Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре



Скачать 158.91 Kb.
Дата08.11.2012
Размер158.91 Kb.
ТипОбзор

В.С.Ярош



СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДИОФАНТА-ФЕРМА, ПИФАГОРА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ ИМЕЕТ ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ РЕШЕНИЯ,

СОПРЯГАЕМЫЕ СО ВТОРИЧНЫМИ ПРИВЕДЕННЫМИ ФОРМАМИ ПУАНКАРЕ .

УДК 511, ББК 22.13, Р 49 .УДК 521.1

В в е д е н и е


Обзор посвящён анализу нецелесообразности привлечения свойств модулярных форм к доказательству ПТФ , а также возможности прямого (не «от противного») доказательства ПТФ. Прямое доказательство было опубликовано в нашей стране в 1993 году. Это доказательство заканчивается вычисляемыми формами, которые сопряжены со вторичными приведенными формами теории чисел

Анри Пуанкаре. Целесообразность предлагаемого читателям

анализа диктуется определёнными сомнениями видных зарубежных математиков в адекватности доказательства А.Уайлса, [1], той задаче, которую сформулировал П.Ферма, [2].

В книге [3] такие сомнения описаны следующими словами:
«Некоторые математики не удовлетворены методом доказательства, использующим эллиптические кривые и модулярные формы, которые рассматриваются (вероятно, несправедливо? или справедливо? ) как чуждые этой проблеме. Вполне разумна задача попытаться найти другое, более простое доказательство ПТФ.»
Целесообразность поиска более простого решения ПТФ

высказывает и автор [2] :
«…даже один только частный случай n=7 в течение многих лет не поддавался усилиям лучших европейских математиков. Конечно, вполне возможно, что они подходили к проблеме ложными путями и что существует какая-то простая идея - возможно открытая Ферма,- применимая во всех случаях.»

Автор обзора нашёл такое решение ПТФ, которое использует уравнение эллиптической кривой без привлечения модулярных форм. Базисом решения служит бесконечный ряд натуральных чисел и легко вычисляемые примитивные тройки Пифагора, [2], [3], [4]. Более того, обнаружено, что простое доказательство ПТФ содержится во вторичных приведенных формах теории чисел Анри Пуанкаре,[5], [6], [7]. Связующим звеном между предлагаемым решением ПТФ и

вторичными приведенными формами теории чисел Анри Пуанкаре служат вычисляемые формулы для корней уравнения Диофанта-Ферма, сконструированные из примитивных троек Пифагора, [8], [9], [10], [11].

Предлагаемое решение проблемы Ферма – это альтернатива доказательству А.Уайлса, в котором используются модулярные формы. Это - недостаток доказательств А.Уайлса, ибо в нём используются сравнения чисел по модулю d, что, по определению авторов [4], есть

«нечто неразличимое».

Суть предлагаемого решения многоплановой проблемы теории чисел включает в себя интуитивное математическое конструирование, заканчивающееся аксиоматико-дедуктивными точно вычисляемыми формами.


Смысл интуитивного конструирования в математике описан в [4] следующими словами:

«Здесь не место входить в подробный философский или психологический анализ математики. Хочется отметить всё же некоторые моменты. Чрезмерное подчёркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские формулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям. Если целью и является чёткая дедуктивная форма, то движущая сила математики – это интуиция и конструкция.»

В качестве «чётких дедуктивных форм» в данном сообщении рассматриваются три уравнения:

Эти уравнения составляют систему, которая имеет бесконечное множество вычисляемых решений, как в целых числах, так и в нецелых числах. Анализ таких решений с помощью «Основной теоремы арифметики» приводит к выводу о том, что Последняя теорема П.Ферма справедлива, ибо, см. [2], действительно:

«Невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четвёртую степень – в виде суммы двух четвёртых степеней, или, вообще, любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней.»

