Иштирякова д. К



страница4/5
Дата08.11.2012
Размер1.26 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5

Рис. 10


Для выделения частного решения из общего задают начальные условия:

(6)

(иногда (6) записывают в виде у ( х0 ) = у0 ). Геометрически это означает, что для выделения кривых надо задать точку М0 (х0 у0 ), через которую проходит эта кривая. На рис.1 график частного решения изображен жирной линией.

О4 Задача нахождения решения (5), удовлетворяющего условиям (6), называется задачей Коши.

Примечание. Результат интегрирования уравнения (2) или (3), т.е. зависимость между у, х и с не всегда удается записать в виде (4). Эта зависимость, записанная в виде

Ф (х, у, с) = 0 (7)

называется общим интегралом уравнения (2) или (3). Ясно, что общее решение и общий интеграл имеют один и тот же смысл.

Поясним физический смысл общего и частного решения на примере уравнения радиактивного распада

m’ (t) = - k m, (8)

в котором m = m (t) - наличное количество, т.е. масса радиактивного вещества в момент времени t. Уравнение (8) выражает тот факт, что скорость распада пропорциональна наличному количеству вещества. Величина К коэффициент пропорциональности и для каждого конкретного вещества имеет определенное значение. Знак “ – “ указывает на то, что происходит убыль (распад) вещества.

Запишем уравнение (8) в виде

или

Последнее равенство есть равенство дифференциалов двух функции, а именно . Но если дифференциалы двух функции равны, то эти функции отличаются только константой, т.е.

,

откуда имеем - общее решение. По нему мы не можем сказать, что оно однозначно определяет данный процесс, поскольку неизвестно, каково было количество вещества в какой-то начальный момент времени .

Пусть известно, что

, т.е. заданы начальные условия.

Тогда имеем т0 = с и ; подставив полученное значение с в общее решение, т = с е кt, получим, m = m0 или . Тем самым имеем вполне определенный процесс, т.е.
располагая полученным частным решением. Можно узнать , каково будет в любой момент времени.

Приведем без доказательства теорему о существовании и единственности решения задачи Коши Т1 Пусть - G область определения функции f (x, y). Если f (x, y ) непрерывна в области и имеет ограниченную в области Д, то достаточно малое такое, что на отрезке уравнение (3) имеет единственное решение задачи Коши.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общего метода интегрирования уравнения (3) не существует, поэтому рассмотрим частные типы уравнений, интегрирование которых приводится к вычислению неопределенных интегралов, или, как говорят, приводится к квадратурам.



УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ И РАЗДЕЛЯЮЩИМИ

ПЕРЕМЕННЫМИ

Рассмотрим дифуравнение (3), где f ( x, y ) = f1 (x) f2 (y),


т.е. уравнение вида (9)

Предполагая, что запишем его в виде

(9’)

Равенство (9’) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть попеременной , а правую по , получим:

(10)

Соотношение (10) можно привести к виду (7), т.е. (10) представляет собой общий интеграл уравнения (9).

О5 Дифуравнение M (x) dx + N (y) = 0 (11)

типа (9’) называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл уравнения (11) по доказанному есть

П1 Дано уравнение с разделенными переменными

xdx + ydy = 0

Интегрируя, получим , или x2 + y2 = 2c1 0 ; положим 2 c1 = c2. Тогда x2 + y2 + c2общий интеграл (концентрических окружностей с центром (0; 0) и радиусом с).

О6 Уравнение вида M1 ( x ) N1 (y) dx + M2 (x) N2 (y) d y = 0 (12)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Его можно преобразовать к виду

, т.е. к уравнению вида (11) (преобразование законно только в той области, где и ).

П2 Решить уравнение



Решение Разделяем переменные:



Интегрируем: , или , - общее решение (семейство равносторонних гипербол).

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ

О7 Функция называется однородной функцией п-го измерения относительно х и у, если для любого выполняется



П3 - однородная функция второго измерения, т.к.

П4 - однородная нулевого измерения, т.к. .

О8 Уравнение называется однородным, если есть однородная функциянулевого измерения относительно х и у.

Пусть - однородное дифуравнение,т.е. . Полагая , получим , и уравнение примет вид

(13)

Введем новую искомую функцию , отсюда



Уравнение (13) примет вид

Z + x , или (14)

- уравнение типа (9’), т.е. с разделенными переменными.

