Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу



Скачать 103.77 Kb.
Дата26.07.2014
Размер103.77 Kb.
ТипРеферат
VII региональная научно-практическая конференция учащейся молодежи

«Научное творчество молодежи – будущему России и Чувашии»


Секция МАТЕМАТИКА


Уравнения и неравенства с модулем

Щукина Оксана

МОУ «Лицей № 2» г. Чебоксары, 9 класс

Научный руководитель:

Краснова Людмила Геннадьевна

учитель математики

МОУ «Лицей № 2» г. Чебоксары

г. Чебоксары, 2010



Содержание:

  1. Введение………………………………………………………………....3

  2. Цель работы……………………………………………………………..4

  3. Простейшие уравнения…………………………………………………5

  4. Простейшие неравенства……………………………………………….6

  5. Использование геометрической интерпретации модуля для решения

уравнений и неравенств ………………………………………………..6

  1. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины…………………………………………………………………7

  2. Разные задачи:…………………………………………………………....9

Замена переменной……………………………………………………….9

Модули неотрицательного числа………………………………………..9

Геометрическая интерпретация………………………………………...10

Раскрытие модулей………………………………………………………11

Тождество………………………………………………………………...11

Теорема о знаках…………………………………………………………11

Переход к следствию…………………………………………………….12

Метод интервалов………………………………………………………..13

8. Заключение………………………………………………………………..14

9.Список литературы………………………………………………………..15



Простейшие уравнения
К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из ниже приведенных равносильных переходов:копия 01
Примеры решения уравнений:копия (2) 01
Примечание: нетрудно видеть, что другие способы решения приведенных задач были бы либо неразумными, либо и вовсе неосуществимыми.

Простейшие неравенства
К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из ниже приведенных равносильных переходов:копия 02

Примеры решения неравенств:копия (3) 02копия (2) 02


Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений и неравенств
Геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними.
Например, геометрический смысл выражения |xa| — длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами x и a. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.
Примеры решения задач:

  1. |x – 1| + | x – 2|=1.

Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссами x до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка – нет. Отсюда ответ: множество решений уравнения есть отрезок [1; 2].


  1. |x – 1| – | x – 2|=1.

Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Тогда ответ – луч [2; +∞).

  1. |x + 1| + | x – 1|>2.

Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек -1 и 1 в точности равна 2. Это все точки отрезка [-1; 1]. Очевидно, что для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух, откуда ответ: (-∞; -1) копия 03(1; +∞).

Примечание: обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

копия (2) 03

Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины
Под простейшими функциями будем понимать алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много):

Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n+1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, еще одна – произвольная точка с абсциссой меньшей меньшего из этих корней и последняя – с абсциссой большей большего из корней.


Пример построения графиков:

  1. f(x)=|x – 1|. Вычисляя значение функции 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.копия 04


  1. f(x)=|x – 1|+|x – 2|. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0, 3, получаем график, состоящий из трех отрезков прямых.

копия (2) 04

  1. f(x)=|x – 1|+|x – 2|+|x – 3|. Для построения графика «по отрезкам», вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0, 4.

копия (3) 04



  1. f(x)=|x – 1| – |x – 2|. График разности модулей строится аналогично.

копия (4) 04
Примечание: анализируя вид графиков 1, 2, и 3, можно предположить, а затем и доказать (например, по индукции), что график суммы модулей последовательных линейных выражений имеет либо острый угол, если их нечетное число, либо участок, параллельный оси абсцисс, если количество складываемых модулей четно. Используем это утверждение для решения задачи, предлагавшейся на одной из региональных олимпиад СПбГУ.

Задача: в зависимости от значений параметра а, найдите количество решений уравнения

|x – 1| + |x – 2| +…+|x – 2000|=a.

Решение: решим задачу графически. Пусть

f(x)=|x – 1| + |x – 2| =…+ |x – 2000|,

определим количество точек пересечения графика функции f и прямых y=a, в зависимости от а. исходя из утверждения, сформулированного выше, поскольку число складываемых модулей четно, график функции f будет иметь участок, параллельный оси абсцисс, на промежутке [1000; 1001]. При этом значения функции для вех точек из этого отрезка будут равны между собой и равны, например,

f(1000)=999+9998+ююю+1+0+1+…999+1000.

Поскольку указанная сумма представляет собой удвоенную сумму членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и последним членом 999, сложенную с числом 1000, она равнакопия 05

Тогда как нетрудно заключить, при копия (2) 05уравнение не будет иметь решений, при а=копия (2) 05их будет бесконечно много, а при копия (3) 05 уравнение будет иметь два решения.
Разные задачи

Замена переменной
Для иллюстрации идеи решим несложное неравенство: x² - 2x≤|1 – x| - 1.

Записывая неравенство в виде (x – 1)²≤|1 – x| и используя известные свойства модулей



|ab| = |ab| и |a|²ⁿ = (a)²ⁿ, n ε N

последовательно получаем



копия 06


Модули неотрицательного числа
а)Решим уравнение: ||…||x| + 1| +…| +10|=55.

Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим



||…||x| + 1| +…| + 10| = 55↔|x| + 1 + 2 +…+ 10 = 55 ↔ |x| = 0↔x = 0
б) Аналогично решается уравнение копия (2) 06: поскольку левая часть уравнения неотрицательна при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие x > -1, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение | x³ + x| = 2. Решая его и учитывая ограничения x > -1, получаем ответ: x = 1.
Геометрическая интерпретация
Перевод алгебраической задачи на геометрический язык – удобный и мощный метод решения задач (вспомните, например, про геометрический смысл модуля). В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета.

Дана функция: копия 07.



а) Решите уравнение f(x) = – x – 2;

б) Решите неравенство f(x) >x – 5;

в) Найдите количество решений уравнения f(x) = а в зависимости от а.

Решение: построим график функции f. Для этого заметим, что



копия (2) 07, а тогда мы можем сначала построить график функции копия (3) 07, и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию у:

копия (4) 07

Поскольку данная система определяет копия (5) 07

верхнюю полуокружность радиуса 2

с центром в точке (2; 0), график

исходной функции представляет

собой объединение

полуокружностей

указанных на рисунке.

Теперь решение задач не представляет труда:

в) При а < 2, а > 2 решений нет, при а = 0 уравнение f(x) = a имеет три решения, при 0 < а < 2 – четыре решения, при а = 2 – два решения.

б) Неравенство f(x) >x – 5 выполнено при всех x из отрезка [ -4; 4].

в) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой у = –х –2 с графиком функции f. Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен 1), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс есть √2, а искомая абсцисса равна –2 – √2.

Раскрытие модулей

Многим известен способ раскрытия модулей на промежутках. Это самый распространенный (не всегда самый эффективный) метод решения задач с модулями.

Решим уравнение: |1– х | – |х| = |х² – 1| .

копия 08
Тождество
f² = |f|.

а) Решим уравнение копия (2) 08. Дважды используя тождество f² = |f|, получим ранее решенное уравнение |х –1| + |х –2| = 1.

Ответ: [1; 2].



б) Аналогично решается задача одной из региональных олимпиад СПбГУ:

копия (3) 08

Ответ: [1; 2].


Теорема о знаках
Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разностей модулей: знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

Решим неравенство:



копия 09

Воспользуемся теоремой:



копия (2) 09

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство:



копия (3) 09

Переход к следствию
Заметим, что при желании, все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: раскроем модули со знаком «плюс» и «минус», но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Останется только проверить, не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.

Решим уравнение: копия (4) 09

Последовательно переходя к следствиям, получаем:

копия 10
Нетрудно убедиться, что найденные числа не являются корнями уравнения.

Ответ: решений нет.




Метод интервалов
Применение метода интервалов основано на следующем утверждении: функция непрерывная на промежутке, может менять знак только при переходе через нуль. Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак (т.е. на участки, где функция принимает только положительные или только отрицательные значения). Применение метода интервалов поясним на примере.

Решим неравенство: копия (2) 10

Пусть копия (3) 10. Областью определения введенной функции f является луч [0; +∞). Решая уравнение f(x) = 0, получаем, что функция не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, f(0) = 2, получаем, что функция принимает только положительные значения. Тогда исходное неравенство выполнено при любых х, принадлежащему лучу [0; +∞).

Ответ: [0; +∞).



Заключение

Я ознакомилась с основными способами решения уравнений и неравенств с модулями. Мне представилась возможность больше поработать с интересной, для меня, темой модуля и выйти за рамки того материала, который предоставляет нам учебник 9-го класса. Прочитав и изучив другую литературу, я узнала много нового и, как я считаю, важного для меня.



Список литературы


  1. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. «Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения», Москва 2005.

  2. Смоляков А.Н «Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства», Москва 2008.

  3. Сканави А.Н. «Сборник задач по математике», Москва 2003.

  4. Назаренко А.М. «Тысяча и один пример. Равенства и неравенства», Москва 1994.

  5. Севрюков П.Ф. «Подготовка к решению олимпиадных задач по математике», Москва 2007.

Похожие:

Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconУравнения и неравенства
Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы. Подготовка к егэ
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconПоурочное планирование (5 часов в неделю, всего 170 часов)
Материал условно можно разделить на два блока: первый – уравнения и неравенства, в том числе большое место занимают тригонометрические...
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconТема 5
Контрольная работа №51Тема Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств2255. Равносильность уравнений356. Общие методы...
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconКонтрольная работа №8 Иррациональные уравнения и неравенства. Прогрессии. Решить уравнения 1 2 3 4 5 6
Доказать, что последовательность, сумма членов которой, является арифметической прогрессией. Найти и
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconРабочая программа элективных курсов по математике «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства»
Образовательная область «Математика»» и авторской программы: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики....
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconИсследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы: Атапина Ирина Николаевна Занимаемая должность: учитель математики Место выполнения работы: моу романовская сош, Саратовская область
«Уравнения и неравенства» есть тема: «Доказательства неравенств: использование равносильных преобразований, метода математической...
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconУравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение
Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда...
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconЕгэ-2009 В8 уравнения с модулем В8
Найдите все значения, при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 корня
Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconКонтрольная работа №3 «Уравнения и неравенства с одной переменной»

Уравнения и неравенства с модулем Щукина Оксана моу iconСудьба буквы «Ё». Автор: Оксана Усольцева, 7 класс, моу сош «Веста»
Людмила Васильевна Никифоровская, учитель русского языка моу сош «Веста» города Черноголовка Московской области
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org