I. Арифметика



Скачать 468.44 Kb.
страница1/4
Дата07.11.2012
Размер468.44 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4

-

Раздел I. Арифметика
Содержание раздела арифметика


  1. Преамбула……………………………………………………………………… 2

  2. Подраздел I.1. Классическая арифметика.

Темы:

I.1.1. Приемы и средства вычислений (устный счет, признаки делимости,

различные вычислительные алгоритмы арифметических

операций – логистика)...…………………………………………………. 3

I.1.2. Арифметика остатков……………………………………………………….. 6

I.1.3. Алгоритм Евклида……………………………………………………………… 7

I.1.4. Основная теорема арифметики………………………………………... 8

I.1.5. Простые числа………………………………………………………………….. 9

I.1.6. Фигурные числа…………………………………………………………………. 10

I.1.7. Цепные дроби……………………………………………………………………. 11

I.1.8. Системы счисления…………………………………………………………….. 11

I.1.9. История классической арифметики…………………………………… 12

  1. Подраздел I.2. Абстрактная арифметика.

Темы:

I.2.1. Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа……………………….. 13

I.2.2. Комплексные, дуальные и двойные числа, кватернионы……………………….. 14

I.2.3. р-адические числа……………………………………………………………………….. 14

I.2.4. Теория делимости целых комплексных чисел по Гауссу………………………… 15

  1. Подраздел I.3. Элементарная теория чисел

Темы:

I.3.1. Простые, полупростые числа. Числа Ферма, Мерсенна

и другие замечательные числа натурального ряда………………………………. 15

I.3.2. Теория делимости……………………………………………………………………….. 16

I.3.3. Важнейшие функции теории чисел………………………………………………….. 18

I.3.4. Сравнения………………………………………………………………………………..... 18

I.3.5. Классические теоремы теории чисел

(теоремы Эйлера, Вильсона, Ферма и т. п.)……………………………………….. 18

I.3.6. Теория разбиений (Partitio Numeromum) – разбиение натурального числа

на слагаемые изучается при помощи степенных рядов………………………...... 18

I.3.7. История теории чисел………………………………………………………………….. 19

  1. Подраздел I.4. Диофантовы уравнения

Темы:

I.4.1. Линейные диофантовы уравнения……………………………………………………. 19

I.4.2. Нелинейные диофантовы уравнения…………………………………………………. 20

I.4.3. Алгебраические методы решения диофантовы уравнения……………………… 22

I.4.4. Геометрические методы решения диофантовы уравнения…………………….. 23

I.4.5. История диофантовых уравнений……………………………………………………. 23

I.4.6. Литература к разделу арифметика......
……………………………………...
24

Преамбула
Для обычного человека арифметика – это умение складывать и умножать натуральные числа, да еще отыскивать делители и находить кратное. Далее обычное сознание останавливается и не знает, куда отнести отрицательные, дробные числа и операции над ними – большинство все это считает разделом алгебры, так знакомятся с такими числами через решение уравнений. Если поднять вопрос о решении уравнений в натуральных числах, то, как правило, многие и не сталкивались с такими задачами. Хотя решали задачи на взвешивание, на составление уравнений, в которых требуется определить количество человек или неделимых предметов. Вследствие чего мы, прежде всего, уточним, что такое арифметика.

Арифметика – это область знаний о числах и операциях в числовых системах. Когда специалисты говорят о содержании арифметики, то они имеют в виду рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятия числа, приемы и средства вычислений, исследование операций с числами различной природы, анализ аксиоматической структуры числовых множеств, свойства чисел. Арифметика тесно связана с алгеброй, в которой, в частности, изучаются свойства операций над числами. Свойства самих же целых чисел составляют предмет теории чисел. Исследование неопределенных уравнений с целыми коэффициентами, т. е. диофантовых уравнений, относят к пограничной области между теорией чисел и алгебраической геометрией.

Раздел арифметики данной программы наполняется следующим содержанием с учетом сложившейся практики преподавания арифметики. В арифметику нами включено:

  1. приемы и средства вычислений;

  2. операции в числовых системах;

  3. исследование операций с числами различной природы;

  4. свойства чисел (элементарная теория чисел);

  5. исследование диофантовых уравнений;

  6. происхождение и развитие понятия числа (исторический аспект).

Вследствие чего раздел арифметики состоит из четырех подразделов:

I.1. Классическая арифметика;

I.2. Абстрактная арифметика;

I.3. Элементарная теория чисел;

I.4. Диофантовы уравнения.

Каждый подраздел завершается темами: история, применение и исследовательские темы. Исследовательские темы конкретно не называются, а указываются источники, где их можно почерпнуть.

В заключении отметим один важный аспект натуральных чисел. С исторической точки зрения натуральные числа родились в процессах пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) в процессах определения количества предметов. Это разные процессы, и они, с философской точки зрения, приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Русский язык демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть число ноль, а наименьшее считательное число есть число раз (один, единица). Некоторые поэтому начинают натуральный ряд, то есть ряд натуральных чисел, с нуля, другие же – с единицы. Для понимания сущности натуральных чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже число, скажем, два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать можно слово «два» – но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как электрон, протон и т. п., весьма абстрактны.

