Исследование возможности применения методов нелинейного программирования для решения многомерной задачи Марковица поиска оптимального инвестиционного портфеля

1.1. Постановка многомерной задачи поиска оптимального портфеля

Пусть инвестиционный портфель состоит из N акций. Каждая акция в портфеле имеет свой неотрицательный вес x_i и доходность E_i. Для каждой пары акций, входящих в инвестиционный портфель дан коэффициент ковариации c_i,j.

В классической задаче Марковица веса акций являются относительными, то есть сумма весов принимается постоянной и равной единице, а значения x_i принимают значения из отрезка [0;1]. Таким образом, указанные ограничения выглядят следующим образом:

Доходность инвестиционного портфеля считается по формуле:

При реальном использовании классической задачи Марковица инвестор устанавливает минимальный уровень доходности. Полагается, что инвестор устанавливает достижимый уровень доходности E_expected. Указанное условие записывается следующим образом:

В классической теории инвестиционного портфеля риск портфеля R_, определяется следующим образом:

Таким образом, задачи поиска оптимального портфеля записывается следующим образом:

В постановке задачи все ограничения являются линейными. Целевая функция является нелинейной. Покажем, что целевая функция является выпуклой.

Для того, чтобы функция f(x) была выпуклой на множестве M, необходимо и достаточно, чтобы матрица Гессе была неотрицательно-определенной в каждой точке M.

Если , то . Так как , то .

Если . .

Функции имеет минимум в точке . В точке значение функции равно 1. Поэтому определитель неотрицателен

Если , то .

Если . .

Функции имеет минимум в точке . В точке значение функции равно 0. Поэтому определитель неотрицателен

Все главные миноры удовлетворяют условиям леммы, т.е. они неотрицательны. Тогда по критерию выпуклости функция риска является выпуклой.

Следует отметить, что степень целевой функции равна двум, что позволяет применять также методы квадратичного программирования.

1.2. Анализ оптимизационных методов

1. 
   Постановка оптимизационной задачи
   
2. 
   Характеристика целевой функции
   
3. 
   Характеристика системы ограничений
   
4. 
   Параметры метода
   
5. 
   Характеристика алгоритма поиска оптимального решения
   
6. 
   Критерий останова (для итерационных методов)
   

1.2.1. Анализ методов нелинейного программирования

1. 
   Постановка оптимизационной задачи:
   

2. 
   Характеристика целевой функции:
   
3. 
   Характеристика системы ограничений: все ограничения имеют вид равенств, .
   
4. 
   Параметры метода: отсутствуют
   
5. 
   Характеристика алгоритма поиска оптимального решения: алгоритм аналитический. Вводится функция Лагранжа:
   

Решение оптимизационной задачи является решением системы уравнений:

6. 
   Критерий останова: отсутствует.
   

1. 
   Постановка оптимизационной задачи:
   

2. 
   Характеристика целевой функции: ,
   

3. 
   Характеристика системы ограничений: ограничения имеют произвольный вид.
   
4. 
   Параметры метода: максимальное число попыток улучшения целевой функции -N_max или заданная точность алгоритма –
   
5. 
   Характеристика алгоритма поиска оптимального решения: алгоритм итерационный. На каждом шаге происходит переход в случайную точку при условии улучшения целевой функции в данной точке.
   
6. 
   Критерий останова: на очередном шаге не удалось улучшить целевую функцию за N_max попыток или изменение функции на очередном шаге оказалось меньше .
   

1. 
   Постановка оптимизационной задачи:
   

2. 
   Характеристика целевой функции: ,
   

3. 
   Характеристика системы ограничений: все ограничения являются неравенствами. Знак неравенства всегда .
   
4. 
   Параметры метода: максимальное число итераций - N_max или заданная точность алгоритма –
   
5. 
   Характеристика алгоритма поиска оптимального решения: алгоритм итерационный. На каждом шаге происходит поиск допустимого направления оптимизации. Подробное описание алгоритма приведено в.
   
6. 
   Критерий останова: достигнуто максимальное число итераций N_max или градиент целевой функции или максимально возможный шаг вдоль границы допустимой области отрицателен