Интегрируя (14) и подставляя вместо Z отношение , получим общий интеграл уравнения (13).

П5 Найти интегральную кривую уравнения x2 y2 + 2 x y y’= 0, проходящую через точку M ( 1;1 ).

Решение: Преобразуем уравнение к виду

и положим .

Тогда y = xz, y ‘ = z + xzи , или 2z ( z + xz’ ) = z2 1.

Упростим: 2z2 + 2xzz’ = z2 1, 2xzz’ = - ( z2 + 1), 2xz - уравнение типа (9’) . Интегрируем:

,

подставим , тогда , или - семейство окружностей.

Воспользуемся тем, что искомая интегральная кривая проходит через точку , т.е. , что дает 1 + 1 = c, т.е. c = 2, следовательно y2 + x2 = 2x, или ( x 1 )2 + y2 = 1 - окружность с центром в точке (1;1) радиуса 1.

Заметим, что уравнение y’ = f (15)

- однородное уравнение, т.е. типа (13)

Рассмотрим уравнения, приводящиеся к однородным:

y’ = (16)

где f- непрерывная функция.

При c1 = c2 = 0 уравнение (16) является уравнением типа (15) и является однородным. Пусть теперь c1 и c2 (или одно из них) отличны от нуля. Введем новые переменные s и t, полагая

(*)

Тогда (17)

Подставляя в (17) выражения для x, y и , получим (с учетом (16))

(18)

Подберем и так, чтобы выполнялось

, (19)

т.е. определим и как решения системы уравнении (19). При выполнении (19) уравнение (18) становится однородным:

, т.е. уравнение вида (16).

Решив это уравнение и перейдя снова к x и y по формулам (*), получим решение уравнения (16).

Система (19) не имеет решения, если

, т.е. а1 в2 = а2 в1

Но тогда , т.е. и уравнение (16) приводится к виду

, и подстановкой уравнение (16) будет иметь вид:

, т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

П6 Решить уравнение



Решение: Положим х = s + , y = t + .

Имеем

Решая систему находим = 2, = 1.

Получаем однородное уравнение

, или - однородное уравнение. Введем новую искомую функцию , тогда t = s Z ( s ),

и Z + s s

s - уравнение с разделенными переменными.

Интегрируем:



или Подставляя вместо Z и s = x 2 ,получим

или

- общий интеграл.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

О9 Уравнение вида y + p ( x ) y = q ( x ) (20)

называется линейным, уравнением первого порядка (перед y может быть какой-либо множитель). Слово «линейное» означает, что уравнение содержит искомую функцию y (x) и y’ (x) в первой степени. Функции p (x) и q (x) предполагаются непрерывными.

Решение уравнения (20) будем искать в виде y ( x ) = u ( x ) v ( x ), или, короче,

y = u v (21)

Найдем y’ = uv + u v(22)

И подставим (21) и (22) в (20):

u’ v + u v’ + p ( x ) uv = q ( x ), или u’ v + u ( v’ + p ( x ) v) = q ( x ) (23)

Поскольку уравнение (23) содержит две неизвестные функции u ( x ), v ( x ), то на одну из них, например, на v ( x), мы вправе наложить дополнительное условие. А именно, потребуем, чтобы выполнялось

v’ + p ( x ) v = 0 (24)

Тогда в силу (24) уравнение (23) примет вид uv = q ( x ), (25)

где v была найдена из (24) и v = v ( x ) означает какое-либо частное решение уравнения (24). Так как из (25) следует, что , то y = u v, найденное по (21), даст общее решение уравнения (20).

П7 Решить уравнение xy’ + 2y = x2

Решение. Полагаем y = u (x) v(x), находим y’ = uv + uv. Подставим вместо y и y соответствующие выражения в исходное уравнение:

x (uv + uv’) + 2uv = x2, или xuv + u ( xv’ + 2v ) = x2. (*)

Подберем v = v ( x ) так, чтобы xv’ + 2v = 0, или , откуда интегрируя, имеем или

Уравнение (*) примет вид:

uv = x, или u’’ = x, отсюда u’ = x3, du = x3 dx, u =

у = u (x) v (x) = или - общее решение.