В основу данного исследования положены свойства примитивных пифагоровых троек, ибо базисом этих целых чисел служит весь бесконечный ряд чисел натуральных. Ещё в 1913 году Невядомский , рассматривая многочлены от трёх переменных, получил формулы для упомянутых троек, строящихся из любых двоек v > u натуральных чисел, (см. [3], а также [2], [4] и формулы, приведенные ниже). Ферма, как известно, изучал свойства рациональных чисел, базисом которых служат числа натуральные. Он не пользовался сравнениями чисел по модулю. Модулярные формы были введены Гауссом значительно позже. Всё это свидетельствует о том, что теория чисел располагала и располагает возможностями прямого, а не «от противного», доказательства ПТФ без использования модулярных форм.

Более того, мною обнаружено, что прямое доказательство ПТФ

содержат вторичные приведенные формы теории чисел Анри Пуанкаре. С этим фактом читатель познакомится во второй части данного обзора.
Ч А С Т Ь П Е Р В А Я
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ КАК КРИТЕРИЙ ДОСТОВЕРНОСТИ ПОСЛЕДНЕЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЯРОША



Уравнение Диофанта-Ферма:

(1)

при n = 2 эквивалентно уравнению Пифагора:

(2)

и уравнению немодулярной эллиптической кривой:

(3) ,

если тройки чисел (a,b,c) :

(4)

суть примитивные тройки Пифагора, выраженные формулами Невядомского [3] в символах Куранта [4] :

(5)

и

(6)

любые натуральные числа различной чётности. При этом

(7) не делится на 16.

СЛЕДСТВИЕ № 1
Все числа, составляющие равенства:
(8)

всегда строятся только из взаимно простых чисел
СЛЕДСТВИЕ № 2
Согласно «Основной теореме арифметики» ,

доказанной Эвклидом, см. [4] :

«Каждое натуральное число N , большее единицы, может быть разложено на простые множители только одним способом» .

Числа и , см.(8), имеют бесконечное множество уникальных разложений на множители, удовлетворяя при этом правым частям уравнения моей эллиптической кривой, в тех случаях, когда упомянутые множители суть примитивные тройки Пифагора.

Равенство любых двух разложений

(9)

возможно только в том случае, если , или, по меньшей мере , не являются целыми числами.
СЛЕДСТВИЕ № 3
Уравнения Диофанта-Ферма :

(10)

где:

(11)

и любой общий множитель ,

СОГЛАСНО ОПРЕДЕЛЕНИЮ (9) И РАВЕНСТВАМ (4) И (8), УРАВНЕНИЯ (10) НЕ ИМЕЮТ РЕШЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ,
ибо согласно (8), нельзя выразить квадрат

произведением примитивных троек Пифагора в степени , не нарушая свойств системы уравнений (1) – (3).

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ПРИМЕР



Берём любую примитивную тройку Пифагора. Например:

(12)

Согласно определению (8) вычисляем целые числа:
(13)

(14)

Из (14) находим:
(15)
(16)


ОСОБЫЙ КОММЕНТАРИЙ

Число A , см.(15), есть простое число. Оно не делится на 16. Это означает, что рассматриваемая мною эллиптическая кривая не является кривой Фрея, т.е. не является полуустойчивой эллиптической кривой см.[3] на стр.385. Свойства моей эллиптической кривой свидетельствуют о том, что она не является модулярной. Следовательно, её свойства противоречат гипотезе Шимуры – Таниямы, см.[3] на стр.390, утверждающей:

«Каждая эллиптическая кривая модулярна».

Свойства моей эллиптической кривой – это ключ к непосредственному прямому (не от противного) выходу на простое доказательство Последней теоремы без использования модулярных форм.

