Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона



Скачать 202.08 Kb.
страница1/3
Дата08.11.2012
Размер202.08 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона.
Подлинная жизнь длится до тех пор, пока есть потребность в познании [1]. Состояние интеллектуального здоровья цивилизации отражает уровень математики: возникают ли у математиков новые проблемы, решают ли они давно стоящие проблемы. Сто лет назад 6-12 августа 1900 года в Париже состоялся второй Международный математический Конгресс. В нем участвовало 226 математиков, в том числе 10 человек из России, в частности от Харьковского университета – Н.А. Тихомандрицкий. Д.М. Синцов (1867-1946), много лет заведовавший кафедрой геометрии Харьковского университета, также участвовал в работе Конгресса. В то время он работал в Екатеринославском (Днепропетровск) высшем горном училище. На этом Конгрессе с докладом выступил 38-летний немецкий математик Д. Гильберт, который в то время с А. Пуанкаре делил славу одного из первых математиков мира. В своем докладе Д. Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые во многом определили развитие математики XX века. О проблемах Гильберта можно прочитать на уровне, доступном школьнику [2]. Замечу, что 19-я проблема Гильберта была решена в 1903 году выдающимся математиком, профессором Харьковского университета С. Н. Бернштейном (1880-1968). Окончательное решение 4-й проблемы Гильберта дано А. В. Погореловым. Кроме того, из советских математиков в решении проблем Гильберта принимали участие: 7-й проблемы – А.О Гельфонд, 16-й проблемы – И.Г. Петровский, О.А. Олейник, Д.А. Гудков.

Свой доклад Д. Гильберт начал следующими словами: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшее столетие? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли»? И далее: «Один старый французский математик сказал: математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному» [3][4].

Но были проблемы, стоявшие перед математиками и ранее, в частности, проблема Ферма [4].

Уже в древности грекам было известно, что треугольник со сторонами 3,4,5 – прямоугольный. То есть эти целые числа удовлетворяют уравнению , где и – длины катетов, а – длина гипотенузы. Легко выписать все целочисленные решения этого уравнения [5].

В 1637 году П. Ферма изучал книгу Диофанта «Арифметика» и сделал на полях книги замечание, что уравнение gif" name="object5" align=absmiddle width=75 height=20>, где – натуральное число больше двух, не допускает решение в целых числах. Дальше он писал, что найденное им остроумное доказательство теоремы слишком длинное, чтобы его можно было поместить на полях книги, с которой он работал. Попытки ее доказать положили начало многим исследованиям в теории чисел.

В 1908 г. Пауль Вольфскель, немецкий промышленник, в своем завещании установил премию за решение проблемы Ферма. Это была премия в 100 тысяч марок (более 1000000 фунтов стерлингов в современных масштабах). Эту премию съела инфляция после первой мировой войны. А установлена она была при любопытных обстоятельствах. Вольфскель увлекся красивой женщиной, но был отвергнут ею. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову ровно в полночь. Он написал завещание, привел все дела в порядок и у него еще оставалось время. Вольфскель отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Ему попалась на глаза работа Куммера, связанная с проблемой Ферма. Он нашел в ней пробел. Если пробел был бы невосполнимым, то имелся бы шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать проще, чем полагали многие. Он начал пытаться восполнить пробел в доказательстве и ему это удалось, и проблема Ферма снова осталась нерешенной. Но время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнста Куммера, что его печаль и отчаяние развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни. Он разорвал свои прощальные письма, переписал завещание, и написал новое, в котором значительную часть своего состояния завещал в качестве премии тому, кто сумеет решить проблему Ферма [6].

И вот в 1994 году Эндрю Уайлс наконец доказал теорему Ферма. Он писал [6]: «Те, кто занимается чистой математикой любят вызов. Они в восторге от нерешенных проблем. Когда Вы занимаетесь математикой, Вами овладевает великое чувство. Вы начинаете с проблемы, которая представляет для Вас полную загадку. Вы ее не можете понять – настолько она сложна. Вы не имеете малейшего понятия о том, как к ней подступиться. Но вот, наконец, Вам удается решить ее, и Вас охватывает непередаваемое ощущение ее красоты, изящества и соразмерности детали и целого».

