Иштирякова д. К



страница2/5
Дата08.11.2012
Размер1.26 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ


Пространство Rn – множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п действительных чисел.

Расстояние между элементами х = (х1; х2; ; хп) и у = (у1; у2; ; уп), xi, yi , i = 1, 2, , n, обозначается определяется формулой . В частности, для R2 , M1 (x1; y1), M2 (x2; y2).

В пространстве R1 (числовая ось) .

График функции z = f (x, y) – множество всех точек (x; y; f(x ,y)) , (x; y) (Д) – область определения функции f(x ,y).

означает, что если расстояние между M (x ,y) и M0 (x0,y0) будет достаточно малым, то расстояние между переменной точкой f(x, y) и точкой A числовой оси будет меньше любого наперед заданного (сколь угодно малого) числа.

Непрерывность f(x, y) в точке (x0,y0) означает, что

Полное приращение функции z = f (x, y) в точке (x0,y0) при переходе от этой точки к точке ( ) обозначается z и определяется формулой z = f ( ) - f(x0,y0) .

Полный дифференциал функции z = f (x, y) есть главная часть z, линейная относительно х и у, т.е.
,

где есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с полным дифференциалом dz, причем
dz = fx(x0,y0) x + fy(x0,y0) y. Итак, z dz.
8. Частные производные fx(x0,y0) и fy (x0,y0):

fx(x0,y0) =

и fy (x0,y0) = .

Градиент функции f(x, y) есть вектор-функция

grad f(x, y) = причем (производная в направлении

вектора ) = - угол между grad f и вектором

, .

z = f (x, y) имеет в точке M0 (x0,y0) локальный максимум (минимум), если в некоторой окресности точки M0 (x0,y0) при выполняется f(M) < f(M0) (f(M) > f(M0)), где M(x, y).

Уравнение y(n) = f (x, y, y’, y”, , y(n - 1)) или F(x, y, y’, y”, , y(n 1), y(n)) называется обыкновенным дифуравнением n – го порядка.

Дифуравнение первого порядка имеет вид

y’ = f (x, y) (1)

F(x, y, y’) = 0 (2)

Функция y = (x, c) (c - производная постоянная) называется общим решением уравнения (1) или (2), если при любом с функция у = (х, с) удовлетворяет этому уравнению.

Если найдется такое с0, что (х0,с0) = у0, то у = (х,с0) называется частным решением уравнения (1) или (2). Другими словами, это решение, которое удовлетворяет начальному условию у(х0) = у0.

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых у = (х, с), а частное решение определенную кривую этого семейства, т.е. кривую, проходящую через точку M0 (x0,y0).

Интегрирование (решение) уравнения (1) или (2) означает отыскание функции у = (х, с) (общего решения) или зависимости Ф (х, у, с) = 0 (общего интеграла).

Если f(x,y) = , то уравнение можно записать в виде q (y) dy = p (x) dx, которое называется уравнением с разделенными переменными, а само уравнение y’ = f (x, y) – уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение y’+ p (x) y = q (x) называется линейным дифуравнением первого порядка.

Если , то уравнение y’ = f (x, y) называется однородным. Линейное и однородное уравнения сводятся к уравнению с разделяющимися переменными.

а) Уравнение F(x, y’, y”) подстановкой y’ = z (x) сводится к уравнению первого порядка F(x, z, z’) = 0

б) Уравнение F(y, y’, y”) = 0 подстановкой y’ (x) = p(y) сводится к

уравнению первого порядка F(y, p(y), ) = 0

Числовой ряд с общим членом Un есть символ u1 + u2 + + uvt = = .

Частичная сумма Sn ряда есть конечная сумма: Sn = u1 + u2 +

+ un = .

Сходимость ряда означает существование , при этом S называется суммой ряда.

24. Расходимость ряда означает, что указанного предела не существует.

25. Условие = 0 есть необходимое условие сходимости.

26. Ряд и1 и2 + и3 ип + (или и1 + и2 и3 + ), где ип > 0 , называется законочередующимся.

27. Для законочередующегося ряда монотонность стремления к нулю общего члена ип есть условие сходимости ряда.

28. Ряд а0 + а1х + а2х2 + + апхп+ = называется степенным;

а0, а1, а2, , ап, - коэффициенты ряда.

29. При х = х0 ряд становится числовым. Если он сходится, то х0 называется сходимости степенного ряда. Множество точек сходимости называется областью сходимости. Область сходимости есть либо (-R, R), либо (-R, R], либо [-R, R), либо [-R,R].

30. Число R > 0 называется радиусом сходимости степенного ряда. Если ряд содержит все степени (четные и нечетные), то . В интервале сходимости (-R, R) степенной ряд сходится абсолютно, т.е. сходится ряд

31. Ряд называется рядом Тейлора функции f(x) по степеням (x x0), а формула называется формулой Тейлора; rn (x) – остаточный член. При этом для сходимости ряда Тейлора к f(x) необходимо и достаточно, чтобы .
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При математическом описании явлении окружающей нас действительности приходится констатировать, что многие изучаемые величины зависят не от одного, а от нескольких факторов. Если изучаемую величину U и каждый из определяющих её n факторов можно охарактеризовать некоторым числом, то указанная зависимость означает, что упорядоченному набору из n чисел ставится в соответствие число U. Дадим следующие определения.

. Упорядоченный набор чисел будем называть точкой М n-мерного пространства R , причем R , где R -множество действительных чисел.

Геометрическим образом пространства R служит числовая ось (каждая точка пространства имеет одну координату - абсциссу), образом пространства R - координатная плоскость (каждая точка имеет две координаты – абсциссу и ординату), образом R служит трехмерное пространство, каждая точка которого имеет три координаты - абсциссу, ординату и аппликату.

. Пусть R . Соответствие f, сопоставляющее каждой точке единственное действительной число R , называется действительной функцией n действительных переменных и обозначается ( ), или U=f(M) ,причем

- независимые переменные;

U=f(M)-значение функции;

- область определения;

множество значений; - закон соответствия.

Если не указано,то оно определяется из условия выполнимости операций или действий, указанных в законе соответствия (при аналитическом задании функции).

Замечание. Вместо обычно употребляется запись , а вместо употребляется .

Пример. Найти область определения функции двух переменных .

Решение Соответствие между имеет смысл лишь при , т.е. при . Таким образом,

т.е. область определения есть множество точек плоскости, для которых . Геометрически: - замкнутый круг радиуса 3 с центром в т.(0,0) (т.е. внутренность круга, включая границу-окружность)

область значений.

Резюме. Функция ( ) ставит в соответствие точке

R единственную точку R .
ГРАФИК ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция определена в области R и точка . Проведем перпендикуляр к плоскости в точке М и на нем отложим расстояние - вверх, если , и вниз, если .

Множество точек образует некоторую поверхность (рис. 1)
z

0 y


(Д)

x

Рис. 1
Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется графиком функции . Например, графиком функции является верхняя полусфера (рис. 2), графиком функции является нижняя полусфера , а уравнение определяет полную сферу.

Z


3

3

у


3

х

Рис. 2
Резюме. Графиком функции является поверхность, проекцией которой на плоскость является область (Д) - область определения функции.
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Пусть определена в области (Д) R ,

. (означает по определению)

Более краткая запись:

Круг с центром в т. радиуса будем называть - окрестностью т. и обозначать . Интервал называется - окрестностью точки A и обозначается . Тогда определение предела функции в точке можно сформулировать в следующем эквивалентном виде:

.

Здесь означает проколотую окрестность, т.е. круг с удаленным центром. Итак существование означает, что как только точка попадает в проколотую окрестность точки , то образ этой точки, т.е. попадает в - окрестность точки .
Резюме. Существование конечного предела означает, что если точка «подойдет» к точке достаточно близко, а именно, на расстояние, меньше чем , то «подойдет» к точке А сколь угодно близко, а именно, на расстояние, меньше чем , где - сколь угодно малое положительное число.

Для функции нескольких переменных остаются в силе теоремы о пределе суммы, произведение и частного двух функций, в том числе для

Примеры:

1. Вычислить

Решение: Под знаком предела имеем неопределенность вида . Положим при . Имеем



2. Вычислить

Решение. Перейдем к полярным координатам причем

, при . Тогда



т.к. - ограниченная при ,

- бесконечно малая; по известной лемме произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая, т.е.
=0


бес. мала ограничена

3 Доказать, что не существует.

Решение. Стремление означает, что точка удаляется в бесконечность, причем способов удаления, т.е. «маршрутов» , передвижения точки бесконечное множество.

В случае существование предела значения «придут» к некоторой точке независимо от «маршрута», или «пути». Следовательно, если выбрать два различных «маршрута» и показать, что «пункты прибытия» значений различны, то это и будет означать, что не существует, т.е. «не подойдет» к определенному «пункту» А.

  1. Пусть вдоль прямой ; при этом



  1. Пусть вдоль параболы ; тогда






Поскольку нарушена единственность предела, т.е. не существует.

Пусть и функция называется непрерывной в точке , если существует конечный

Для функции двух переменных можно перефразировать так:

называется непрерывной в точке если существует конечный или



Положим - приращение переменной ;

- приращение переменной ;

- приращение функции. Получаем эквивалентное определение:

Функция называется непрерывной в точке , если

Выполнение равносильно выполнению трех условий:

  1. определена как в самой точке , так и в некоторой её окрестности;

  2. существует конечный

  3. этот предел равен значению

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то точка называется точкой разрыва функции .

Если функция непрерывна в каждой точке области (Д), то она называется непрерывной в области (Д).

Как и для функции одной переменной, для функции нескольких переменных остаются в силе арифметические свойства непрерывных функций. Справедливы также следующие теоремы Вейештрасса

  1. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена на этом множестве.

  2. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своего наибольшего и своего наименьшего значений.

Пример

Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Функция непрерывна как отношение многочленов во всех точках, в которых .Точки разрыва расположены на линии , т.е. на параболе.
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ

Представим себе неравномерно нагретую тонкую пластинку. Очевидно, скорость изменения температуры в различных направлениях будет различной.
у




0

Рис. 3
В связи с этим рассмотрим задачу об определении скорости изменения функции в заданном направлении. Пусть в некоторой области (Д) R задана функция . Рассмотрим точку и любую направленную прямую , проходящую через эту точку (рис.3). Пусть точка лежит на этой прямой. Отношение есть средняя скорость изменения функции в направлении прямой .

1 называется производной функции в направлении и обозначается .

Итак, - (1)

- скорость изменения функции в точке в направлении .

Положим и обозначим . Тогда (1) запишется:

( )

2 При ( параллельна оси Ох) получим

- (2)

- частная производная функции по переменной .

Аналогично . (3)

Будем рассматривать теперь частные производные в произвольной точке .

Обозначим - частное приращение функции по переменной ,

- частное приращение по .

Тогда (2) и (3) можно записать:



Наряду с обозначениями употребляются обозначения , т.е.

или

Итак, аналогично по переменной у.

Для функции переменных частная производная по переменной определяется как

где

частное приращение функции .

Из определения

следует, что поскольку приращение получает только переменная , то можно временно считать фиксированным, т.е. можно найти по обычным правилам дифференцирования, считая постоянным. Аналогично при нахождении считается постоянным .

Примеры







Рассмотрим функцию . Найдем - полное приращение функции.

3 . Функция называется дифференцируемой в т. , если выполнены условия:

  1. существуют конечные и в этой точке;

  2. представимо в виде


+ (4)
(1) (2)

главная часть бесконечно малая высшего

порядка по сравнению с (1).
Где при

Из (4) видно, что можно рассматривать как сумму двух слагаемых (1) и (2). Слагаемое (1) линейно относительно и , слагаемое (2) не линейно относительно и .

Главная часть полного приращения функции, линейная относительно и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . Итак,

(5)
и +
главная часть «мелочь» по сравнению с .

Замечание. Можно показать, что ,

где при .

Таким образом, при малых и , можно считать (если отбросить «мелочь»), что , т.е.

, или

В точке :

(6)

Формула (6) позволяет по назначению в т. находить приближенно значение в близкой к точке .

На этом основано применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислим приближенно .

Решение. 1. Рассмотрим функцию

Взяв , и можем воспользоваться формулой (6).

  1. Найдем

  2. Найдем





;



Ответ:

Для функции имеем ; аналогично .Тогда (5) можно записать в виде: (7)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Теорема. Если дифференцируема в точке то она имеет в этой точке производную по любому направлению , причем

(1)

где - углы, образованные направлением прямой l соответственно с положительными направлениями осей Ох и Оу (рис.4)

y l

М







0 х0 х х

рис. 4
Доказательство. Обозначив
имеем



(см. замечание после 40 п.4)

Отсюда

Переходя к пределу при т.е. получим:



Замечание Для случая имеем:

где - углы, которые составляют направление с положительными направлениями осей соответственно.

Пример. Найти производную в точке функции в направлении, идущем от точки к точке .
Решение.

