Математика и информатика ю. А. Илларионов
|
Скачать 2.8 Mb.
|
                                                  МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКАЮ.А. Илларионов ВВЕДЕНИЕ В настоящее время в сети Интернет имеется достаточное количество материалов, относящихся к математике и информатике. К сожалению, эти материалы разрознены и не позволяют их копирование в виде законченного учебного пособия, пригодного как для чтения лекций, так и для изучения студентами в процессе обучения и подготовки к экзамену. Поэтому при написании данной книги была поставлена задача создания законченного и достаточно компактного учебного пособия, содержащего необходимые материалы по дисциплине «Математика и информатика». Автор выражает глубокую благодарность всем, кто разместил свои материалы в сети Интернет. Особую благодарность автор выражает доктору технических наук, профессору, заведующему кафедрой «Информатика и защита информации» ВлГУ М.Ю.Монахову, оказавшему неоценимую помощь при написании данной книги. Надеемся, что настоящее учебное пособие окажется полезным как для преподавателей, ведущих дисциплину «Математика и информатика», так и для студентов, изучающих данную дисциплину. ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИКА Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ 1.1. Аксиоматический метод Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором: 1. выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом);
4. все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из 1 на основе 3. Первые представления об аксиоматическом методе возникли в Древней Греции (Элеанты, Платон, Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др.). Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом основное внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом. Начиная со второй половины 19 века, в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х г.г. 20 в. – как формализованную) систему, устанавливающую соотношение между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее зависимости от содержания, которое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания). Это различие вызвало необходимость формулирования основных требований, предъявляемых к ним в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т.д.). Проблема состоит в противоречиях, которые были выявлены в процессе развития теории, и их устранение обусловило потребность в модификации аксиоматических систем. Однако, для того, чтобы избежать противоречий, недостаточно просто восстановить пошатнувшуюся репутацию математики как наиболее строгой науки. Принципиальное требование аксиоматики должно быть направлено в будущее, а именно на установление того обстоятельства, что противоречия вообще не могут быть возможны в области знания, базирующееся на установленной системе аксиом. Исходя из этого требования, в «Основаниях геометрии» Д. Гильберт доказал совместимость выделенных аксиом, для которых каждое противоречие в дедукции из геометрических аксиом необходимо сказалось бы также и в системе арифметики действительных чисел. Не вызывает сомнений, что для областей физического знания внутренняя совместимость также редуцируется к совместности аксиом арифметики. Приемлемо, что эти допущения принимались при построении математической теории в целом. Если мы примем за аксиому, например, теорему существования корней в теории уравнений Галуа или же теорему о существовании нулевых точек дзета-функции Римана в теории простых чисел, то доказательство непротиворечивости аксиоматической системы состоит только в аналитическом доказательстве теоремы существования корней или теоремы дзета-функции – и на первое время безопасность теории обеспечена. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове «логика» у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном, но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного интуитивного применения аксиоматических методов. Рассмотрим, например, общий процесс отрицания и особенно понятия «бесконечность». Что касается этого понятия, то необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла, и без более подробного исследования лишена всякого смысла, т.к. существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же, действие по своей природе дискретно, и существует только квантами. Не существует ничего континуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпускулярной, атомистической структурой, как и действие. Также рассмотрим абстрактные множества, встречающиеся в математике. Как отмечал профессор А.В. Архангельский – «Важнейшей особенностью почти всех абстрактных множеств, встречающихся в математике, является бесконечность. После открытия парадоксов канторовской теории бесконечных множеств у философов и участия математиков возникло убеждение, что и в математических теориях могут оказаться скрытые противоречия, даже если они пока и не обнаружены. В связи с этим, определенный период философии математики определялся исследованиями по основаниям математики с целью преодолеть парадоксы теории множеств и закрепить «виновные» в этом способы в изюбленной афористической манере Людвиг Витгенштейн, подчеркивая различие функций и проблем математиков и философов, повторяет, что «в математике есть только математические трудности, а вовсе не философские». Философ может вмешиваться только тогда, когда у математиков возникает « чувство дискомфорта» в работе. Поэтому и задача философии математики по Витгенштейну, является в сущности «терапевтической», способной вносить в успокоение, а в противоречиях и парадоксах их теорий они разберутся сами. «Зачем математике нужно обоснование?! Я полагаю, - говорит он,- оно нужно ей не впечатлениях, нужен их анализ». Многие профессионально работающие математики, не связанные напрямую «с математическими проблемами оснований», вполне могут согласиться с Витгенштейном в том, что эти основания в столь же малой степени лежат для них в основе математики, в какой нарисованная скала поддерживает нарисованную на ней крепость. Все, что может быть объектом научного исследования в целом, и, поскольку оно созревает для оформления в теорию, прибегает к аксиоматическому методу и через нее косвенно к математике. В свидетельствах аксиоматического метода, как представляется, математика призвана играть лидирующую роль в науке в целом. 1.2. Системы счисления Система счисления - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Наиболее известна десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,...,9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать: а) возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин; б) единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина); в) простоту оперирования с числами. |
Похожие:
 | Курс «Математика и информатика 1 – 4» А. Л. Семенов и др. Цели и структура курса Курс называется «Математика и информатика» ... | | Русский язык Математика Информатика или Физика Полную информацию вы можете получить по адресу «Прикладная информатика», квалификация – бакалавр прикладной информатики, профили «Прикладная информатика в бухгалтерском учете»... |
| Программа дисциплины функциональный анализ Направление подготовки 010100. 62 математика (вычислительная математика и информатика) Направление подготовки 010100. 62 математика (вычислительная математика и информатика) | | Программа дисциплины математическая статистика. Направление подготовки 010100. 62 математика (вычислительная математика и информатика) Направление подготовки 010100. 62 математика (вычислительная математика и информатика) |
| Лекции по алгебре учебное пособие «Математика. Прикладная математика», «Математика. Компьютерные науки», «Прикладная математика и информатика» | | Рабочей программы “Вариационное исчисление” В. од. 2 цикла дисциплин подготовки студентов по направлению подготовки 010400 Прикладная математика и информатика. Дисциплина реализуется... |
| Методическое пособие по дисциплине «математика и информатика» для студентов заочной формы обучения Глазова В. Ф., Богданова А. В. Методическое пособие по дисциплине «математика и информатика». Тольятти, тгу, 2006. – 38 с |  | Рабочая программа курса «Числовые системы» «информатика с дополнительной специальностью математика» и «математика с дополнительной специальностью информатика» |
| Бакалаврской программы 010400. 62 «Прикладная математика и информатика» реализуемой на кафедре №31 «Прикладная математика» Код и наименование направления подготовки, наименование программы: 010400. 62 «Прикладная математика и информатика» | | Программы подготовки бакалавра по направлению 010400 прикладная математика и информатика Код и наименование направления подготовки, наименование программы 010400. 62 «Прикладная математика и информатика», профиль «Прикладная... |