Но всегда необходимо находить новые проблемы. Математик Э.Ч. Титчмарш писал: «От того, что мы знаем, что некоторое число иррационально, нет никакой практической пользы, но если мы можем знать нечто, то не знать этого становится невыносимо».

В связи с наступлением нового столетия В. Арнольд по поручению Международ-ного математического союза обратился к ряду ведущих математиков с предложением сформулировать проблемы для следующего столетия. На это откликнулся американский математик С. Смейл, который опубликовал свой список из 18 проблем [7]. Под эгидой Международного математического союза в 1999 году вышла книга “Mathematics: Frontiers and Perspectives” под редакцией В. Арнольда, М. Атьи и др. Эта книга является сборником статей ведущих математиков мира, в котором обсуждаются проблемы математики следующего столетия и тысячелетия.

Глобальное обсуждение математических проблем для нового тысячелетия состоялось 24 мая 2000 года в Коллеж де Франс. Было выделено 7 таких проблем. Математический институт Клея, который был основан в 1997 г. на пожертвования супружеской четы Клеев, (Кембридж, Массачусетс (СМI), США) объявил, что за решение каждой из них будет присуждена премия в 1 млн. долларов (см. в Интернет www/claymath.org/prize_problems/statement.html). Это гипотезы Римана, Пуанкаре и др.

В 2002 году Гриша Перельман – математик из Санкт-Петербурга поместил на сайте www. arxiv.org препринт, где он анонсировал решение гипотезы Пуанкаре и более общей геометрической гипотезы Терстона. В 2003 году он вывесил еще 2 препринта, в которых он завершает доказательство гипотезы Терстона и Пуанкаре. Когда Г. Перельман докладывал весной 2003 года свои результаты в Нью-Йорке, то известие о решении гипотезы Пуанкаре напечатали главные газеты Америки [8].

Математическое сообщество проверяет верность этих доказательств и, наверное, окончательный вердикт будет на Международном Конгрессе математиков, который состоится в августе 2006 года в Мадриде. Но уже и сейчас все математики сходятся во мнении, что сделан существенный прорыв. Я убежден, что доказательство верно, но возможны некоторые неточности, которые устранимы. Хотя в истории математики был и такой прецедент. В 1879 году Кемпе дал доказательство задачи о четырех красках [4]. Одиннадцать лет оно считалось верным, пока Хивуд в 1890 году не нашел ошибки. А окончательно эта проблема была решена лишь в 1976 году.

Теперь я постараюсь изложить, в чем же состоит гипотеза Пуанкаре, которую выдающийся французский математик сформулировал в окончательном виде в 1904 году [9].

Двумерные многообразия.
Пусть и – два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение , которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и

1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в

различные;

2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие;

3) обратное отображение непрерывно,

то множества и – гомеоморфны, а отображение называется гомеоморфизмом.

Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1),





Рис. 1


поверхность куба – сфере (рис. 2).



Рис.2

Но интервал и окружность не гомеоморфны между собой, тор и сфера также не гомеоморфны между собой (рис. 3)






Рис. 3


Двумерной поверхностью (или двумерным многообразием) называется такое множество точек, что в каждой точке есть окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Сфера, плоскость, тор, бесконечный круговой цилиндр, сфера с выколотыми двумя точками является поверхностями. Если возьмем внутренность узкого прямоугольника и отождествим точки следующим образом, а именно (рис. 4)



Рис.4
склеим точку с точкой , а точку ­­– с , то из внутренности прямоугольника получим одностороннюю (неориентируемую) поверхность, которая называется листом Мебиуса (рис. 5).



Рис.5

У листа Мебиуса границей является окружность.