По разобранной схеме решается и уравнение Бернулли у’ + p (x) y = q (x) , где - действительное, и
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дифуравнение второго порядка имеет вид

F (x, y, y’, y”) = 0 (26)

или y” = f (x, y, y’ ) (27)

Для (26) или (27) также существут общее и частное решение. Рассмотрим сначала пример.

П8 Найти решение уравнения y” = 2, удовлетворяющее условиям y(1) = 2, y’ (1) = 1.

Решение: Имеем (y’)’ = 2, отсюда y’ = 2x + c1. Интегрируя, получим .

Из условия y’ (1) = 1 получим 1 = , т.е. c1 = -1 и y = x2 x + c2. Из условия у (1) = 2 находим с2: 2 = 1 1 + с2, т.е. с2 = 2.

Итак, у = х2 х + 2.

Пусть для (27) получено решение

у = ( х, с1, с2) (28)

Оно называется общим, если:

и с2 (28) является решением уравнения (27).

Из (28) можно получить любое частное решение, удовлетворяющее условиям

(29)

у
Г

М0
0 х

Рис. 11
Геометрически общее решение (28) представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров с1 и с2. Через каждую точку плоскости проходит пучок интегральных кривых (рис. 11). Поэтому, чтобы из семейства (28) выделить одну определенную кривую Г, недостаточно указать точку , через которую должна проходить эта кривая, а следует указать ещё направление, в котором кривая Г проходит через точку М0, т.е. задать тангенс угла , образованного касательной к этой кривой в точке М0 с положительным направлением оси Ох.

Если обозначить , на основании (28) имеем

(30)

Из системы (30) можно определить с1 и с2 и тем самым найти решение , удовлетворяющее условиям (29).
ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА,

ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Уравнения вида y” = f (x) решаются последоательным интегрированием.

П9 Решить уравнение y” = sinx.

Решение Имеем (y’)’ = sinx, отсюда y’ = . Далее,



Итак, y = - sinx + c1x + c2 - общее решение.

Уравнение вида y” = f (x, y’) (31)

Полагая y’ (x) = Z (x), приведем (31) к виду (поскольку y” (x) = Z’ (x) )

Z’ = f (x, Z) - уравнение первого порядка.

П10 Решить уравнение ( 1 + x2 ) y 2xy’ = 0

Решение: Положим y’ (x) = Z (x). Тогда y” = Zи (1 + x2) Z 2xZ = 0, (1 + x2) = 2xZ





Тогда y = c1 , или - общее решение.

Уравнение вида y” = f (y, y’) (32)

Не содержит х в явном виде.

Порядок уравнения (32) можно понизить, если за независимую переменную взять у, т.е. ввести функцию y’ (x) = p (y) - сложная функция х. Дифференцируя, получим:

Y” (x) = p’ (y) = p’ (y) p (y), тем самым (32) примет вид

p’ (y) p(y) = f (y, p (y)) - уравнение первого порядка.

П11 Решить уравнение 1 + y2 = 2 y y”.

Решение: Положим y’ (x) = p (y). Тогда y” (x) = p’ (y) p (y), и исходное уравнение примет вид

1 + p2 (y) = 2yp’ (y) p (y), или ! + p2 = 2yp

Интегрируем:

, 1 + р2 = с1 у,

р =

пусть с1 у 1 = t2, c1dy = 2tdt. Тогда



- общее решение.
ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (ЛОДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Это уравнение имеет вид

y” + ay’ + by = 0, y = y (x), (33)

где a и b - действительные числа .

Пусть y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) - частные решения уравнения (33).

О10 Два решения y1 и y2 называются линейно-зависимыми, если можно подобрать постоянные числа c1 и c2, не равные одновременно нулю, такие, что c1 y1 + c2 y2 (34)

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения y1 и y2 называятся линейно-независимыми. Другими словами, если y1 (x) и y2(x) линейно независимы и имеет место тождество (34), то c1 = c2 = 0.

Будем искать решение уравнения (33) в виде y = ekx (35)

Дифференцируя, получим y’ = kekx, y” = k2 ekx (36)

Подставим (36) и (35) в уравнение (33):

k2 ekx+ a kekx + b ekx = 0, или ekx (k2 + ak + b) = 0.