Уайлс доказал справедливость гипотезы Шимуры – Таниямы для полуустойчивых эллиптических кривых, каковой является и кривая Фрея, выводящая её автора на возможность существования целочисленных решений Последней теормы Ферма при . Так как доказательство Уайлса велось от противного, то тем самым он и доказал невозможность решения уравнения Диофанта-Ферма в целых числах. Но доказательство Уайлса не заканчивается вычисляемыми формулами для решений уравнения Диофанта-Ферма, ибо он пользуется модулярными формами. Предлагаемое в этом обзоре решение проблемы Ферма не пользуется модулярными формами. Я заканчиваю свои доказательства формулами, позволяющими вычислять бесконечные множества нецелочисленных решений уравнения Диофанта-Ферма, подтверждая тем самым справедливость Последней теоремы. Мне удалось найти такое решение на основе фундаментальных свойств натуральных чисел различной чётности, которые формируют бесконечные множества примитивных троек Пифагора.
Продолжая изложение обзора, проверим сходимость

полученных выше результатов:
(17)
Сходимость результатов вычислений точная.
В результате мы приходим к нижеприведенному заключению:
Достаточно в соотношении (16) вместо целого числа

принять целое число или любое целое число ,

где ,

как система (1) – (3) и равенства (8) разрушаются.


ВЫВОД





Согласно «Основной теореме арифметики» ,

нашедшей своё отображение в определении (9),

уравнения (10) не могут иметь решений

в целых числах

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я



ВТОРИЧНЫЕ ПРИВЕДЕННЫЕ ФОРМЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ПУАНКАРЕ ТОЧНО РЕШАЮТ УРАВНЕНИЕ ФЕРМА ПРИ ВСЕХ


ПОКАЗАТЕЛЯХ СТЕПЕНИ .
В первой публикации [5] по теории чисел, во Введении, Пуанкаре отмечает следующее:

«Арифметическое исследование однородных форм, - это один из наиболее интересных вопросов теории чисел и один из тех вопросов, которые больше всего занимают геометров.» См. также [7] .
Это утверждение Пуанкаре является вполне осознанным, но ещё не сформулированным, Принципом всеобщей ковариантности. См. [12] .
Целью этого раздела обзора является подтверждение геометрической сущности одного специального раздела «Теории чисел» Пуанкаре, который содержит информацию о точном геометрическом доказательстве Последней теоремы Ферма.
С этой целью обратимся к публикации [6] Пуанкаре, переведенной на русский язык , см. [7] .Ниже я привожу цитату из [7] :
«Всё, о чём мы говорили до сих пор, применимо только к главным приведенным формам, так что по отношению к ним мы можем изложить следующие результаты:

  1. в каждом классе, вообще говоря, есть только одна главная приведенная форма;

  2. существует бесконечно много классов;

  3. главные приведенные формы делятся на три вида ;

  4. форм первого и второго вида конечное число;

  5. формы третьего вида разделяются на бесконечное множество родов, а каждый род содержит бесконечно много приведенных форм.

Займёмся теперь вторичными приведенными формами»



Из анализа этих форм мы выберем фрагмент, который имеет непосредственную связь с геометрическим доказательством Последней теоремы Ферма. См. [8], [9], [10].

Этот фрагмент Пуанкаре излагает следующим образом,

см. стр.889 в [7]:
«Так как три целых числа взаимно просты , то всегда существует ДЕВЯТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ , удовлетворяющих следующим условиям :
(18)
Дальше, вместо подстановок, которыми пользуется Пуанкаре, мы воспользуемся подстановками Фрея , см. [3] , которыми Фрей пользуется при исследовании свойств своей эллиптической кривой:
(19)
Так же, как и у Пуанкаре, здесь используются взаимно простые числа.

