Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида



Скачать 259.96 Kb.
страница5/5
Дата08.10.2012
Размер259.96 Kb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5

Абсолютная и относительная погрешности


Пусть X — точное значение некоторой величины, а х — наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:

ех = |Х-x|               (1.2)

Величина ех, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число dx, для которого справедливо неравенство

dх => |Х-х|             (1.3)

Число dx в этом случае называют предельной абсолютной погрешностью (или границей абсолютной погрешности) приближения х.

 

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа x - это всякое число dх, не меньшее абсолютной погрешности ех этого числа.

 

Пример 1.2. Возьмем число Пи - рi=3,14159265358.... Если вызвать рi на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: рi' = 3,1415926.

 

Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения рi': ерi' = |рi-рi'| = 0,00000005358.... Получили бесконечную дробь, непригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что ерi' < 0,00000006, следовательно, число 0,00000006 = 0,6*10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения рi', используемого МК вместо числа р: d рi'= 0,6· 10-7.

 

Неравенство (1.3) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:

- dх <= X <= x + dх,               (1.4)

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

НГх= х - dх;    ВГх= х + dх.       (1.5)

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки dx, так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, к примеру, в результате повторных измерений одной и той же величины получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х= 5,3.

 

Очевидно также, что граничными значениями величины x в данном случае будут НГХ = 5,2, ВГХ= 5,4, а граница абсолютной погрешности dх может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГХ и ВГХ, т.е.

dx = (5,4 - 5,2)/2 = 0,1.


По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ех к модулю значения X (когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

 

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) бх приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

бх = dx/|x|     (1.6)

Формула (1.6) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

 dx = |x|*бх      (1.7)

 

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

 

Пример 1.3. Вычислить границу относительной погрешности приближения к числу рi, используемого 8-разрядным МК (см. пример 1.2).

 

Учитывая, что 0,6*10-7 < 0,2*10-7, можно принять брi' = 0,000002%.

Это чрезвычайно высокая точность, если учесть, что для ординарных технических расчетов считается приемлемым уровень точности от 0,1 до 5%.

 

Контрольные вопросы

  1. Что такое абсолютная погрешность приближенного значения величины? граница абсолютной погрешности?

  2. Как с помощью границы абсолютной погрешности Дч известного приближенного значения ч можно указать возможные значения его нижней и верхней границ?

  3. Каким образом определяется граница абсолютной погрешности Дч для приближенного значения х, получаемого в результате многократных измерений?

  4. Что такое относительная погрешность приближенного значения величины? граница относительной погрешности?

  5. Как можно вычислить абсолютную погрешность приближения х, если известна его относительная погрешность?

Упражнения

  1. В результате измерения длины стола линейкой с сантиметровыми делениями установлено, что значение длины находится между делениями 63 и 64 см. Указать границы абсолютной и относительной погрешностей значения длины, если за наилучшее ее приближение принять ее среднее значение 63,5 см.

  2. В результате пятикратных измерений периода колебаний маятника студент получил результаты (в секундах): 4,8; 5,0; 4,9; 4,8; 5,0.
    Основываясь на этих измерениях, установить наилучшее приближение значения периода и границы абсолютной и относительной погрешностей.

Правильная запись и округление чисел


Цифра числа называется верной (в широком смысле), если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример 1.4.

а). Пусть а = 2,91385, da = 0,0097. В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

 

б). Возьмем в качестве приближения к числу р = 3,141592... число р'=3,142. Тогда |р-р'|< 0,001 = dр' (рис. 1.7), откуда следует, что в приближенном значении рi'= 3,142 все цифры являются верными.



в). Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды, начиная с восьмого, были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043*2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель, однако, может быть уверен, что оно не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.

 

Отметим, что первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

 

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Это понятно - сохранять в записи чисел неверные цифры нет смысла.

 

Но важно и другое:

если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа.

Пусть, к примеру, записано приближенное число а=16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять da = 0,001, т.е. а=1б,784±0,001.

 

Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи b=109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения b, как следует из записи, можно считать db = 0,001. Для сравнения можно заметить, что значение с=109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что dс=0,01.

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Можно сказать короче: значащими цифрами числа являются все цифры в его правильной записи, начиная с первой ненулевой слева.

 

Пример 1.5.

0,2409 - четыре значащие цифры; 24,09 - четыре значащие цифры; 100,700 - шесть значащих цифр.

 

Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть 8 значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить двумя нулями: 247,06400.

