База фильтра. Примеры. Предел по базе. Финально ограниченные функции.
Колебание функции. Критерий Коши для предела по базе.
Разбиение отрезка. Интегральные суммы и их пределы.
Интеграл Римана. Критерий Коши для интегральных сумм. Необходимое условие интегрируемости.
Суммы Дарбу. Сравнение разбиений. Свойства сумм Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
Теорема Дарбу о представлении интегралов Дарбу в виде пределов.
Критерии Дарбу и Римана интегрируемости функции по Риману.
Интегрируемость по Риману монотонных и непрерывных функций. Интегрируемость при наличии одной особой точки.
Интегрируемость по Риману линейной комбинации, модуля, сужения, произведения. Интегрируемость функции на объединении двух смежных отрезков.
Линейность интеграла Римана по отношению к функции. Аддитивность по отношению к промежутку. Интеграл по ориентированному отрезку.
Интегрирование неравенств. Первая теорема о среднем. Следствия. Среднее значение функции. Достаточное условие строгой положительности интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Основная теорема интегрального исчисления (теорема Ньютона—Лейбница). Следствие для непрерывных функций.
Лемма Бонне. Вторая теорема о среднем.
Интегрирование по частям интеграла Римана. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме. Замена переменной в определенном интеграле.
Несобственные интегралы 1-го рода. Остаток несобственного интеграла. Пример: интеграл от степенной функции.
Несобственные интегралы 2-го рода. Связь с интегралом Римана. Пример: интеграл от степенной функции.
Свойства несобственных интегралов: линейность; аддитивность по отношению к промежутку. Замена переменной и интегрирование по частям. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
Абсолютная и условная сходимость. Лемма об условиях сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Сравнение несобственных интегралов в форме неравенства и в предельной форме.
Несобственный интеграл общего вида; независимость его определения от выбора вспомогательных точек.
Понятие обобщенной первообразной. Примеры. Связь между обобщенными первообразными функции на промежутке. Нахождение интегралов с помощью обобщенных первообразных. Примеры.
Несобственные интегралы в смысле главного значения по Коши. Пример: интегральный логарифм.
Кольца и -кольца подмножеств некоторого множества. Примеры. Конечно-аддитивные и счетно-аддитивные меры. Монотонность мер.
Инвариантность относительно движения. Понятие -мерного объема. Две основные задачи теории измерения и их разрешимость (без доказательства).
Площадь криволинейной трапеции. Лемма о площади графика интегрируемой функции. Площадь обобщенной криволинейной трапеции.
Объемы тел вращения.
Неравенства Юнга, Гёльдера, Коши—Буняковского и Минковского.
Понятие метрики. Метрическое пространство. Примеры.
Шары в метрическом пространстве. Открытые множества. Окрестности. Внутренность. Замкнутые множества. Точки сгущения. Характеристическое свойство замкнутых множеств.
Объединение и пересечение открытых и замкнутых множеств. Представление внутренности множества в виде объединения.
Замыкание. Производное множество. Представление замыкания с помощью производного множества.
Граничные точки и граница множества. Представление границы в виде разности. Представление замыкания с помощью границы.
Предел последовательности точек метрического пространства. Характеристика точек сгущения и точек замыкания множества с помощью последовательностей.
Покрытия. Компактные множества в метрическом пространстве. Предложение о замкнутости компакта. Предложение о компактности замкнутого подмножества компакта в метрическом пространстве.
Понятие нормы в линейном пространстве. Нормированное пространство. Метрика, порожденная нормой. Примеры. Эквивалентность норм. Равносильность сходимости по эквивалентным нормам. Эквивалентность норм в пространстве .
Скалярное произведение в линейном пространстве. Евклидово пространство. Евклидова норма. Угол между векторами в евклидовом пространстве.
Предел отображения, его независимость от нормы. Функции нескольких переменных. Координатные функции отображения. