ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Принятые обозначения
Нумерация определений - сплошная, т.е. O1 – определение первое, O2 - определение второе и т.д.
Нумерация теорем – сплошная, т.е.T1 – теорема первая и т.д.
Нумерация формул, уравнений и т.д. – сплошная: (1), (2), и т.д.
Нумерация примеров – сплошная, т.е. П1 – первый пример, П2 - второй пример и т.д.
Для сокращения текста использованы символы (из А следует В), (существует, найдется), (для любого, для каждого)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Всеобщая изменчивость («все течет, все изменяется»), присущая всем явления окружающего нас мира, была замечена в глубокой древности. Конкретный характер этой изменчивости раскрывается с помощью таких понятий, как масса, скорость и ускорение, траектория и т.д. То, что подвержено изменению, может быть массой, концентрацией вещества, координатной точки и т.д., т.е. охватывая всевозможные случаи, можно сказать, что это функция одной или нескольких переменных. Но скорость изменения чего-либо – это производная, а скорость изменения скорости, т.е. ускорение – это вторая производная. Так мы приходим к понятию дифференциального уравнения.
О1 Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные от искомой функции.
Если неизвестная функция – от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным. Если уравнение содержит функцию нескольких переменных и её частные производные, то оно называется уравнением частных производных. Впредь будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (слово «обыкновенные» будем опускать), т.е. уравнения вида
F(x, y, y’,y”,…,y(n))=0 (1)
Уравнение (1) есть дифуравнение п – го порядка. Таким образом, порядок уравнения есть порядок старшей производной искомой функции.
Примечание. Уравнение, вообще говоря, может и не содержать у или х. Например, у’’’ = x – дифференциальное уравнение третьего порядка, y” + 4y = 0 – уравнение второго порядка.
Итак, дифуравнение, непременно содержит производные искомой функции.
Рассмотрим подробнее дифуравнение первого порядка F(x, y, y’)=0 (2)
или, если удается выразить y’ явно через х и у,
y’=f(x,y) (3)
Допустим, нам удалось решить (проинтегрировать) уравнение (2) или (3). Будет ли это решение единственным ? Обратимся к простейшему дифуравнению y’=f(x).
Как известно, у = , где с = сonst.
Итак, в результате интегрирования даже простейшего уравнения мы получаем не одно, а бесконечное множество решений (семейство решений).
О2 Общим решением уравнения (2) или (3) называется семейство функции
у = (4)
заданных на некотором множестве (например, на отрезке [a,b] ) обращающих уравнение (2) или (3) в тождество.
О3 Решение y = (5)
назывется частным.
Таким образом, частное решение (5) получается из общего решения (4) при с = С0.
Геометрически (4) представляет собой бесконечное семейство линий-семейство интегральных кривых, а частное решение (5) – одну, определенную кривую этого семейства (рис. 10)
y M0 ( x0 y0 )
y =
y =
0 x
|