Поскосльку ekx ни в одной точке, то

k2 + ak + b = 0 (37)

Уравнение (37) называется характеристическим уравнениeм уравнения (33). Для корней уравнения (37) возможны следующие случаи. Пусть Д=а24в.

Д > 0, т.е. уравнение (37) имеет два различных действительных корня и



Можно доказать, что в этом случае и являются линейно-независимыми частными решениями уравнения (33).

Д = 0, т.е.

Линейно-независимыми частными решениями будут

у1 = ekx и y2 = х ekx

Д < 0, т.е. уравнение (37) имеет сопряженные комплексные корни и

Линейно-независимые частные решения:

и

Справедлива следующая теорема.

Т2 Если y1 (x) и y2(x) - линейно-независимые частные решения уравнения (33), то общее решение этого уравнения имеет вид

у = с1 у1 (х) + с2 у2 (х) (38)

Таким образом, для случаев 1,2 и 3 общее решение имеет вид:

1. Д > 0, у = с1 + с2 ; (39)

2. Д = 0, у = с1 + с2х ; (40)

3. Д < 0, + (41)

П12 Найти частное решение следующих уравнении при указанных начальных условиях:

a) y” 3y’ + 2y + 0, y (0) = 3, y’ (0) = 4;

б) y” – 2y’ + y = 0, y (0) = 1, y’ (0) = 0;

в) у” – 2y’ +2y = 0, y (0) = 1, y’ (0) = 1.

Решение: а) характеристическое уравнение k2 3k + 2 = 0 имеет корни k1 = 1, k2 = 2. Тогда общее решение согласно (39) имеет вид у = с1 +с2 . Так как y (0) = c1 + c2 и y’ (0) = c1 + 2c2, то имеем систему



oткуда c1 = 2, c2 = 1.

Искомое частное решение: y = 2e x + e2x

б) решая характеристическое уравнение k2 2k + 1 = 0, находим k1=k2=1. Согласно (40) общее решение имеет вид y = (c1 + c2 x) ex.

Так как y (0)=1, то c1=1, поскольку y’ = y + c2 ex и y’ (0) = 0, то c2 = -1.

Окончательно ичкомое частное решение:

y = (1-x) ex.

в) характеристическое уравнение k2 2k + 2 = 0, имеет корни k1 = 1 + i, k2 = 1 - i, т.е. и согласно (41) общее решение

y = c1 ex cosx + c2 ex sinx

Из условия y(0)=1 получаем y(0)=c1=1; имеем y’ = (ex cosx + c2ex sinx)’ = ex (cosx sinx) + c2ex(sinx + cosx), тогда y’ (0) = 1 + c2 = 1, c2 = 0. Итак, искомое частное решение

y = ex cosx.
ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (ЛНДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Это уравнение имеет вид

y” + ay’ + by = f (x), f(x) (42)

Решение уравнения (42) основывается на следующей теореме Т3 Если y* – некоторое частное решение уравнения (42) и – общее решение уравнения (33), то общее решение уравнения (42) имеет вид

y = + y* (43)

то есть общее решение ЛНДУ = общее решение ЛОДУ + частное решение ЛНДУ.

Укажем правило нахождения y* по методу неопределенных коэффициентов.

Пусть f(x) = b0 x2 + b1 x + b2; тогда:

а) y* = Ax2 + Bx + C, если нуль не яляетя корнем уравнения (37) (характеристического);

б) y* = Ax3 + Bx2 + Cx, если нуль является простым корнем уравнения (37); примечание: если b0 = 0, то полагается A = 0;

в) y* = Ax4 + Bx3 + Cx2, если нуль является двукратным корнем уравнения(37).

Пусть f(x) = A ; тогда:

а) y* = B , если число не является корнем уравнения (37);

б) y* = Bx , если является простым корнем уравнения (37);

в) y* = Bx2 , если является двукратным корнем уравнения (37);

Пусть f(x) = (M cos + N sin ); тогда:

а) y* = (A cos + B sin ); , если число не является корнем уравнения (37);

б) y* = x (A cos + B sin );, если число является корнем характеристического уравнения (37)

П13. Найти общее решение уравнения

y” + y’ = 8x 6 (44)

Решение. Найдем – общее решение уравнения y” + y’ =0. Характеристическое уравнение:

k2 + k = 0, отсюда k1 = 0, k2 = -1. Согласно (39) c1 + c2 e-x – общее решение ЛОДУ.

