Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля



Скачать 383.34 Kb.
страница2/8
Дата26.07.2014
Размер383.34 Kb.
ТипИсследование
1   2   3   4   5   6   7   8

1.1. Постановка многомерной задачи поиска оптимального портфеля


Общая задача поиска оптимального инвестиционного портфеля размерности N заключается в нахождении соотношения весов акций, входящих в инвестиционный портфель, сводящих к минимуму риск портфеля.

Пусть инвестиционный портфель состоит из N акций. Каждая акция в портфеле имеет свой неотрицательный вес xi и доходность Ei. Для каждой пары акций, входящих в инвестиционный портфель дан коэффициент ковариации ci,j.

В классической задаче Марковица веса акций являются относительными, то есть сумма весов принимается постоянной и равной единице, а значения xi принимают значения из отрезка [0;1]. Таким образом, указанные ограничения выглядят следующим образом:

Доходность инвестиционного портфеля считается по формуле:



При реальном использовании классической задачи Марковица инвестор устанавливает минимальный уровень доходности. Полагается, что инвестор устанавливает достижимый уровень доходности Eexpected. Указанное условие записывается следующим образом:



В классической теории инвестиционного портфеля риск портфеля R, определяется следующим образом:



Таким образом, задачи поиска оптимального портфеля записывается следующим образом:



В постановке задачи все ограничения являются линейными. Целевая функция является нелинейной. Покажем, что целевая функция является выпуклой.


Критерий выпуклости.

Для того, чтобы функция f(x) была выпуклой на множестве M, необходимо и достаточно, чтобы матрица Гессе была неотрицательно-определенной в каждой точке M.


В рассматриваемом случае матрица Гессе имеет следующий вид:


Необходимо доказать, что данная матрица неотрицательно-определена.
Лемма. Определитель матрицы неотрицателен.

Доказательство леммы.
Введем новую матрицу H:


Здесь . Тогда имеем, что . Это утверждение основано на том, что .

Пусть размерность матрицы n – четная.

Если , то . Так как , то .

Если . .

Функции имеет минимум в точке . В точке значение функции равно 1. Поэтому определитель неотрицателен


Пусть размерность матрицы n – нечетная.

Если , то .

Если . .

Функции имеет минимум в точке . В точке значение функции равно 0. Поэтому определитель неотрицателен



Лемма доказана.
Доказательство выпуклости функции.

Все главные миноры удовлетворяют условиям леммы, т.е. они неотрицательны. Тогда по критерию выпуклости функция риска является выпуклой.



Выпуклость доказана.
По доказанному выше, целевая функция задачи поиска оптимального инвестиционного портфеля является выпуклой, что означает, что вся оптимизационная задача является выпуклой и может быть решена методами выпуклого программирования.

Следует отметить, что степень целевой функции равна двум, что позволяет применять также методы квадратичного программирования.



1.2. Анализ оптимизационных методов


Анализ оптимизационных методов включает в себя анализ следующих характеристик:

  1. Постановка оптимизационной задачи

  2. Характеристика целевой функции

  3. Характеристика системы ограничений

  4. Параметры метода

  5. Характеристика алгоритма поиска оптимального решения

  6. Критерий останова (для итерационных методов)


1.2.1. Анализ методов нелинейного программирования



Метод множителей Лагранжа

  1. Постановка оптимизационной задачи:



  1. Характеристика целевой функции:

  2. Характеристика системы ограничений: все ограничения имеют вид равенств, .

  3. Параметры метода: отсутствуют

  4. Характеристика алгоритма поиска оптимального решения: алгоритм аналитический. Вводится функция Лагранжа:

Решение оптимизационной задачи является решением системы уравнений:





  1. Критерий останова: отсутствует.


Метод Монте-Карло

  1. Постановка оптимизационной задачи:



  1. Характеристика целевой функции: ,

где

  1. Характеристика системы ограничений: ограничения имеют произвольный вид.

  2. Параметры метода: максимальное число попыток улучшения целевой функции -Nmax или заданная точность алгоритма –

  3. Характеристика алгоритма поиска оптимального решения: алгоритм итерационный. На каждом шаге происходит переход в случайную точку при условии улучшения целевой функции в данной точке.

  4. Критерий останова: на очередном шаге не удалось улучшить целевую функцию за Nmax попыток или изменение функции на очередном шаге оказалось меньше .



Метод Зойтендейка

  1. Постановка оптимизационной задачи:



  1. Характеристика целевой функции: ,

где

  1. Характеристика системы ограничений: все ограничения являются неравенствами. Знак неравенства всегда .

  2. Параметры метода: максимальное число итераций - Nmax или заданная точность алгоритма –

  3. Характеристика алгоритма поиска оптимального решения: алгоритм итерационный. На каждом шаге происходит поиск допустимого направления оптимизации. Подробное описание алгоритма приведено в.

  4. Критерий останова: достигнуто максимальное число итераций Nmax или градиент целевой функции или максимально возможный шаг вдоль границы допустимой области отрицателен


1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconСравнение методов нахождения оптимального портфеля с учетом теории перспектив
В связи с этим возникают различные подходы к определению оптимального портфеля. Один из таких подходов, использующий более реалистичную...
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconМетод генетического программирования для решения задачи оптимального управления
Приведен метод поиска решения на основе генетического алгоритма в виде функциональной зависимости управления от времени и начальных...
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconЛинейное программирование. Методы решения одношаговых задач оптимального управления
Методы решения таких задач получили название математического программирования. Простейшим случаем математического программирования...
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconРазработка алгоритма решения задачи ортогональной упаковки прямоугольных объектов в двухмерный контейнер
Для решения np-трудной задачи ортогональной упаковки прямоугольных объектов в двухмерный контейнер предлагается эффективный метод...
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconУчебное пособие. Автор: Е. Н. Вышинская Н. Новгород. 2011 18 с
Применение методов поиска оптимального решения и нечеткой логики в экономических задачах
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconТема Оценка и прогнозирование инвестиционного рынка Понятие инвестиционного рынка. Сегменты инвестиционного рынка. Основные элементы инвестиционного рынка (спрос, предложение, цена, конкуренция), их взаимосвязь
...
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconРазработка алгоритмов решения задачи ортогональной упаковки прямоугольных объектов в двухмерный контейнер
Предлагаются алгоритмы поиска глобально-оптимального решения задачи ортогональной упаковки прямоугольных объектов в двухмерный контейнер,...
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля icon1. 1 Технологии программирования
Технология программирования это совокупность методов и средств разработки (написания) программ и порядок применения этих методов...
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля iconПояснительная записка к проекту по дисциплине "Технологии программирования" на тему "Автоматизированная система поиска оптимального пути на карте города по заданному критерию"
Автоматизированная система поиска оптимального пути на карте города по заданному критерию
Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля icon2. Характеристика задачи оптимального размещения элементов топологии
Целью настоящей работы является изучение и исследование задачи оптимального размещения элементов топологии сложных объектов проектирования...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org