Дальше мы убедимся, что подставляя в уравнение (19) подстановки, аналогичные подстановкам Фрея, мы получаем одну из вторичных приведенных форм теории чисел Пуанкаре, количество которых в каждом роде форм Третьего вида бесконечно. Мы убедимся также и в том, что мои подстановки, см. (22), расширяющие подстановки Фрея,

приводят исследователя к геометрическому доказательству Последней теоремы Ферма (ПТФ), которое читатель найдёт в [8], [9], [10].
Фрей использует следующие подстановки:
(20) и
Так как уравнение Диофанта - Ферма :

(21)

содержит три члена, я формирую не две, а три аналогичных подстановки, заменяя в них простое число на любое целое число :

(22)

В результате уравнение (21) получает простейшие феноменологические формулы для вычисления

его ПРИМИТИВНЫХ РЕШЕНИЙ

при любом показателе степени :

(23)

Любые непримитивные решения уравнения Ферма вычисляются при этом простым умножением примитивных решений на общий множитель :

(24)

Дальнейшее расширение бесконечного множества вычисляемых решений уравнения Ферма осуществляется за счет любого подкоренного множителя, в том числе и за счёт специального множителя:

(25)

В этом случае мы получаем универсальные вычисляемые формы решений уравнения Диофанта - Ферма :

(26)

Построение вычисляемых решений уравнения Диофанта - Ферма

завершается интуитивным конструированием ПРИМИТИВНОЙ тройки взаимно простых чисел :

(27)


Здесь , как и в конструкции множителя используются примитивные тройки Пифагора :
(28)


строящиеся из любой пары v > u натуральных чисел различной чётности
Чтобы связать полученные нами вычисляемые решения уравнения Ферма с подстановками Пуанкаре , вспомним упомянутое выше замечание Пуанкаре о том, что арифметическая теория чисел имеет геометрическую интерпретацию .
Описанные выше формулы для вычисления корней уравнения (21) также имеют геометрическую интерпретацию. Эта интерпретация описана в [8], [9], [10] . Интерпретация базируется на построении ДЕВЯТИ троек прямоугольников - квадратов Диофанта . Каждые ТРИ тройки прямоугольников-квадратов образуют единое геометрическое многообразие, состоящее из трёх равновеликих по площади прямоугольников Диофанта.

Ниже я привожу иллюстрацию изложенного здесь алгоритма с помощью Рис.10 , позаимствованного из [8] и [9] :


Рис.10

На этом рисунке представлено построение ТРЁХ троек прямоугольников - квадратов Диофанта, которое завершаются построением трёх равновеликих по площади прямоугольников Диофанта. Площадь есть меньший инвариант Диофанта, определяющий меньший корень уравнения Ферма.

Аналогичным образом строятся средний и больший инварианты, которые определяют соответственно средний и больший корни уравнения Ферма:

(29)

Внизу, см.Рис.10, мы видим ТРИ равновеликих по площади прямоугольника Диофанта . Вверху, на КАТЕТАХ соответствующих прямоугольных треугольников , построены ТРИ тройки собственных

прямоугольников – квадратов Диофанта, среднеарифметические значения площадей которых эквивалентны ТРЁМ равновеликим площадям соответствующих прямоугольников Диофанта, изображённых в нижней части Рис.10 .

Результатом таких геометрических построений является построение трёх ГЛАВНЫХ алгебраических инвариантов, см.(29). Из Рис.10 следует построение ПЕРВОГО (меньшего) инварианта , в котором использованы обозначения сторон прямоугольников, изображённых в нижней части рисунка :
(30)

Точно таким же способом строится

ВТОРОЙ (средний) инвариант :
(31)

и ТРЕТИЙ (больший) инвариант :
(32)
В этих геометрических моделях основания прямоугольников Диофанта равны меньшим катетам соответствующих прямоугольных треугольников, площади которых не являются равновеликими, см. верх Рис.10 .
Инварианты (29) – (32) являются связующим звеном между формами Пуанкаре, см. (18) , и формами (22) – (27) , построенными по образу и подобию форм (20) Фрея .

Наконец, эти инварианты составляют основу формул (26) , с помощью которых вычисляются корни уравнения (21) .
Доказательство изложенного .
Согласно [8] и [9] в пространстве многообразий Диофанта можно построить ДЕВЯТЬ инвариантных алгебраических форм, численными значениями которых определяются ВЫСОТЫ прямоугольников

Диофанта, см. низ Рис.10:
(33)

(34)
(35)
При этом , основаниями прямоугольников Диофанта , см. низ Рис.10 , служат отрезки, длины которых соответственно равны :

(36)
(37)
(38)
Обратим внимание на то, что ГЛАВНЫЕ инварианты , см. (30) – (32) ,

построены из ДЕВЯТИ инвариантов (33) – (35) и из ДЕВЯТИ инвариантов (36) – (38).
Наконец мы подошли к финалу. Вся цепочка описанных выше подстановок замыкается на условиях подстановок Пуанкаре, см. (18) .
Первое условие :
(39)

в нашем случае расширяется до ТРЁХ соответствующих условий:
(40)
При этом, формулировка условий Пуанкаре , приведенная в начале текста этой статьи :

«Так как три целых числа взаимно просты, то всегда существует ДЕВЯТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, удовлетворяющих следующим условиям :
(41)
приобретает смысл, согласующийся с геометрическим доказательством Последней теоремы Ферма, см. [8], [9], [10] и Фиг.10 :
Так как три целых числа, составляющих любую тройку
(42)
примитивных чисел Пифагора, взаимно просты,

то всегда , при всех показателях степени ,

существуют ДЕВЯТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ :
(43)


(44)
(45)
удовлетворяющих ТРЁМ условиям (40) .
При этом три других условия Пуанкаре обращаются в нуль :
(46)
В результате уравнение (21) получает легко вычисляемые формулы , вычисление которых сводится к вычислению площадей прямоугольников Диофанта , т.е. к вычислению ГЛАВНЫХ инвариантов (29) – (32) .

В этом случае корни уравнения (21) вычисляются с помощью следующих формул :
(47)
(48)
Эти формулы, как было показано выше, имеют прямые и обратные связи с теорией чисел Анри Пуанкаре и с геометрическими многообразиями Диофанта и Пифагора.
Всё изложенное согласуется с Принципом геометрической ковариантности , пронизывающим все фундаментальные исследования двадцатого века , см. [12] , и с простыми геометрическими доказательствами Последней теоремы Ферма , которые не нуждаются в использовании свойств эллиптических кривых и модулярных форм . Если читатель ознакомится с сайтами

http://yvsevolod-26.narod.ru/index.html

http://int20730601.narod.ru/index.html

хранящимися в каталоге Narod русского Интернета, то он убедится в простой, но трудно доказуемой истине:

Гармония космического пространства, гармония жизни на Земле и в Мироздании отражены в великой гармонии натуральных чисел, так ёмко и многогранно описанной в теории чисел Анри Пуанкаре, в Последней теореме Ферма и в утверждении Л.Кронекера : «Бог создал натуральные числа, всё прочее – человек», [4].
О Б Щ Е Е З А К Л Ю Ч Е Н И Е



СООТНОШЕНИЯ (8) ЭКВИВАЛЕНТНЫ УТВЕРЖДЕНИЮ ФЕРМА О ТОМ, ЧТО НЕВОЗМОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ СУММЫ КУБОВ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И НЕВОЗМОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ СУММЫ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СТЕПЕНЕЙ ПРИ

Примечание: Корректность описанных здесь подстановок и преобразований, связавших одну из вторичных приведенных форм Пуанкаре с геометрическим доказательством ПТФ, можно проверить путём несложных вычислений на карманном калькуляторе, назначив любую пару ( v > u ) натуральных чисел различной чётности и вычислив с помощью формул (11) соответствующую примитивную тройку Пифагора с целью проверки соотношений (8) и формул (29)-(32),(47),(48)).

Б И Б Л И О Г Р А Ф И Я

. 1. «Wiles A. (1995).Modular elliptic curves and Fermat*s

Last Theorem. Annals of Mathematics 141:443.»

  1. Г.Эдвардс, Последняя теорема Ферма, пер.с англ.,М..Мир.(1980),с.14,23, 94.

  2. П.Рибенбойм, Последняя теорема Ферма,

пер.с англ.,М.,«Мир», 2003, с.291,384-385.

  1. Р.Курант и Г.Роббинс, Что такое математика ?, пер.с англ.,М.,Просвещение,(1967),с.21,24,47,59.

  2. H.Pouincare, Journal de l*Ecole politechnique,(1881),

Cahier 50, 150 – 253


  1. H.Poincare, Journal de l*Ecole politechnique, (1882),

Cachier 51, 45-91


  1. А.Пуанкаре, Избранные труды, т.2, М., «Наука»,(1972),

с.819,888-889

8. V.S.Yarosh, Denouement of the multicentury Enigma,

The Great Fermat theorem is finally proved for all n > 2,

M., «Engineer», 1993.

  1. В.С.Ярош, Финал многовековой загадки Диофанта и Ферма,

Великая теорема Ферма доказана окончательно для


всех n > 2 , М., «Инженер», 1993.

  1. Ярош В.С. ,Окончательное решение Великой или Последней

Теоремы Ферма, в сборнике научных трудов

«Алгоритмы и структуры систем обработки информации»

Тульского Государственного технического

университета (1993),с.68-79.

  1. Ярош В.С. , О некотором ошибочном утверждении в теории

чисел и о полноте окончательного решения

теоремы Ферма, в сборнике научных трудов

«Алгоритмы и структуры систем обработки информации»

Тульского Государственного Университета (1995), с.130-137.

  1. Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер, Гравитация, т.1,

пер. с англ.,М., «Мир», (1977), с.370








Похожие:

Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconПуанкаре Анри Интуиция и логика в математике
Источник сканирования: Пуанкаре А. О науке (под ред. Л. С. Понтрягина). — М., Наука, 1989. — «Ценность науки. Математические науки»...
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconВторичные приведенные формы теории чисел пуанкаре точно решают уравнение ферма при всех
Целью данной статьи является подтверждение геометрической сущности одного специального раздела «Теории чисел» Пуанкаре, который содержит...
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconЗанятие по математике в 8-9 кл. План: Вступительное слово учителя о математике. Сообщение «Российский математик Григорий Перельман, доказавший гипотезу Пуанкаре»
Российский ученый, доказавший гипотезу Пуанкаре – одну из фундаментальных задач математики «Всякое односвязное замкнутое трехмерное...
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconМарина Викторовна Афанасьева, учитель русского языка и литературы моу «сош №78»
Работа над вторичными текстами как необходимое условие подготовки школьников к государственной итоговой аттестации
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconЗадание группы №5
Познакомьтесь с приведенными ниже фактами. Подумайте, о чем они свидетельствуют
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconИ. В. Новожилов 1/2 года Разложение решений регулярно возмущенных систем. Теорема Пуанкаре. Секулярные члены. Задача
Разложение решений регулярно возмущенных систем. Теорема Пуанкаре. Секулярные члены
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconПрограммы наименование дисциплины
Основной целью освоения дисциплины «Методы прикладной статистики для социологов» является изучение ключевых принципов эффективной...
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconОбщие приемы запоминания
При подготовке к экзаменам рекомендуем пользоваться приведенными приемами, облегчающими запоминание
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconТехнические требования к рекламным макетам в издание Все рекламные материалы должны предоставляться в соответствии с ниже приведенными техническими требованиями
Или InDesign cs 1-3 c приложенными шрифтами и иллюстрациями
Сопрягаемые со вторичными приведенными формами пуанкаре iconТехнические требования к рекламным макетам в издание Все рекламные материалы должны предоставляться в соответствии с ниже приведенными техническими требованиями
Или InDesign cs 1-3 c приложенными шрифтами и иллюстрациями
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org