Существует и другая точка зрения на натуральные числа, которая выражена высказыванием: «Бог создал натуральные числа, всё остальное есть дело рук человеческих», принадлежащим выдающемуся немецкому математику Леопольду Кронекеру (07.12.1823 – 29.12.1891) произнести в 1886 году. Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма – сотворение мира Богом из ничего. Потому что ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции.

Включение в программу подраздела I.2 «Абстрактная арифметика» позволяет увидеть множество способов построения числовых систем, в том числе и натуральных чисел, что дает возможность удовлетворить различные формы восприятия математических абстракций.

Программа по арифметике составлялась с таким расчетом, чтобы у обучаемого возникла потребность познакомиться с каждым натуральным числом лично (так сказал Литлвульд о Рамануджане).

К каждой теме по возможности дается подробный список литературы с указанием глав, параграфов.


Подраздел I.1. Классическая арифметика
Темы:

I.1.1. Приемы и средства вычислений (устный счет, признаки делимости, различные вычислительные алгоритмы арифметических операций – логистика (см. МЭ, Т. 1, стр. 315))

Литература к теме I.1.1.

  1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедиздат, 1938. – 480 с. (Глава I. Количественные натуральные числа. С. 13 – 46. Глава II. Порядковое натуральное число. С. 47 – 77. Глава III. Измерение скалярных величин и операторная теория рационального числа. С. 78 – 117. Глава IV. Теория пар. С. 118 – 139. Глава V. Операторная теория действий третей степени. С. 140 – 160)

  2. Баврин И. И. Сельский учитель С. А. Рачинский и его задачи устного счета. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 112 с. [§§ 4 – 5]

  3. Сикорский К. Е. (сост.) Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. – М.: Просвещение, 1969.

  4. Депман И. Я., Веленкин Н. Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5 – 6 классы. М.: Просвещение, 1989

  5. Веленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия: книга для учащихся 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 320 с. (Имеются подробные исторические комментарии при изложении соответствующего факта). [Глава: Натуральные числа. §2. Признаки делимости (теорема Паскаля о сведении делимости числа к сумме произведений цифр на соответствующие остатки, с.14). С. 13 – 17. §4. Великий мастер индукции. С. 20 – 24. §5. Метод математической индукции. С. 24 – 27. §8. Генераторы простых чисел (числа Ферма). С. 35 – 38. §9. Много ли простых чисел в миллиарде? (построение функции распределения простых чисел). С. 38 – 42. §10. Совершенные (четное число совершенно тогда и только тогда, когда оно имеет вид , где – простое число. Числа называются числами Мерсенна. Число Мерсенна простое в том и только том случае, когда оно является делителем (k – 1)-го числа Люка , которые определяются посредством соотношения ) и дружественные числа (два числа дружественные, если сумма делителей первого числа меньше самого его равна второму и наоборот, например: 220 и 284). С. 42 – 48. §14. Проблемы Варинга (преставление натурального числа в виде суммы степеней с одинаковыми показателями) и Гольдбаха (любое натуральное число, большее 2, представимо в виде трех простых чисел). С. 58 – 62]

  1. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы. Москва · Ижевск: РХД, 2002. – 260 с. (Раздел II. Задачи из теории чисел. С.41 – 102) [Глава I: Арифметика вычетов. §3. Извлечение квадратного корня. Квадратные уравнения. С.51 – 53. Глава II. т-адические и р-адические числа. §1. Применение к делению многозначных чисел. С.56 – 58]

  2. Воробьев Н. Н. Признаки делимости. М.: Наука, 1980. – 96 с. (ПЛпМ. Вып.39)

  3. Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. М.: Наука, 1980 (ПЛпМ, вып.17) [§17. Минимальные формы двоичной записи с цифрами 0 и ±1 и первая попытка уменьшить сложность умножения. §19. Быстрое умножение чисел]

  4. Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. М.: Наука, 1979. – 64 с. [Глава III. Элементарное решение проблемы Варинга. С. 23 – 62]

  5. Оре О. Приглашение в теорию чисел. Биб-ка ”Квант”. Вып. 3. М.: Наука, 1980. – 128 с. [12; Глава 4. НОД и НОК. С. 47 – 56]

  6. Серпинский В. Что мы знаем и не знаем о простых числах. М. – Л.: ФМЛ, 1964. – 92 с.