Сравнивая правую часть (44) с правой частью 1) настояшего п. 3.4., замечаем, что b0 = 0, т.е. f(x) = . Согласно п. а) 1) y* cледует искать в виде y* = Cx2 + Bx. Подберем С и В так, чтобы y* было решением уравнения (44). Для этого найдем y*’ = 2Cx + B, y*” = 2C и подставим выражение для y*” и y*’ в (44). Получим:

2C + 2Cx + B = 8x 6, или

2Сх + (В + 2С) = 8х 6.

Согласно методу неопределенных коэффициентов, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях последнего уравнения.

.

Тогда у* = 4х2 14х.

Согласно (43) у = + у* = с1 + с2 е-х + 4х2 14х - общее решение

уравнения (44).

П14 Найти общее решение уравнения

y 2y3y = - 2ex (45)

Решение Соответствующее однородное уравнение

y 2y3y = 0 (46)

Имеет характеристическое уравнение k2 -2k - 3 = 0, корни которого k1 = 3, k2 = -1 действительны и различны. Сoгласно (39) , = с1 + с2 - общее решение уравнения (46). Найдем теперь y*. Имеем f(x) = - 2ex. Так как не является корнем характеристического уравнения, то согласно п. 2) а) y* = B , y*’ = B , y*” = B .

Подставив y*, y*’, y*” в (45), имеем B - 2 B -3 B = -2 , или -4 B = -2 4B = 2, B =

Итак, у* = ех. Согласно (43) у = с1 е3х + с2 е-х + ех - общее решение уравнения (45).

П15 Найти общее решение уравнения

y” + 4y = 4 sin2x (47)

Решение Однородное уравнение: y” + 4y = 0 (48)

xарактеристическое уравнение: к2 + 4 = 0, отсюда к1 = 2i, k2 = - 2i, т.е. (cм. 41). Oбщее решение уравнения (48) имеет вид = c1 cos2x + c2 sin2x.

Так как f(x) = 4 sin 2x = 0 + 4sin2x, то совпадает с корнем характеристического уравнения. Тогда согласно п. 3. б) y* = x (A cos + B sin ). Далее,

y*’ = Acos2x + Bsin2x - 2x (A sin - B cos ),

y*” = -4Asin2x + 4Bcos2x - 4x (A cos - B sin ).

Подставляя y*, y*’, y*” в (47), имеем после упрощений -4Asin2x + 4Bcos2x = 4sin2x.

Приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x в обеих частях полученного равенства, имеем

-4A = 4, 4B = 0, т.е. A = -1, B = 0, y* = -x cos2x, и

y = + y* = c1 cos2x + c2sin2x xcos2x eсть общее решение уравнения (47).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ

Дифференциальные уравнения являются универсальными в том смысле, что дифуравнение определенного типа описывает различные процессы и явления. Например, дифуравнение второго порядка с постоянными коэффициентами описывает как механические колебания (груз, подвешенный на упругой пружине) так и электрические колебания в цепи, состоящей из омического сопротивления, конденсатора и катушки индуктивности.

В п. 1 (Основные понятия) рассматривалось уравнение радиактивного распада (8), смысл которого в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству (к моменту времени t ) вещества. Следующая задача макроэкономической динамики в принципе совпадает с уравнением радиактивного распада (8)

Задача Пусть y(t) - объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t.

Примем условие ненасыщаемости рынка, т.е. положим, что все производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене p. Тогда доход к моменту времени t составит

Y(t) = py(t).

Пусть J(t) - величина инвестиции, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиции, т.е.

y’(t) = l J(t) (49)

Полагая, что величина инвестиции J(t) составляет фикироанную часть дохода, получим

J(t) = m Y(t) = mpy(t), (50)

где коэффициент пропорциональности m ( так называемая форма инвестиции) – постоянная величина, 0 < m < 1. Подставляя J(t) из (50) в (49), получим уравнение y’ = ky, (51)

где k = mpl.

Уравнение (51) – с разделяющимися переменными и в принципе совпадает (по типу) с уравнением радиактивного распада (8), которое было проинтегрировано в п. 1.

Заметим, что уравнение (51) описывает так же рост народонаселения (демографический процесс), динамику роста цен при постоянной инфляции.

1   2   3   4   5

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org