Иштирякова д. К



страница5/5
Дата08.11.2012
Размер1.26 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5

РЯДЫ


Принятые обозначения.

1. Определения будем обозначать 1о, 2о, и т.д., то есть 1о - определение первое, 2о - определение второе, и т.д.

2. Теоремы будем обозначать Т1, Т2,…

Следствие из теорем - С1, С2,…

Начало доказательства - Д

Принята сплошная нумерация формул

Для сокращения записи используются символы математической логики: ",$,Ю,Ы

"x - для любого, для всякого, для каждого x;

$ - существует;

AЮB - из утверждения (формулы) А следует утверждение (формула) В;

АЫВ - для выполнения А необходимо и достаточно выполнение В (А равносильно В)

П1, П2, … Означает пример 1, пример 2, … (нумерация сплошная)


ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СХОДИМОСТЬ

В математике и её приложениях большую роль играют суммы бесконечного множества слагаемых (бесконечные суммы). Вспомним, например, что

(определение определённого интеграла)

Другой пример, знакомый по школьному курсу математики, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:



Оказывается, не все бесконечные суммы подчиняются законам, которые верны для конечных сумм. Поэтому возникает необходимость построения строгой теории бесконечных сумм (рядов).

Рассмотрим последовательность действительных чисел:

u1, u2 ,u3 , …, un, …, где u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, un - функция натурального аргумента.

1о Выражение (1) называется числовым рядом.

Числа u1, u2, …, un, … называются членами ряда, а un=f(n) - общим или n-м членом ряда.

Образуем последовательность S1=u1, S2=u1+u2, S3=u1+u2+u3, Sn=u1+u2+…+un, …, или, короче, последовательность {Sn}, где

2о Числа S1, S2, …, Sn, ………. (2)

называются частичными суммами ряда (1)

Возможны три случая:

1. $ конечный в этом случае ряд (1) называется сходящимся, число S называется его суммой.

2. ряд (1) - собственно расходящийся.

3.
Не существует конечного и Sn?Ґ (не стремиться к бесконечности); ряд (1) – расходящийся (колеблющийся).

П1. Найти сумму ряда (3)

Решение. С учётом тождества найдём

; отсюда , т.е. ряд сходится и его сумма S=1

Примечание. Для сходящегося ряда с суммой S пишут , так что в данном примере
П2. Исследовать сходимость геометрического ряда (прогрессии) , (4)

где . Известно, что

а) пусть ; тогда при , следовательно

б) ; при этом , , ряд расходится

в) q=1, ряд (4) принимает вид: , тогда , , ряд расходится

г) , ряд (4) принимает вид:

Ясно, что Sn не имеет предела при , ряд расходится.

Итак, геометрический ряд (4) сходится при и сумма его при этом ; при ряд расходится.
3о. Ряд, полученный из данного отбрасыванием его первых n членов, называется n-м остатком ряда.

Пусть ряд (1) сходящийся.

Тогда остаток ряда , (*) и можно сформулировать определение сходимости ряда:

4о. Сходимость
СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то и ряд также сходится и имеет сумму cS.

2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S1 иS2, то и ряд также сходится, и его сумма равна S1+S2.

3. В результате отбрасывания конечного числа начальных членов сходящегося ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов сходимость ряда не нарушается.

Д. Пусть , , где - k слагаемых

По свойству 2. .
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ.

ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД

Т. Если ряд сходится, то

Д. Имеем . По условию ряд сходится, т.е. , и .

Тогда

Итак, (5) - необходимое условие сходимости ряда, т.е. при невыполнении этого условия ряд расходится.

П3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , , условие (5) не выполнено, ряд расходится.

П4. Исследовать сходимость гармонического ряда



Решение Имеем , , необходимое условие выполнено. Покажем, что тем не менее ряд расходится.

Имеем

, или

;

Поскольку , , …, и складывая неравенства одинакового смысла, получим , или ; если допустить, что ряд сходится, то имеем , , , - противоречие, показывающее, что допущение о сходимости ряда оказалось неверным.

Этот пример показывает, что условие (5) является только необходимым, но не достаточным для сходимости ряда.
РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Рассмотрим ряд ,
Т1. Сходимость ограниченность сверху {Sn}.

Д. Пусть ряд сходится, т.е. , что означает: (" >0) ($n0( )ОN) [n>n0( ) ЮкSn-Sп< ]. Но кSn-S к< можно записать S- n Ю{Sn} ограничена сверху. С другой стороны, {Sn} - монотонная неубывающая последовательность, т.к. .