Имеем





1 Градиентом функции в точке называется вектор

(2)





l



Рис. 5
Рассмотрим единичный вектор (рис.5)

(3)

Скалярное произведение с учетом (2) и (3) равно

(4)

С другой стороны,

(5)

Приравняв правые части ( 4) и (5), получим



Если , то есть направление прямой совпадает с направлением градиента, то ,т.е. имеет наибольшее значение, и



Резюме. Скорость изменения функции будет наибольшей в направлении градиента функции.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Рассмотрим функцию . Частные производные и , вообще говоря, также являются функциями тех же переменных х и у, которые также могут иметь частные производные, которые будем называть вторыми частными производными (производными второго порядка).

(дэ два по дэ икс дважды)

(дэ два по дэ икс дэ игрек)

(дэ два по дэ игрек дэ икс )

(дэ два по дэ игрек дважды).

В определениях 20 и 30 порядок следования символов и указывает на то, что функция продифференцирована сначала по одной из переменных, и полученный результат продифференцирован по другой переменной.

Например, означает, что продифференцирована по х ( на первом месте), результат продифференцирован по у.

Найденные вторые производные также могут иметь частные производные. Например,

, и так далее.

Вообще, частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная от частной производной - порядка той же функции.

В отличие от , ,

производные ,

Будем называть смешанными частными производными.

Употребляются также обозначения так что, например

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Решение.

Мы видим, что , и это не случайно.

Оказывается, справедлива следующая теорема (о равенстве смешанных частных производных второго порядка):

если имеет в окрестности точки частные производные и , которые непрерывны в самой точке , то в этой точке .
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

Пусть функция задана в некоторой области Д R2, точка


0 у


х

Рис. 6
10. Точка называется точкой максимума функции , если всюду в некоторой окрестности этой точки (рис 6).
z

0 y
(x0,y0)
х

Рис. 7

20 .Если всюду в некоторой окрестности точки

, то называется точкой минимума функции (рис. 7).

Значение функции в точках max и min и называется максимумами и минимумами, или, короче, экстремумами.

Понятие экстремума носит локальный (местный) характер. Некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых из максимумов. Не надо смешивать экстремумы с наибольшими и наименьшими значениями.

Пусть, например, - точка максимума. Тогда в некоторой окрестности этой точки В частности,

для всех из некоторого интервала . Это значит, что функция одной переменной имеет в точке максимум, следовательно, в точке выполняется необходимое условие экстремума, а именно, или не существует.

Аналогично, рассматривая , получим, что в точке или не существует. Итак, доказана следующая теорема (необходимые условия экстремума). Если , в точке имеет экстремум, то в этой точке

либо ,

либо хотя бы одна из частных производных не существует.

Примеры 1. Функция имеет в точке , так как и если (рис.8)

z


у
x

Рис. 8

При этом

  1. имеет в точке , т.к.

При этом и в точке (0,0) не существуют.

30. Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Следующий пример показывает, что не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.

  1. - критическая, . Но в любой окрестности точки (0,0) принимает значение как

(при ), так и (при ), то есть критическая точка (0,0) не является ни точкой , ни точкой

Резюме. Равенство нулю или не существование хотя одной из частных производных является только необходимым, но не достаточным условием наличия экстремума функции в точке.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть в точке то есть выполнены необходимые условия экстремума функции . Обозначим

и составим выражение . Тогда:

  1. если , то имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при ;

  2. если , то в точке экстремума нет;

  3. если , то вопрос остается открытым, т.е. в точке может быть экстремум, а может и не быть.

Пример Найти экстремумы функции



Решение. Найдем

Найдем критические точки из системы

т.е. из системы

находим - критическая.

т.е. ;

- точка экстремума.

Так как , то согласно 1. - точка минимума,

.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ОБЛАСТИ

Пусть непрерывна в ограниченной замкнутой области Д и дифференцируема внутри (Д). Тогда по второй теореме Вейсрштрасса (п.4) она достигает в области своего наибольшего и наименьшего значений, либо внутри области, либо на её границе. Если эти значения достигаются во внутренних точках (Д), то эти точки будут точками экстремума функции. Таким образом, точки, в которых имеет наибольшее и наименьшее значения, будут либо точками экстремума, либо граничными точками области (Д).

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной прямыми ,

Решение

  1. Найдем точки экстремума внутри области (Д) (рис. 9)


А

4

2 (Д)

В

0 2 4 6
Рис. 9
Решая систему:

, находим




  1. Рассмотрим значения функции на границе области.

1) - возрастает на отрезке

0 , 16

2)

-4

3)





  1. Среди значений , , 16 , -4 ,



выбираем наибольшее и наименьшее.

- достигается внутри области;
- достигается на границе области.

1   2   3   4   5

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org