Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида



Скачать 259.96 Kb.
страница3/5
Дата08.10.2012
Размер259.96 Kb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5

Этапы решения прикладной задачи


Анализ ошибок (или, как говорят чаще, погрешностей) является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. Часть этих погрешностей связана с вычислениями, которые в наше время производятся на ЭВМ: в простейших случаях - на микрокалькуляторах (МК), а в достаточно сложных — на программируемых ЭВМ (компьютерах).

 

С увеличением скорости производства вычислений и с вовлечением в счетный процесс чисел с большим количеством значащих цифр, как это делается в ЭВМ, потребность в оценке фактической точности результата лишь возрастает. При этом следует правильно рассматривать сам термин «ошибка», который в данном случае выражает объективно неизбежную погрешность, сопровождающую процесс решения задачи, начиная с измерения исходных значений.

 

«Ошибка» в этом понимании не есть что-то неправильное, она не возникает исключительно в результате промахов вычислителя; от этих ошибок нельзя избавиться только путем усиления внимания к процессу измерений и вычислений. Задача анализа ошибок сводится, по существу, к отысканию их надежных границ и к соблюдению условий, обеспечивающих их минимальное распространение.

 

Возникновение, накопление и распространение ошибок проходят через все стадии решения прикладной задачи, начиная с получения значений исходных данных. В достаточно общем случае процесс решения задач с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов (рис. 1.1):

  1. постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

  2. выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);

  3. запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);

  4. отладка и исполнение программы на ЭВМ (этап реализации);

  5. анализ полученных результатов (этап интерпретации).

 



 

Рис. 1.1. Общая схема процесса компьютерного математического

моделирования

 

Рассмотрим кратко содержание перечисленных этапов решения прикладной задачи и характер возникающих при этом ошибок.

 

Фабула практических задач изначально связана не с идеальными, а с реальными объектами — производственными процессами и явлениями природы, физическими закономерностями, экономическими отношениями и т. п. По этой причине решение задачи обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий.

 

Точную формулировку условий и целей решения называют математической постановкой задачи. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с помощью математических соотношений. Этот этап называют построением математической модели, или моделированием.


 

Построение математической модели является наиболее сложным и ответственным этапом решения. Если выбранная математическая модель слишком грубо отражает изучаемое явление, то какие бы методы решения вслед за этим ни применялись, найденные значения не будут отвечать условиям реальной задачи и окажутся бесполезными.

 

Математическая модель может иметь вид уравнения, системы уравнений или быть выраженной в форме иных, как угодно сложных, математических структур или соотношений самой различной природы. Математические модели, в частности, могут быть непрерывными или дискретными, в зависимости от того, какими величинами — непрерывными или дискретными — они описаны.

 

По той причине, что математическая модель отражает лишь некоторые черты реального объекта или явления, в ряде случаев становятся актуальными вопросы существования и единственности решения в рамках математической модели. Выяснение в исходной информации необходимых и достаточных условий для существования и единственности решения имеет большое практическое значение, так как определяет цикл тех наблюдений, которые должны быть запроектированы для количественной реализации задачи.

В числе общетеоретических вопросов можно назвать также вопрос об устойчивости решений по входным условиям задачи (такую устойчивость также называют корректностью решения).

 

Вслед за построением математической модели исследователь разрабатывает (или, что бывает чаще, подбирает из числа известных) метод решения задачи и составляет алгоритмы. Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках заданной математической модели называют алгоритмизацией. На этом этапе могут использоваться любые подходящие средства представления алгоритмов: словесные описания, формулы, схемы и т.п.

Во многих случаях вслед за построением алгоритма выполняют так называемый контрольный просчет — грубую прикидку ожидаемых результатов, которые используются затем для анализа решения.

 

Особые трудности на этапе разработки алгоритма заключаются в поиске метода решения задачи. Дело в том, что уже для достаточно простых моделей чаще всего не удается получить результат решения в аналитической форме.

 

Пусть, к примеру, задача свелась к решению уравнения с одной переменной: x - tgx = 0. При всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается, и весь арсенал методов «точной» математики оказывается здесь беспомощным. В таких случаях приходится использовать приближенные математические методы, позволяющие получать удовлетворительные результаты. Основными методами решения подобных задач являются численные методы, при использовании которых результат получается путем вычислений. По этой причине наиболее естественный путь реализации численных методов - это использование ЭВМ.

 

На следующем этапе алгоритм задачи записывается на языке, понятном ЭВМ. Это - этап программирования. В простейших случаях может оказаться, что на этом этапе вовсе не составляется новая программа для ЭВМ, а дело сводится, например, к использованию имеющегося программного обеспечения.

 

После отладки и тестирования программы (если ее все же пришлось создавать) следует этап реализации — исполнение программы на ЭВМ и получение результатов решения. Время, требуемое на прохождение этого этапа, зависит от объема вычислений и быстродействия ЭВМ.

 

Завершающий этап решения задачи — это анализ, или интерпретация результатов. На этом этапе происходит осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами контрольного просчета, а также с данными, полученными экспериментальным путем. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми, а другие — противоречащими смыслу реальной задачи; такие решения следует отбросить. Высшим критерием пригодности полученных результатов в конечном итоге является практика.

 

Контрольные вопросы

  1. Из каких основных этапов состоит процесс решения задачи с помощью ЭВМ? Дайте характеристику каждого этапа.
1   2   3   4   5

Похожие:

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconЛабораторная работа №8 решение нелинейных уравнений отделение корней Отделить корень уравнения f X
Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a,b] является сохранение знака производной. При отделении корней стараются...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconДисциплина: Прикладная математика Факультет: 8 Курс: 2 Семестр: 4 Вопросы к коллоквиуму «методы приближённых вычислений»
Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Геометрическ интерпретация
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений методом простых итераций. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconШамшина Е. Графический метод решения уравнений вида
При решении трансцендентных уравнений мы пользуемся приближенными методами. Для выявления числа их решений выполняется эскиз графиков...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРеферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными»
Тема моего реферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. (Историческая...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconВывод формулы корней квадратного уравнения
Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org