 

Гораздо более эффективным, чем табулирование с постоянным шагом, является так называемый метод половинного деления.

 

Пусть уравнение F(x)=0 имеет на отрезке [а; b] единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [а; b] пополам точкой с = (а + b)/2. Если F(c) <> 0 (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: F(x) Меняет знак либо на отрезке [а; с] (рис. 2.6, а), либо на отрезке [a; b] (рис. 2.6, б). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

 



 

Рис. 2.6. К решению уравнения F(x) методом половинного деления:

а — функция F(x) меняет знак на отрезке [а; с];

б — функция F(x) меняет знак на отрезке [c; b]

 

Метод половинного деления вполне можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе процесса получен отрезок [а; b], содержащий корень, то, приняв приближенно х = (а + b)/2, получим ошибку, не превышающую значения



 (заметим, что речь в данном случае вдет о погрешности метода). Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на компьютере (блок-схему алгоритма см. на рис. 2.7). Отметим, что даже если на каком-то этапе деления отрезка пополам получится F(c) = 0, это не приведет к сбою алгоритма.

 



 

Рис. 2.7.
Блок-схема алгоритма уточнения корня уравнения F(x)=0 на отрезке [а; b] с точностью е методом половинного деления

 

Пример 2.3.

 

Уравнение sin 2х - ln х = 0 имеет единственный корень на отрезке [1,3; 1,5] (см. пример 2.1). Решим это уравнение с точностью до 1*10-4 методом половинного деления с помощью программы для компьютера.

 

В соответствии с блок-схемой алгоритма, изображенной на рис. 2.7, программа на языке Turbo Pascal имеет вид:  

 



 

В приведенной программе заданная точность обозначена eps, a граница погрешности текущего значения корня определяется через разность b - а. Еще раз напомним, что эта разность отождествлена в алгоритме с погрешностью метода; вычислительная же погрешность значения х как результат ошибки вычисления по формуле х= (а + b)/2 в программе в явном виде не регистрируется И связана только с погрешностью машинного представления.

 

При этом мы исходим из того, что точность машинного представления значительно выше запрашиваемой точности eps (т.е. полная погрешность значения корня отождествляется с погрешностью метода), поэтому выдаваемый программой числовой результат округляется с помощью модуля okrugl до цифр, верных в широком смысле, по запрашиваемой точности eps.

 



 

Прим. Оформление конструкции okrugl в виде модуля связано с тем, что обращение к ней будет происходить неоднократно.

 

Результат работы программы:

Введите a, b, eps

1.3 1.5 0.0001

х= 1.3995  n=4

Округление значения корня проведено до четырех знаков после запятой. Если ввести значение е = 0,000001, результат будет другой:

 

Введите a, b, eps

1.3 1.5 0.000001

х= 1.399429  n=6

При алгоритмизации метода половинного деления остановить процедуру уточнения корня можно и другим способом. Зная допустимое значение погрешности е:



легко вычислить количество шагов N(e) получения последовательных приближений:



Учитывая, что N - число целое, окончательно получим



где, как это принято, квадратные скобки означают целую часть числа.

 

Так, для уравнения, рассмотренного в примере 2.1, положив а = 1,3; b= 1,5 и е = 1*10-4, получаем



Если же положить е = 1*10-6, то получим N=18. Зная N, можно в алгоритме заменить цикл с постусловием на цикл с параметром, ограничив количество делений отрезка числом N.

 

Контрольные вопросы

  1. В чем состоит основная идея метода половинного деления?

  2. Может ли метод половинного деления дать точное значение корня уравнения?

Упражнения

  1. Уточнить методом половинного деления наименьший по модулю и отличный от нуля корень уравнения x sin x - 1 = 0 с точностью
    до 1*10-4, используя: а) калькулятор; б) программы, приведенные выше.

  2. Разработать алгоритм решения уравнения методом половинного деления, использующий цикл с параметром и формулу для вычисления количества последовательных приближений N(s) по заданной величине е.

Лабораторная работа

 

Решить уравнение F(x)=0 c точностью e методом половинного деления,

e=10-3

  1. x2 + ex = 2
     

  2. 3 sin(x + 0,7) - 0,5x = 0
     

  3. cos x – (x - 1)2 = 0
     

  4. 5 sin x = x + ln(x)
     

  5. x2 + cos(2 + x) = 1
     

  6. x ln(x + 1) = 1
     

  7. ln (x + 1) - (x - 2)2 = 0
     

  8. 2 ln x – 0,5 x + 1 = 0
     

  9. (x - 2) ln(x) = 1
     

  10. sin(x - 0,5) - 2x + 0,5 = 0
     

  11. cos (x + 0,3) = x2
     


  12. x2 - 3 sin x = 0
     

  13. x ln(x + 2) = 2
     

  14. x3 - 0,5 - sin x = 0
     

  15. sin (x + 1) = 0,2x
     

  16. 0,3 e0,6 x - x = 0
1   2   3   4   5

Похожие:

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconЛабораторная работа №8 решение нелинейных уравнений отделение корней Отделить корень уравнения f X
Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a,b] является сохранение знака производной. При отделении корней стараются...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconДисциплина: Прикладная математика Факультет: 8 Курс: 2 Семестр: 4 Вопросы к коллоквиуму «методы приближённых вычислений»
Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Геометрическ интерпретация
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений методом простых итераций. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconШамшина Е. Графический метод решения уравнений вида
При решении трансцендентных уравнений мы пользуемся приближенными методами. Для выявления числа их решений выполняется эскиз графиков...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРеферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными»
Тема моего реферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. (Историческая...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconВывод формулы корней квадратного уравнения
Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org