Поверхность называется компактной, если из любого покрытия окрестностями, гомеоморфными кругу, можно выбрать конечное покрытие. В противном случае поверхность некомпактна. Плоскость, бесконечный цилиндр, сфера с двумя выколотыми точками – некомпактные поверхности; сфера, тор – компактные поверхности. Естественно задать вопрос: как много компактных поверхностей с точностью до гомеоморфизма? То есть две гомеоморфные поверхности мы считаем эквивалентными и не отличаем одну от другой. Это аналогично тому, что в элементарной геометрии мы не отличаем два равных треугольника. Просто сейчас мы используем другое отношение эквивалентности. Вопрос топологической классификации компактных двумерных поверхностей был решен в конце XIX столетия.

Любая компактная двумерная поверхность гомеоморфна либо сфере с p ручками, либо сфере с q листами Мебиуса, причем сферы с ручками не гомеоморфны сферам с листами Мебиуса, так как второй ряд поверхностей образуют неориентируемые поверхности. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса также негомеоморфны между собой.

Сейчас я опишу эти поверхности. Возьмем двумерную сферу и сделаем в ней дырку, вырезав из нее круг (рис. 6),




Рис.6

сделаем также дырку в поверхности тора. Мы получили поверхность, границей которой является окружность и она называется ручкой (рис. 7)



Рис.7

Границей сферы с дыркой, также как и ручки, является окружность. Склеим сферу с дыркой и ручку по граничным окружностям. Мы получим компактную двумерную поверхность – сферу с одной ручкой (тор). Но если мы на сфере вырежем непересекающихся дырок и к ним приклеим ручки, то получим сферу с ручками (рис.8).



Рис.8

При – это крендель (рис.9) ,



Рис.9

– крендель с тремя дырками. Но окружность является границей также для листа Мебиуса. Поэтому мы можем взять сферу с непересекающимися дырками и к ним приклеивать листы Мебиуса. Мы получим сферу с листами Мебиуса. Если мы к одним дыркам будем приклеивать листы Мебиуса, а к другим – ручки, то это эквивалентно только приклеиваниям листов Мебиуса. При мы получаем проективную плоскость, при - бутылку Клейна (рис. 10).



Рис.10

Заметим, что сферы с -листами Мебиуса нельзя поместить без самопересечений в трехмерном евклидовом пространстве в силу их неориентируемости.
  1   2   3

Похожие:

Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconСущность гипотезы сепира-уорфа гипотеза лингвистической относительности
Гипотеза лингвистической относительности (известная также как «гипотеза Сепира – Уорфа»), тезис, согласно которому существующие в...
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона icon© Ishevskaya 2006 Гипотеза
Гипотеза: мы считаем, что совершенство формы пирамиды обусловлено математическими законами, заложенными в ее форму
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconГипотеза (от греческого hypothesis основа, предположение)
В широком смысле гипотеза стратегия, принятая для того, чтобы решать некоторую проблему
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconОдна из фундаментальных проблем
Одной из интересных научных гипотез в этой области, в процессе осмысления которой возникла отечественная гипотеза о происхождении...
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconПостановка проблемы
При анализе свойств исследуемого объекта требуется сделать выбор. Какая из двух альтернатив (гипотеза H0 либо гипотеза H1) в большей...
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconПостановка проблемы
При анализе свойств исследуемого объекта требуется сделать выбор. Какая из двух альтернатив (гипотеза H0 либо гипотеза H1) в большей...
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconИз книги А. Поис: «Наш Мир и Мы» Гипотеза 5-1
Гипотеза 5-1: При любом взаимодействии на взаимодействующих сторонах остаются следы изменения (деформация, модуляция), которые являются...
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconЭнуклеированная яйцеклетка клетка, у которой отсутсвует ядро
Гипотеза симбиогенеза – гипотеза о происхождении прокариот и эукариот, согласно ей, одни прокариоты преобазовались внутри клетки...
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconЛекция Джона Дербишира «Гипотеза Римана: самая знаменитая из нерешенных проблем в математике»
Сама гипотеза построена вокруг некого математического объекта, дзета-функции, которая в свою очередь связана «простыми числами»,...
Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона iconA. M. Райгородский 1 год, 1-2 курс 1 семестр. Геометрические и аналитические методы. Введение. Основные задачи комбинаторной геометрии: проблема (гипотеза) Борсука, проблема Хадвигера-Гохберга-Маркуса-Болтянского
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org