 

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т. е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр.

 

При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть x - данное число, а х1 - результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

dокр = |x-x1|    (1.8)

 

В отдельных случаях вместо dокр приходится использовать его верхнюю оценку.

 

Пример 1.6.

Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до количества разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять dокр = 0,7 · 10-7.

 

Рассмотренный случай «принудительного» округления называют округлением методом отбрасывания. Очевидно, что сам по себе метод отбрасывания оставляет все сохраняемые цифры округленного числа верными.

 

Если вычисления ведутся с точностью меньшей, чем машинная точность, целесообразнее пользоваться способом симметрического округления, который приводит к меньшей величине округления, чем способ отбрасывания.

 

Симметрическое округление выполняется по следующим правилам:

если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые десятичные знаки остаются без изменения;

если первая слева из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Из правил симметрического округления следует, что его погрешность не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда. Это обстоятельство позволяет вести счет с точностью большей, чем единица последнего сохраняемого разряда. По этой причине наряду с понятием «верная цифра в широком смысле», соответствующем методике округления путем отбрасывания, используется понятие «цифра, верная в строгом смысле», применяемое в вычислениях с симметрическим округлением.

 

Отметим, что погрешности принято записывать с одной значащей цифрой (редко — с двумя). Кроме того, при округлении погрешности обычные правила округления неприменимы: погрешности, по понятной причине, всегда округляют с завышением.

 

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример 1.7. Вычислим ч = %/236. Получим ч = 15,362291. Округлим результат до десятых методом симметрического округления: х{ = 15,4; Д*! = 0,04. Все цифры числа х{ верны в строгом смысле.

Абсолютная погрешность числа хь получаемого в результате округления приближенного значения х, складывается из абсолютной погрешности первоначального числа ч (являющегося приближением точного значения X) и погрешности округления. Действительно, из неравенства \Х - Х\ | < \Х - х\ + \х - Х\ \ < Ах + Дпкс следует, что если в результате округления приближенного числа ч получено значение хи то предельной абсолютной погрешностью числа Чй можно считать сумму предельной абсолютной погрешности числа ч и погрешности округления.

Пример 1.8. Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: а{ = 16,40. Погрешность округления Дпкс = 0,005. Для нахождения полной погрешности Дий нужно сложить Дпкс с погрешностью исходного зна-

22

чения аь которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: Дб = 0,001. Таким образом, Ай1 = Дб + Дпкс = 0,001 + 0,005 = 0,006. Отсюда следует, что в значении а\ = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

Контрольные вопросы

1. Какие цифры в записи приближенного числа называются верными в широком смысле? верными в строгом смысле?

2. Верно ли утверждение, что компьютер, округляющий числа по методу отбрасывания, всегда выдает результаты, записанные только верными цифрами? Почему?

3. Какие цифры в записи приближенного числа называются значащими?

4. Что такое округление числа? погрешность округления?

5. Как различаются округление методом отбрасывания и симметрическое округление?

6. Из чего складывается полная погрешность округленного числа?

Упражнения

1. Округлить соответственно до двух, трех и четырех знаков после запятой следующие числа: 3,009982; 24,00551; 21,161728.

2. У приближенных чисел 36,7; 2,489; 31,010; 0,031 все цифры верны в строгом смысле. Указать предельные абсолютные и относительные погрешности этих чисел.

3. У приближенных чисел 0,310; 3,495; 24,3790 все цифры верны в строгом смысле. Округлить заданные числа до сотых и определить в округленных значениях количество цифр, верных в строгом смысле.
1   2   3   4   5

Похожие:

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconЛабораторная работа №8 решение нелинейных уравнений отделение корней Отделить корень уравнения f X
Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a,b] является сохранение знака производной. При отделении корней стараются...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида
В этом случае решение уравнения 1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconДисциплина: Прикладная математика Факультет: 8 Курс: 2 Семестр: 4 Вопросы к коллоквиуму «методы приближённых вычислений»
Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Геометрическ интерпретация
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРешение нелинейных уравнений методом простых итераций. Решение нелинейных уравнений методом половинного деления

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconШамшина Е. Графический метод решения уравнений вида
При решении трансцендентных уравнений мы пользуемся приближенными методами. Для выявления числа их решений выполняется эскиз графиков...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconМетод касательных гиперплоскостей для решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В работе предлагается численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconРеферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными»
Тема моего реферата «Решение нелинейных систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. (Историческая...
Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида iconВывод формулы корней квадратного уравнения
Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org