Поэтому, если {Sn} ограничена сверху, то по теореме о существовании предела монотонной ограниченной переменной , т.е. ряд сходится.

Т2. Пусть даны два ряда: (I) и (II), . Если хотя бы начиная с некоторого n:

а) и ряд (II) сходятся, то и ряд (I) также сходится.

б) и ряд (II) расходятся, то и ряд (I) также расходится.

Д. а) Обозначим и .

По условию ряд (II) сходятся, а это по предыдущей теореме Т1 равносильно ограниченности сверху {dn}. Но ввиду ясно что , т.е. {Sn} ограничена сверху, тогда по теореме Т1 ряд (I) сходится.

б) Расходимость ряда (II) означает неограниченность сверху {dn}; ввиду ясно, что , т.е. {Sn} неограниченна сверху Ю ряд (I) расходится.

П5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , ряд - сходящийся геометрический ряд . Ряд сходится по п. а) теоремы Т2.

П6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , ряд

представляет собой гармонический (расходящийся) ряд с отброшенным первым членом 1. Ряд расходится по п. б) теоремы Т2.

Примечание. Если и - расходящийся, то вопрос о сходимости остаётся открытым. Опираясь на теорему Т2, можно легко доказать следующую теорему.

Т3. Если $ конечный , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

П7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем . Возьмём для сравнения ряд , т.е. и найдем .

Поскольку - расходящийся, то и - расходящийся.

П8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем .

Заметим, что при n®Ґ (n3+1) "ведёт себя примерно так же, как n3", то есть роль 1 не существенна по сравнению с n3. Отсюда следует, что бесконечно малая .

Далее, бесконечно малая общий член сходящегося ряда (3) (см. п. 1.1).
Теперь найдём =



Поскольку $ конечный и сходится, то также сходится по теореме Т3.

На практике часто используется признак Даламбера.

Т4. (признак Даламбера в предельной форме). Если $ , то ряд :

а) сходятся при С<1

б) расходятся при С>1

в) при С=1 вопрос о сходимости остаётся открытым.

П9. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Имеем , , ряд расходится.

П10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем ,



, ряд сходится.

Во многих случаях (например, когда с помощью признака Даламбера невозможно установить сходимость или расходимость ряда) используется интегральный признак Коши.
Т5. (интегральный признак Коши).

Пусть f(x) - положительная, невозрастающая и непрерывная функция на [1;+Ґ). Тогда ряд , где un=f(n),будет сходящимся, если сходится , в противном случае - расходится.
Д. Построим на [1, n+1] график функции y= f(x) и на этом графике отметим точки (1, u1), (2, u2), …, (n+1, un+1),т.е. точки (k, f(k)), uk=f(k), k=1, 2, , n.

(рис. 12)
M0 ( x0 y0 )

у


M0 ( x0 y


U1 U2 U3 U4
U5 Un Un+1
0 1 2 3 4 5 n n+1 х

Рис. 12
Тогда представляется как сумма площадей "выходящих" прямоугольников, совокупность которых содержит в себе криволинейную трапецию, ограниченную графиком y=f(x) и прямыми y=0, x=1, x=n+1, поэтому

Далее, эта трапеция содержит в себе "входящие" прямоугольники, сумма площадей которых равна , следовательно, . Итак, .

Пусть сходится и равен J. Тогда (в силу положительности f(x)),отсюда , т.е. частичные суммы ряда ограничены сверху и по теореме Т1 ряд сходится.

Пусть теперь расходится т.е. при n®Ґ и подавно , т.е. ряд расходится. Теорема доказана.

Теорема останется в силе, если заменить где m - любое натуральное.

П11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем . Функция удовлетворяет условиям теоремы на [1, +Ґ);

При a=1 имеем - гармонический (расходящийся) ряд. Итак, ряд сходится при a>1 и расходится при .
РЯДЫ С ЧЛЕНАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗНАКА

Знакочередующиеся ряды.
5о. Ряд (6) или , где un>0, называется знакочередующимся.
Т1. (признак Лейбница) Если и , то ряд (6) сходится, а его сумма .

Д. .

Т.к. по условию каждая величина в скобках положительна, то , т.е. {S2n} - возрастающая последовательность. С другой стороны, ;

Итак, {S2n} монотонно возрастает и ограниченна сверху Ю$

Далее, ,

Пределы частичных сумм четного и нечётного порядков совпадают, т.е. ряд сходится и его сумма равна S, причём (7)

Из (7) Ю модуль остатка , (71)

Причем знак остатка совпадает со знаком первого из членов, не вошедших в S­­. Другими словами погрешность приближения не превышает по модулю величины un+1.
П12. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем и , так что условие теоремы Т1 выполнены, ряд сходится.
П13. Исследовать сходимость ряда



Решение. при n®Ґ! Расходимость объясняется тем, что нарушено условие монотонности убывания членов.
П14. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , т.е. Нарушено условие (5) - необходимое условие сходимости, поэтому ряд расходится.
П15. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

Решение. Ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому .

Для достижения заданной точности достаточно, чтобы выполнялось , или . Это неравенство выполняется, начиная с n=3.

Итак,

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

6о. Ряд (8) называется знакопеременным, если любой член un может быть как положительным так и отрицательным.

Т2. (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд (9) сходится, то сходится и ряд (8).

Д. Обозначим и суммы модулей членов ряда (8), входящих в него со знаком "+" и "-" соответственно. Тогда частичная сумма данного ряда , а ряда, составленного из модулей его членов, . По условию ряд (9) сходится, следовательно, $ конечный . Последовательности возрастающие, следовательно, , и , т.е. ряд (8) сходится.

Примечание. Из сходимости ряда (8) не следует сходимость ряда (9). Например, ряд - расходящийся (гармонический), в то время как сходящийся по теореме Т1.
7о. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (при этом ряд сходится по теореме Т2).
8о. Ряд (8) называется условно сходящимся, если ряд (8) сходится, а ряд (9) расходится.
П16. Ряд - условно сходящийся, т.к. этот ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд - расходится.
П17. Ряд - абсолютно сходящийся, т.к. сходится (см. П9), и по теоремеТ2 настоящего пункта ряд также сходится.

Примечание. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды во многом напоминают конечные суммы: их можно почленно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. (*)
П18. - условно сходящийся ряд.

Переставим члены:



Итак, получили , что подтверждает (*).
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД И ОБЛАСТЬ ЕГО СХОДИМОСТИ

Рассмотрим последовательность функций f1(x), f2(x), …, fn(x), …, заданных на множестве .
9о. Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (10)

Называется функциональном рядом.

При фиксированном x=x0 ряд (10) обращается в числовой ряд f1(x0)+ f2(x0)+…+fn(x0)+…, который может быть сходящимся или расходящимся. При этом точка x0 называется соответственно точкой сходимости или точкой расходимости ряда (10).
10о. Множество точек сходимости ряда (10) называется областью сходимости ряда (10).

Составим последовательность

. (11)
11о. Суммой ряда (10) называется , S(x) - сумма ряда, Sn(x) - частичные суммы ряда (10).
П19. Найти область сходимости ряда

Решение. Ряд представляет собой геометрическую прогрессию, или геометрический ряд, сходящийся при , следовательно, (-1, 1) - область сходимости ряда. При этом сумма ряда .

П20. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применим к ряду признак Даламбера. Имеем ,

; если , то , отсюда

, поэтому ряд абсолютно сходится; если , то

и ряд снова абсолютно сходится. В точках ряд имеет вид и расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю. Итак область сходимости есть .

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

СТЕПЕННОЙ РЯД И ОБЛАСТЬ ЕГО СХОДИМОСТИ

12о. Ряд (12) называется степенным.

Степенной ряд общего вида.

(13) подстановкой приводится к виду (12).

Структура (строение) области сходимости ряда (12) выясняется с помощью теоремы Абеля:
Т1. (теорема Абеля) Если ряд (12) сходится при , то он абсолютно сходится в каждой точке x, такой, что .

Д. По условию ряд сходится Ю выполняется условие (5), т.е. Ю ограниченность ,т.е. .

Пусть . Тогда - общий член сходящегося геометрического ряда, т.к. (по условию).

По теореме Т2 п. 1.4. (признак сравнения) ряд сходится, т.е. ряд (12) сходится абсолютно.

Следствие. Если ряд(12) расходится в точке x1, то он расходится в любой точке x, такой,

Д. Если допустить противное, т.е. сходимость ряда в точке x, то ввиду по доказанному ряд сходился бы в точке x1 (вопреки условию).

В тех случаях, когда ряд(12) имеет отличные от нуля точки сходимости и точки расходимости (существуют также ряды сходящиеся "x и ряды, расходящиеся "x№0) $ R>0, такое, что при ряд абсолютно сходится, а при расходится. При этом число R называется радиусом сходимости ряда (12), а интервал (-R, R) - интервалом его сходимости.

В точках x=-R и x=R ряд может сходится, а может и расходится, так что интервал сходимости и область сходимости, вообще говоря, не одно и то же.

Докажем теорему, позволяющую в большинстве случаев находить R.

Т2. Пусть $ конечный или бесконечный ; тогда

Д. 1) 0Т4 п. 1.4.) к ряду , получим:

;

тогда: а) с<1, т.е. , ряд (12) абсолютно сходится;

б) с>1, , , ряд расходится.

2) e=0, c=0<1,ряд сходится "x, R=Ґ

e=Ґ, c=Ґ, ряд абсолютно не сходится ни при каком x№0, R=0.

Из Т2 следует, что (14)
П21. Найти область сходимости ряда .

Решение. Имеем ; по формуле (14)

,(-10, 10) - интервал сходимости.

2. Исследуем поведения ряда на концах интервала:

а) при x=-10 получаем числовой ряд

, который сходится по теореме Т1 п. 1.4.

б) при x=10 получаем расходящийся гармонический ряд .

Итак, [-10, 10) - область сходимости.

Примечание. Из формулы (14) следует, что она приемлема только к тем рядам, которые содержат все степени x, как чётные, так и нечётные.

П22 Найти область сходимости ряда .

Решение. 1. Формула (14) неприемлема, т.к. ряд не содержит нечётных степеней x.

Для отыскания радиуса сходимости применим непосредственно признак Даламбера. Имеем



Следовательно, ряд сходится, если , т.е. x2<2 и расходится, если .

Условие ,т.е. , - интервал сходимости.

2. Выясним сходимость в точках .

При получаем ряд , для которого , т.е. нарушено условие (5), ряд расходится.

Итак, область сходимости совпадает в данном случае с интервалом сходимости .

П23. Найти область сходимости ряда .

Решение. 1. Данный ряд есть ряд общего вида, т.е. вида (13). Подстановкой x-2=t приведём его к виду (*)

2. Найдем R. Имеем . По формуле (14) , (-2, 2) - интервал сходимости ряда (*).

3. При t=-2 получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При t=2 получаем ряд - расходящийся (гармонический).

Итак, ряд (*) сходится в полуинтервале [- 2,2), т.е. при . Но t=x-2, поэтому , или - область сходимости исходного ряда.
ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

СТЕПЕННОГО РЯДА

Пусть в интервале (-R,R) ряд (12), сходится и функция f(x) является его суммой, т.е.



В математическом анализе доказывается, что справедлива следующая теорема.
Т1. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать в интервале его сходимости, причём проинтегрированный и продифференцированный ряды имеют тот же радиус сходимости R, что и радиус сходимости R исходного ряда, т.е.

(15)

и (16)

ясно ,что (15) и (16) верны "[a,b]М(-R,R).

П24. Найти область сходимости ряда

и его сумму f(x) в интервале сходимости.

Решение. В предположении о существовании интервала сходимости рассмотрим ряд



Начиная со второго члена, этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=-x2. Следовательно, ряд сходится при , т.е. при , и радиус сходимости R=1. На концах интервала сходимости, т.е. при исходный ряд имеет вид и сходится по признаку Лейбница. Итак, его область сходимости есть [-1,1]. Тогда в интервале (-1,1)

. Интегрируя полученную по отрезку [0,x]М(-1,1), получим


РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Пусть в интервале (x0-R,x0+R) f(x) является суммой степенного ряда вида (14), т.е.

(17)

(функция f(x) разложена в степенной ряд в окрестности точки x0 по степеням (x-x0)).

Найдём коэффициенты этого ряда.

Последовательно дифференцируя тождество (17), получим:

,





Полагая в этих тождествах x=x0, получим

, , , , …, , …;

отсюда

(18)

Итак, если f(x) разлагается в ряд (17), то

(19)

Ряд в правой части (19) называется рядом Тейлора функции f(x). В частности, при x0=0 получим:

(20) –

ряд Маклорена функции f(x).

Оказывается, что не все функции могут быть разложены в ряд Тейлора. Может случиться, что ряд Тейлора, составленный формально для функции f(x), т.е. ряд , стоящий справа в (19), будет расходящимся или сходящимся не к функции f(x).

Так же как и для числовых рядов, сумму f(x) ряда Тейлора можно представить в виде

, (см. (*) п. 1.1.) где Sn(x) - n-я частичная сумма, - n-й остаток ряда. Тогда на основании 4о п. 1.1. получаем:

(21) - необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции f(x) именно к f(x).

Примечание 1. Разложение f(x) в ряд Тейлора (если оно возможно) является единственным.

Примечание 2. При выполнении (21) остаток ряда Тейлора совпадает с остаточным членом Rn(x) формулы Тейлора.

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора некоторых функций.

f(x)=ex; имеем

.

Пользуясь (20), запишем ряд Маклорена для f(x)=ex:

Найдём радиус сходимости с помощью формулы (14):

, ряд сходится "x, т.е. на всей числовой оси.

Используя остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа, можно доказать, что , поэтому (22)

f(x)=sin x; имеем ;

.

Ясно, что

По формуле (20) (в предположении о выполнимости (21)) имеем:

(23)

Область сходимость ряда (-Ґ, +Ґ).
f(x)=cos x; Применяя формулу (16) почленного дифференцирования ряда, с учётом (23) получим:

(24)

f(x)=ln(1+x); Для этой функции используем другой подход. Рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем q=-x, который сходится при . Интегрируя последнее равенство в интервале (0; x), получим:

, или

, (25) n=0,1,2,…

Область сходимости ряда есть (-1; 1].
f(x)=arctg x; Используем тот же подход что и для f(x)=ln(1+x). Имеем

Этот ряд сходится при , т.е. при . Следовательно, , или

(26)

Область сходимости этого ряда есть [-1, 1]

Приведём без подробностей так называемый биноминальный ряд:

(27)

где a- любое действительное число, a№0.

Область сходимости зависит от a. Можно доказать, что область сходимости

С помощью приведённых здесь разложений функций ex, sin x, cos x, ln(1+n), arctg x и (1+x)a в степенные ряды можно разлагать в степенные ряды многие функции, не прибегая к формулам (19) или (20). Рассмотрим примеры.
П25. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=sin2x

Решение. Имеем ; (*)

Воспользуемся разложением (24):

Полагая в этом разложении t=2x, получим:



После подстановки полученного выражения для cos2x в (*), будем иметь:

, область сходимости - (-Ґ,+Ґ)

П26. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=xln(1+x2).

Решение. Согласно (25) имеем

Полагая в этом разложении t=x2, получим:

,

где n=0,1,2,…
ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

П27. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001 значение

Решение. Имеем . Воспользуемся разложением (22) при :



Взяв выписанные шесть членов разложения, согласно (7 /) п. 1.5. мы допускаем погрешность , не превышающую первого отброшенного члена, т.е. . Итак,.



П28. Вычислить с точностью до 0,0001 значение

Решение. Имеем ;

Воспользуемся разложением (27) при , получим:



(взято 4 члена, т.к. по (7 /) п. 1.5. ).
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

П29. Вычислить с точностью до 0,0001 интеграл .

Решение. Соответствующий неопределённый интеграл - "не берущийся", т.е. не может быть выражен в конечном виде через элементарные функции.

Пользуясь разложением (23), получим: … отсюда, интегрируя почленно, получим:

.

При этом погрешность .

Правильные ответы к тренинг-тестам



Правильные ответы находятся в пунктах а)

Тесты см. стр. 7.



СОДЕРЖАНИЕ
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ 3

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА 3

ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ 3

ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА 3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 4

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 5

ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ 7

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ 10

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ 13

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ 13

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 34

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 37

ДИФФРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 42

РЯДЫ 50

ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ К ТРЕНИНГ-ТЕСТАМ 71



Иштирякова Дамира Курбановна

МАТЕМАТИКА
Часть 4
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Дифференциальные уравнения. Ряды

Учебное пособие

Технический редактор: Р.Р. Ахтямова

Подписано в печать 18.04.06. Формат 60х84 1/16.

Бумага газетная. Гарнитура «Таймс».

Усл. печ. л. 4,07. Уч.-изд. л. 4,75. Тираж 100 экз.

Цена свободная. Заказ № 48.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов

на ризографе в издательском отделе

Уфимской государственной академии экономики и сервиса

450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (3472) 78-69-85.

1   2   3   4   5

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org