Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида



Скачать 259.96 Kb.
страница4/5
Дата08.10.2012
Размер259.96 Kb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5

Классификация ошибок


В условиях использования ЭВМ численные методы выступают как мощное математическое средство решения практических задач. При этом важно иметь в виду, что сам по себе фактор использования ЭВМ не упрощает, а в некотором смысле даже усложняет (ввиду резкого возрастания количества выполняемых операций) оценку точности получаемых результатов.

 

Суть возникающих здесь проблем точно подмечена в известном принципе Питера: «ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность вычислителя». Из этого остроумного замечания следует, что, используя для решения задачи ЭВМ, вычислитель должен не столько полагаться на могущество вычислительной техники, сколько помнить о том, что в конечном итоге он получает на выходе.

 

На общую погрешность задачи, как это уже отмечалось, влияет целый ряд факторов. Отметим основные из них, рассмотрев общий ход решения задачи - от построения математической модели до производства вычислений.

 

Пусть - точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R1. Образовавшаяся таким образом погрешность е1 = R -R1 уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений (так называемая неустранимая погрешность).

 

Приступив к решению задачи в рамках математической модели, мы избираем приближенный (например, численный) метод и, еще не приступив к вычислениям, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата R2 (вместо R1). Погрешность е2 = R2 - R1 называют погрешностью метода.

 

Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Например, если складывать два числа с одинаковыми погрешностями, то погрешность суммы будет, вообще говоря, больше погрешности каждого из слагаемых.

Это обстоятельство, а также неизбежность округлений (в случае использования ЭВМ принудительное округление диктуется конечностью разрядной сетки машины) приводят к получению результата R3, отличающегося от R2 на величину вычислительной погрешности е3 = R3 - R2.

 

Полная погрешность е, очевидно, получается как сумма всех погрешностей:

е = R - R3 = (R - R1) + (R1 - R2) + (R2 - R3) = е1 + е2 + е3.


При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могут отсутствовать или незначительно влиять на окончательный результат. Тем не менее, для исчерпывающего представления о точности окончательного результата в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов.

Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности — погрешности математической модели. Располагая несовершенной математической моделью, вычислитель должен каким-то способом составить представление о величине неустранимой погрешности. Понятно, что в условиях слишком грубой модели не имеет смысла проводить утонченный анализ вычислительных ошибок.

Отсюда следует, что оценка неустранимой погрешности может послужить веским доводом для снижения требований к точности последующих вычислений, что, в свою очередь, может сделать их менее трудоемкими.

 

К числу причин, искажающих окончательный результат, следует отнести также всевозможные промахи, допускаемые иногда в процессе решения: использование не тех исходных данных, неверной программы вычислений и т.п. Возможны также ошибки из-за сбоев, возникающих в самом компьютере (бывшие обычным делом в компьютерах первого поколения и исключительно редкие — для современных ЭВМ).

Средством борьбы против промахов разного рода служит предварительная, грубая прикидка ожидаемого результата. Учитывая быстродействие ЭВМ, часто используют способ двойных вычислений, а также специально организуемые системы текущего контроля, связанные обычно с характером решаемой задачи.

 

Очевидно, что для исчерпывающего представления о погрешности окончательного результата решения задач следует учитывать влияние всех типов ошибок. Мы рассмотрели этот вопрос применительно к достаточной общей схеме решения прикладной задачи, включающей этапы построения математической (или шире - информационно-математической) модели, выбор метода, алгоритмизации и программирования, интерпретации результатов.

 

Во многих случаях исследователь может выбрать более короткий путь, исключающий часть из перечисленных выше этапов и резко сокращающий затраты на программирование. Речь идет об использовании так называемых компьютерных математических инструментов — программных пакетов, предназначенных как для производства сложных вычислений, так и для быстрого решения различных математических, научно-технических, статистических, экономических и других задач: Excel, MatLaB, MathCad, Derive, Maple, Mathematica и др.

Работа с использованием этих пакетов также предполагает обращение к вопросам точности получения результатов. Особенность применения специализированных пакетов заключается в том, что внутренние механизмы их работы большей частью скрыты для пользователя.

 

В любом случае проведение анализа ошибок, как и общее понимание проблемы точности расчетов, невозможно без ознакомления с начальными понятиями методики приближенных вычислений.

 

Контрольные вопросы

  1. Из каких частей складывается общая погрешность решения задачи?
1   2   3   4   5

Похожие:

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconЛабораторная работа №8 решение нелинейных уравнений отделение корней Отделить корень уравнения f X
Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a,b] является сохранение знака производной. При отделении корней стараются...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconДисциплина: Прикладная математика Факультет: 8 Курс: 2 Семестр: 4 Вопросы к коллоквиуму «методы приближённых вычислений»
Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Геометрическ интерпретация
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений методом простых итераций. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconШамшина Е. Графический метод решения уравнений вида
При решении трансцендентных уравнений мы пользуемся приближенными методами. Для выявления числа их решений выполняется эскиз графиков...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРеферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными»
Тема моего реферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. (Историческая...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconВывод формулы корней квадратного уравнения
Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org