  7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. – Л., 1952. – 180 с. [Глава 3. НОД. НОК. §1. Общие делители и общие кратные. 35 – 40]

  8. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просещение,1960. – 376 с. [Глава 2. Простые числа. §1. Простые и составные числа. Гава 3. НОД. НОК. §1. Общие делители и общие кратные целых чисел.§2. Алгоритм Евклида. §3. Взаимно простые числа. С. 35 – 44. глава 27. Последовательности Фарея. §1. Фареевы дроби. С. 237 – 240. §2. Приближение действительных чисел фареевыми дробями. С. 240 – 241]

  9. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. – 264 с. (Есть исторические комментарии) [§10. Проблемы Варинга (преставление натурального числа в виде суммы степеней с одинаковыми показателями. Есть исторические комментарии). С.70 – 76]

  10. Эндрюс Г. Теория разбиения. М.: Наука, 1982. – 256 с. (О методах разбиения натурального числа)

  11. Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам и криптографии. М.: МЦНМО, 2002. – 104 с. [§2. Сложность арифметических операций с целыми числами. §3. Сложность алгоритма Евклида]

  12. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1977. – 192 с. (Глава I. р-адические числа, с. 9 – 36) [Глава I: р-адические числа, с. 9 – 36]

  13. Постников М. М. Магические квадраты. М.: Наука, 1964. – 84 с. (Методы построения магических квадратов)

  14. Кириллов А. А. Что такое число? М. : Наука, 1993. – 80 с. [Глава I. Делимость чисел. Задачи с решениями № 1 – 43. Глава II: Взаимно простые числа. Задачи с решениями № 44 – 53. Глава III: Арифметические прогрессии. Задачи с решениями № 54 – 75. Глава IV: Простые и составные числа. Задачи с решениями № 76 – 141. Глава VI: Разные задачи. Задачи с решениями № 202 – 250]

  15. Доморяд А. П. Математические игры и развлечения. М.: Физматлит, 1981. – 268 с. [§8. Быстрый счет. С. 45 – 56]

  16. Генкин Л. О математической индукции. М.: Физматгиз, 1962. – 36 с. (Книга об основаниях арифметики).

  17. Башмаков Н. И. Нравится ли вам возиться с целыми числами? // Квант – 1971 – № 3

  18. Генкин С. А.., Итенберг И. А., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994. – 2 72 с. [Глава 9. Индукция. §1. Процесс и метод индукции. Задачи № 1 – 5. С. 86 – 94. §3. Классические задачи. Задачи № 9 – 29. С. 96 – 102. Другие схемы ММИ. Задачи № 30 – 41. С. 102 – 106]

  19. Шарыгин И. Ф. Решение задач. М.: Просвещение,1994. –

  20. Кордемский Б. А. Математические завлекалки. М.: ОНИКС∙АЛЬЯНС-В, 2000. – 512 с.

  21. Островский А. И., Кордемский Б. А. Геометрия помогает арифметике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. – 168 с.

  22. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – 6-е издание. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2001. – 480 с. [Сб 5; §2. Перестановка цифр в числе. Задачи № 27 – 71. §3. Задачи на делимость. Задачи № 27 – 71. §4. Разные задачи из арифметики. Задачи № 72 – 109]

  23. Бабинская И. Л.. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975. – 112 с. (Глава I. Арифметика. Задачи 1 – 194. С. 5 – 23)

  24. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Глава 1. Метод математической индукции. §1.1. Тождества, неравенства и делимость. Задачи № 1.1 – 26. Глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. Задачи № 3.1 – 3.210, с. 32 – 61. Глава 4. Арифметика остатков. Задачи № 4.1 – 224. Глава 5. Числа, дроби и системы счисления. §5.1. Рациональные и иррациональные числа. Задачи № 5. 1 – 41. §5.2. Десятичные дроби. Задачи № 5.42 – 60]

  25. Рукшин С. Е. Математические соревнования в Ленинграде – Санкт-Петербурге. Первые 50 лет. Ростов н/Д, 2000. – 320 с. [См. предметный указатель – числовые задачи на стр. 325 (всего 65 задач)]

  26. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М: Высшая школа, 2000. – 320 с. [§3. Открытия английского геолога (числа Фарея). Задачи № 3.1 – 29; §17. Быстрые вычисления с целыми, многочленами и дробями. С. 299 – 319. На стр. 300 излагается история построения алгоритмов быстрого умножения и деления многозначных чисел и многочленов]

  27. Муштари Д. X.. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990. – 239 с. [§2. Задачи для десятичной записи чисел. Задачи № 13 – 18]

  28. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. М.: Наука, 1988. – 288 с. (Имеется тематический путеводитель по задачам на стр. 261 – 270) [См. тематический путеводитель на стр. 261 – 263: 1. Метод математической индукции: задачи № 5, 15, 26, 36,39,52, 72,90, 97, 100, 102, 110,113, 120, 137, 142, 144, 148, 164, 176, 179, 181, 183, 193, 293, 210, 218, 223, 229, 231, 140, 246, 248, 160, 267, 345, 367, 396, 446б. Задачи со специфической идей многократного деления пополам (или удвоения): задачи № 155, 200, 277; 2. Целые числа. Делимость: задачи №3, 9, 16, 30, 36,42, 46, 48, 51, 59, 68, 74, 85, 88, 89, 93, 102, 107, 122, 137, 141, 162, 190, 233, 254, 258, 260, 288, 406, 316, 322, 352, 360, 371, 386, 411, 416, 426, 436, 445, 449, 456; 3. Цифры и системы счисления: задачи № 3, 21, 43. 54, 85, 88, 93, 122, 132, 139, 141, 142, 144, 148,168, 175, 197, 201, 244, 291, 294, 297, 329, 354,396, 430, 439]

  29. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с. [Раздел: Числа. Глава: Азбука счета. С. 120 – 137. Раздел: Фундамент математики. Глава: Математические рассуждения. Статья: Метод математической индукции. (Примеры 1 – 5. Парадокс изобретателя. Принцип наименьшего числа. Полная и неполная индукция: числа Ферма являются простыми (при число ). Трехчлен Эйлера при просты, а при равно . Двучлен при разложении на множители при различных значениях п каждый сомножитель имеет коэффициенты равные ±1 (при это не так)). С. 566 – 571]

  30. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.: «Советская энциклопедия». [Сп 2; Статья: Математическая индукция. С. 178 – 180],

  31. Энциклопедия для детей. Т11. Математика. М.: Аванта+,2002. – 688 с. [Статья: Математическая индукция. С. 564 – 565],

  32. Савин А. П. Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./ Авр.-сост. А. П. Савин и др.- М.: ООО "Издательство АСТ": ООО "Издательство Астрель", 2002. – 475 с. (для младших школьников). (Глава: Числа). [Глава: Числа. Статьи: Про умножение. Математика допетровской Руси. Про деление. Фигурные числа. Совершенные числа. Дружественные числа. Магические квадраты. С. 32 – 56. Сверхсоставное число. Признаки делимости. Деление с остатком. С. 87 – 96. Арифметические ребусы. С. 383 – 386. Алгоритм. С. 434 – 438]


I.1.2. Арифметика остатков.

Литература к теме I.1.2.

  1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедиздат, 1938. – 480 с. (Глава XIII. Делимость. Разложение на простые множители. С. 381 – 434. Глава XIV. Теория сравнений. С. 435 – 473. Предметный указатель. С. 475 – 478)

  2. Сикорский К. Е. (сост.) Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. – М.: Просвещение, 1969.

  3. Депман И. Я., Веленкин Н. Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5 – 6 классы. М.: Просвещение, 1989.

  4. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы. Москва · Ижевск: РХД, 2002. – 260 с. [Раздел II. Задачи из теории чисел. Глава I: Арифметика вычетов]

  5. Оре О. Приглашение в теорию чисел. Биб-ка ”Квант”. Вып. 3. М.: Наука, 1980. – 128 с. [Глава 7. Сравнения. С. 90 – 102]

  6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. – Л., 1952. – 180 с. [15; Глава третья: Сравнения. С. 41 – 54]

  7. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просещение,1960. – 376 с. [16: Глава 7. Сравнения. С.68 – 72. Исторические комментарии к 7-ой главе. С.72 – 73. глава 13. Сравнения с неизвестной величиной. С.102 – 109. Глава 14. Сравнения 1-ой степени. С. 109 – 122. Глава 15. Сравнения по простому модулю. С. 122 – 131. Глава 16. Сравнения по составному модулю. С. 131 – 135]

  8. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.:, 1972.

  9. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников. М.: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. [29; Глава I. Целые числа. §2. Иррациональность других квадратных корней. Теорема 5 (деление с остатком), с. 18 – 19. Теорема 6 (деление хотя бы одного сомножителя на простое число при условии, что если произведение двух сомножителей делиться на это простое число), с. 19 – 20]

  10. Уфнаровский В. А. Математический аквариум. – Ижевск: Ижевская республиканская типография, 200. – 216 с. [31; §7. остатки остатков. С. 107 – 112]

  11. Егоров А. С. Сравнение по модулю и арифметика остатков. // Квант – 1970 – № 5.

  12. Башмаков Н. И. Нравится ли вам возиться с целыми числами? // Квант – 1971 – № 3.

  13. Генкин С. А.., Итенберг И. А., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994. – 2 72 с. [Глава: Остатки и делимость. §2. Остатки. Задачи № 15 – 53. Глава: Делимость-2. Сравнения и диофантовы уравнения. §1. Сравнения по модулю. Задачи № 1 – 23]

  14. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. М: Просвещение, 2002. – 207 с.

  15. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Сб 7; Глава 4. Арифметика остатков §4.1. Четность. С. 62 – 65. §4.2. Делимость. С. 65 – 67. §4.3. Сравнения С. 67 – 72. §4.4. Теоремы Ферма и Эйлера. С. 72 – 78. §4.5. Признак делимости. С. 78 – 82. §4.6. Китайская теорема об остатках . С. 82 – 75. Задачи № 1. – 4.224]

  16. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М: Высшая школа, 2000. – 320 с. [§5. Делится или не делится? Задачи № 5.1 – 67]

  17. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. М.: Наука, 1988. – 288 с. [См. тематический путеводитель на стр. 261 – 263: 2. Целые числа. Делимость: задачи №3, 9, 16, 30, 36,42, 46, 48, 51, 59, 68, 74, 85, 88, 89, 93, 102, 107, 122, 137, 141, 162, 190, 233, 254, 258, 260, 288, 406, 316, 322, 352, 360, 371, 386, 411, 416, 426, 436, 445, 449, 456]

  18. Энциклопедия для детей. Т11. Математика. М.: Аванта+,2002. – 688 с. [Раздел: Числа. Глава: Целые числа. Статья: Арифметика остатков и теория сравнения. С.159 – 163]


I.1.3. Алгоритм Евклида

Литература к теме I.1.3.

  1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедиздат, 1938. – 480 с. (Глава XIII. Делимость. Разложение на простые множители. С. 381 – 434. Предметный указатель. С. 475 – 478)

  2. Сикорский К. Е. (сост.) Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. – М.: Просвещение, 1969.

  3. Депман И. Я., Веленкин Н. Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5 – 6 классы. М.: Просвещение, 1989.

  4. Веленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия: книга для учащихся 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 320 с. (Имеются подробные исторические комментарии при изложении соответствующего факта) [Глава II. Диофантовы уравнения. §2. Алгоритм Евклида. С.75 – 79],

  5. Оре О. Приглашение в теорию чисел. Биб-ка ”Квант”. Вып. 3. М.: Наука, 1980. – 128 с [Глава 4. НОД и НОК. §3. Алгоритм Евклида. С.51 – 54],

  6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. – Л., 1952. – 180 с. [Глава 3. НОД. НОК. §2. Алгоритм Евклида. 40 – 42],

  7. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просещение,1960. – 376 с. [Глава 3. НОД. НОК. §2. Алгоритм Евклида. С. 25 – 30.],

  8. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.:, 1972.

  9. Вагутен В. Н. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. // Квант – 1972 – № 6.

  10. Генкин С. А.., Итенберг И. А., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994. – 2 72 с. [Глава: Делимость и остатки. §4. Алгоритм Евклида. 37 – 38]

  11. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. §3.2. Алгоритм Евклида. Задачи 3.33 – 3.80, с. 34 – 39],

  12. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с. [Раздел: Числа. Глава: Действительные числа. Статья: Алгоритм Евклида. С.189 – 190]


I.1.4. Основная теорема арифметики.

Литература к теме I.1.4.

  1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедиздат, 1938. – 480 с. (Глава XIII. Делимость. Разложение на простые множители. С. 381 – 434. Предметный указатель. С. 475 – 478)

  2. Сикорский К. Е. (сост.) Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. – М.: Просвещение, 1969 [§3]

  3. Депман И. Я., Веленкин Н. Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5 – 6 классы. М.: Просвещение, 1989 [4; Глава I. Натуральные числа. §3.Каноническое разложение. С. 17 – 20],

  4. Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. М.: Наука, 1980 (ПЛпМ, вып.17)

  5. Оре О. Приглашение в теорию чисел. Биб-ка ”Квант”. Вып. 3. М.: Наука, 1980. – 128 с. [Глава 3. Делители чисел. §1. Основная теорема о разложении на простые числа. 35 – 38],

  6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. – Л., 1952. – 180 с. [Глава: Теория делимости. §6. Единственность разложения на простые сомножители. С. 20 – 22]

  7. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просещение,1960. – 376 с. [Глава 2. Простые числа. §1. Простые и составные числа. С. 25 – 30. Исторические комментарии ко 2-ой главе (формулировка основной теоремы арифметики принадлежит Гауссу). С. 34 – 35]

  8. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.:, 1972.

  9. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. – 264 с. (Есть исторические комментарии) [§12. Однозначно ли разложение на простые сомножители? С.83 – 92]

  10. Яглом И. Я. Почти простые числа. // Квант – 1981 – № 9 – С. 16 – 19.

  11. Генкин С. А.., Итенберг И. А., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994. – 2 72 с. [Глава: Остатки и делимость. §1. Простые и составные. Задачи № 1 – 14]

  12. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. М: Просвещение, 2002. – 207 с.

  13. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. §3.1.Простые числа. Задачи 3.1 – 3.32, с. 32 – 33]


I.1.5. Простые числа.

Литература к теме I.1.5.

  1. Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедиздат, 1938. – 480 с. (Глава XIII. Делимость. Разложение на простые множители. С. 381 – 434. Предметный указатель. С. 475 – 478)

  2. Сикорский К. Е. (сост.) Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. – М.: Просвещение, 1969.

  3. Депман И. Я., Веленкин Н. Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5 – 6 классы. М.: Просвещение, 1989.

  4. Веленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия: книга для учащихся 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 320 с. (Имеются подробные исторические комментарии при изложении соответствующего факта) [Глава: Натуральные числа. §7. Семейные проблемы (числа-близницы – пара простых чисел, отличающихся на 2). С. 333 – 35.§8. Генераторы простых чисел (Числа Ферма. Теорема Гольбаха – Эйлера: никакой многочлен с целыми коэффициентами не может принимать только простые значения. Теорема Дирихле: любая арифметическая прогрессия содержит бесконечно много простых чисел, если первый член и разность прогрессии взаимно просты ). С. 35 – 38. §9. Много ли простых чисел в миллиарде? (построение функции распределения простых чисел). С. 38 – 42. §10. Совершенные (четное число совершенно тогда и только тогда, когда оно имеет вид (теорема Эйлера), где – простое число. Числа называются числами Мерсенна. Число Мерсенна простое в том и только том случае, когда оно является делителем (k – 1)-го числа Люка , которые определяются посредством соотношения ) и дружественные числа (два числа дружественные, если сумма делителей первого числа меньше самого его равна второму и наоборот, например: 220 и 284). С. 42 – 48. §14. Проблемы Варинга (преставление натурального числа в виде суммы степеней с одинаковыми показателями) и Гольдбаха (любое натуральное число, большее 2, представимо в виде трех простых чисел). С. 58 – 62], [14], [16; Глава 2. Простые числа. С. 25 – 35. Глава 35. Распределение простых чисел в натуральном ряде. С. 325 – 347. Глава 36. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях. Аддитивные задачи. С. 347 – 363]

  5. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. – 264 с. [§1. Ряд простых чисел. С. 11 – 17. §20. Доказательство неограниченности простых чисел по Эйлеру. С. 154 – 159. §27. Об одном свойстве числа 30 (оно максимально среди чисел, у которого все числа взаимно просты с ним и меньше его – просты). С. 215 – 222. Есть исторические комментарии]

  6. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников. М: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. [Глава 4. Простые числа. §11. Бесконечность числа простых чисел. С.166 – 171. §12. Доказательство бесконечности простых чисел по Эйлеру. С. 171 – 181. §13. Распределение простых чисел. С. 181 – 186. Приложение. Неравенство Чебышева для . С. 186 – 199]

  7. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. §3.1. Простые числа. Задачи 3.1 – 3.32, с. 32 – 33]

  8. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с. [Сп 1; Раздел: Числа. Слава Целые числа. Статья: Простые числа (Простое или составное. Охота за простыми числами. Распределение простых чисел. Узы дружбы в мире простых чисел (числа-близнецы)). С. 146 – 153]

  9. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.: «Советская энциклопедия». [Статья: Простое число. С.706 – 707. Статья : Распределение простых чисел (Принцип Римана. Методы Адамара и Валле Пуссена. Метод Вейля-Литлвуда. Метод Виноградова. Элементарные методы. Разность между простыми числами. Простые числа арифметической прогрессии). С. 876 – 884],

  10. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с. [Статья: Простое число. С.262 – 263]

  11. Савин А. П. Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./ Авр.-сост. А. П. Савин и др.- М.: ООО "Издательство АСТ": школьников Простые числа. С.79 – 84]


I.1.6. Фигурные числа.

Литература к теме I.1.6.

  1. Веленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия: книга для учащихся 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 320 с. [Глава I. Натуральные числа. §11. Фигурные числа. С. 48 – 52. §11. Шары в пространстве. С. 52 – 55] (Имеются подробные исторические комментарии при изложении соответствующего факта)

  2. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников. М: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. [Глава VII. Степенные ряды. §23. Partitio Numerorum (разбиение чисел). С. 341 – 352. По поводу пентагональная теорема Эйлера см. стр. 350]

  3. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Глава 1. Метод математической индукции. §1.2. Индукция в геометрии и комбинаторике. Задачи № 1.62. Многоугольные числа. 1.63, 1.64. Гексы (шестиугольные числа) – количество шаров, уложенных в шестиугольник со стороной п: . 1.65. Тетраэдральные числа, равные количеству шаров, уложенных в тетраэдр с ребром п: . С. 14 – 15. Глава 11. Последовательности и ряды. §11.2. Рекуррентные соотношения. Задачи № 11.25 (Пятиугольные числа . Гексы. Тетраэдральные числа. Количество шаров, уложенных в пентатоп, аналог тетраэдра, но в четырехмерном пространстве: )). 11. 43. Квадратно-треугольные числа. С. 187],

  4. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.: «Советская энциклопедия». [Т. 1. Статья: Арифметический ряд. С. 324 – 325]

  5. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с. [Статья: Фигурные числа. С. 314 – 315]

  6. Савин А. П. Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./ Авр.-сост. А. П. Савин и др.- М.: ООО "Издательство АСТ": ООО "Издательство Астрель", 2002. – 475 с. [Статья: Фигурные числа. С. 42 – 50]

  7. Занимательно о физике и математике. М.: Наука,1987. – 144 с. (Б-чка «Квант». Вып. 50) [Статья А. Д. Бендукидзе «Фигурные числа», С. 59 – 62]


I.1.7. Цепные дроби

Литература к теме I.1.7.

  1. Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Наука, (ПЛпМ)

  2. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. – Л., 1952. – 180 с. [Глава первая. Теория делимости. §4. Связь алгоритма Евклида с непрерывными дробями. С. 14 – 18]

  3. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просещение,1960. – 376 с. [Глава 5. Конечные цепные дроби. С. 54 – 63. Глава 24. Бесконечные цепные дроби. §1. Сходимость бесконечных цепных дробей. С. 203 -208. §2. Разложение действительных чисел в цепные дроби. С.208 – 215. §3. Разложение числа е в цепную дробь. С. 215 – 218. Исторические комментарии. С. 218. Глава 25. Приближение действительных чисел рациональными. С. 218 – 231. Глава 25. Наилучшие приближения. С. 231 – 237]

  4. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М. – Л. , 1937.

  5. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., 1966

  6. Арнольд В. И. Цепные дроби. (Биб-ка «Математическое просвещение». Вып. 14. М: МЦНМО, 2001. – 40 с.

  7. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. §3.5. Цепные дроби. Задачи № 3.165 – 198. С. 50 – 56]

  8. Энциклопедия для детей. Т11. Математика. М.: Аванта+,2002. – 688 с. [Раздел: Числа. Глава: Действительные числа. Статья: Цепные дроби (Канонические цепные дроби. Как определить значение цепной дроби? Как построить цепную дробь? Походящие дроби. Цепные дроби и календарь. Обобщенные цепные дроби). С. 184 – 189. Статья: Алгоритм Евклида. С.189 – 190]

  9. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.: «Советская энциклопедия». [Т. 2. Статья: Диагональная цепная дробь. С. 123. Т. 5. Статья: Цепная дробь. С. 812 – 814],

  10. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с. [Статья: Алгоритм Евклида. С. 123. Статья; Календарь. С. 128 – 130]


I.1.8. Системы счисления.

Литература к теме I.1.8.

  1. Сикорский К. Е. (сост.) Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. – М.: Просвещение, 1969. [2 – 3]

  2. Депман И. Я., Веленкин Н. Я. За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5 – 6 классы. М.: Просвещение, 1989.

  3. Веленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия: книга для учащихся 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 320 с. [Глава I. Натуральные числа. §1. Системы счисления. С. 8 – 13] (Имеются подробные исторические комментарии при изложении соответствующего факта)

  4. Гашков С. Б. Системы счисления и их применения. М.: МЦНМО, 2004. – 52 с.[ §1. Деньги в конвертах и зерна на шахматной доске. С. 3 – 7. §1. Взвешивание с помощью гирь и возведение в степень. С. 7 – 11. §3.]аддитивные цепочки и фляги с молоком. С. 11 – 13. §4. Краткая история двоичной системы. С. 13 – 14. §5. Почему двоичная система удобна. С. 14 – 15. §6. Ханойская башня, код Грея и двоичный п-мерный куб. С. 15 – 20. §7. Книга перемен, азбука Морзе, шрифт Брайля и алфавитные коды. С. 20 – 26. §8. Фотопленка и штрих-код. С. 26 – 28. §9. Задача о переливаниях. С. 28 – 30. §10. Игра «Ним». §11. Д. И. Менделеев и троичная система. С. 31 – 34. §12. Троичная систем и фокус Жергонна. С. 34 – 35. §13. Немного об истории позиционной системы счисления. С. 35 – 37. §14. Схема Горнера и перевод из одной позиционной системы счисления в другую. С. 37 – 39. §15. Признаки делимости. С. 49 – 41. §16. Арифметические коды. С. 41 – 42. §17. Минимальные формы двоичной записи с цифрами 0 и ±1 и первая попытка уменьшить сложность умножения. С. 43 – 47. §18. Быстрое умножение многочленов. С. 47 – 48. §19. Быстрое умножение чисел. С. 48 – 49. §20. Приложение: Что можно вычислить на счетах? С. 49 – 51],

  5. Фомин С. В. Системы счисления. М.: Наука, 1980. – 48 с. (ППЛМ. Вып.40)

  6. Яглом И. Я. Системы счисления. // Квант – 1970 – № 6.

  7. Генкин С. А.., Итенберг И. А., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994. – 2 72 с. [Глава: Системы счисления. §1. Что это такое?. С. 187 – 190. §2. Признаки делимости. С. 190 – 192. §3. Задачи. С. 192 – 193. §4. Игра «Ним». 192 – 195. Задачи № 1 – 13]

  8. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. М: Просвещение, 2002. – 207 с.

  9. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М: МЦНМО, 2005. – 320 с. [Глава 5. Числа, дроби и системы счисления. §5.3. Двоичная и троичная системы счисления. Задачи № 5.61 – 94]

  10. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. М.: Наука, 1988. – 288 с. (Имеется тематический путеводитель по задачам на стр. 261 – 270)

  11. [Сб 14; См. тематический путеводитель на стр. 262 – 263: 3. Цифры и системы счисления: задачи № 3, 21, 43. 54, 85, 88, 93, 122, 132, 139, 141, 142, 144, 148,168, 175, 197, 201, 244, 291, 294, 297, 329, 354,396, 430, 439],

  12. Энциклопедия для детей. Т11. Математика. М.: Аванта+,2002. – 688 с. [Раздел: Числа. Глава: Азбука счета. Статья: Позиционная система счисления. С. 120 – 125],

  13. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.: «Советская энциклопедия». [Т. 5. Статья: Счисление. С. 314 – 315],

  14. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с. [Статья: Система счисления. С. 274 – 276],

  15. Савин А. П. Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./ Авр.-сост. А. П. Савин и др. – М.: ООО "Издательство АСТ": ООО "Издательство Астрель", 2002. – 475 с. (для младших школьников). [Раздел: Числа. Статьи: 1. Как мы считаем. 2. История чисел. 3. Десять цифр. 4. Римские, арабские и другие. С. 7 – 24. Статья: Математика допетровской Руси. С. 35 – 37 ]


I.1.9. История классической арифметики

Литература к теме I.1.9.

  1. Депман И. Я. История арифметики. М.: Учпедгиз, 1959.

  2. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1987. – 368 с.

  3. Баврин И. И., Фрибус Е. А. Занимательные задачи по математике. – М.: Гуманит. Изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 208 с. (Задачи известных математиков и их биографии) (Библиотека учителя математики).

  4. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М., 1972.

  5. Бородин А. И., Бугай А. В. Выдающиеся математики. Библиографический словарь-справочник. Киев: Радяньска школа, 1987. – 656 с.

  6. Сингх С. Великая теорема Ферма (17.08.1601 – 12.01.1665). М.: МЦНМО, 2000. 288 с. (Теорема Ферма была решена Э. Уайлсом в 1993 г. на основании результатов Кен Рибета о том, что эллиптическая кривая (*) немодулярна (1986). Если терема Ферма имеет решение А, В, С для некоторого N, то как показал Герхард Фрей (1984), уравнение Ферма преобразовывается к виду (*). По гипотезе Таниямы – Шимуры каждая эллиптическая кривая модулярна (1955) (стр. 177 – 193). Э. Уайлс сделал более важный математический результат – доказал гипотезу Таниямы-Шимуры (стр. 195 – 235) )

  7. Ван дер Вандер Б. Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959

  8. История математики М., т. 1 – 3, 1970 – 1972

  9. Савин А. П. Я познаю мир: Математика: Дет. энцикл./ Авр.-сост. А. П. Савин и др. – М.: ООО "Издательство АСТ": ООО "Издательство Астрель", 2002. – 475 с. (для младших школьников).

  10. Энциклопедия для детей. Т11. Математика. М.: Аванта+,2002. – 688 с.

  11. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.: «Советская энциклопедия». (Т.1 Ст. Арифметика, с.314 – 319; Арифметика формальная, с.319 – 321. Т.2. Ст. Диофантова геометрия, с.157 – 161; Диофантовы уравнения, 169 – 171)

  12. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с.


  1   2   3   4

Похожие:

I. Арифметика iconКонспект урока «Двоичная арифметика»
Оснащение: мультимедийный проектор, презентация «Двоичная арифметика», разработанная учителем с использованием презентации Багровой...
I. Арифметика iconТА. Машинная арифметика с фиксированной точкой. Форматы хранения данных. Машинная арифметика

I. Арифметика iconДвоичная арифметика
Числа которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это...
I. Арифметика iconДелимость и остатки Введение Принято считать, что арифметика предшествует алгебре, что это «более элементарная»
«высшая арифметика» или, чаще, «теория чисел», чтобы своеобразно противопоставить его школьной, начальной арифметике. Но эти названия...
I. Арифметика iconДо наших дней дошли два произведения, оба не полностью. Это «Арифметика» (шесть книг из 13) и отрывки из трактаты
«Арифметика» это сборник задач (всего их 189), где тщательный подбор и продуманное расположение задач направлены на то, чтобы показать...
I. Арифметика iconСергей Александрович Снегов Арифметика любви Снегов Сергей Александрович Арифметика любви
Гиад без тех ограничений, которые так мучительны в дальних рейсах. Ты им уже рассказывал о своей работе? Нет, Рой, но я глубоко убежден...
I. Арифметика iconГ. Ф. Ерилова Учебные занятия по программе элективного курса «Арифметика остатков»
Ерилова Г. Ф. Учебные занятия по программе элективного курса «Арифметика остатков». – Томск, огу рцро, 2005
I. Арифметика iconАрифметика

I. Арифметика iconАрифметика Магницкого

I. Арифметика iconДвоичная арифметика
В этой главе рассмотрим выполнение микропроцессором (МП) арифметических операций с двоичными числами
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org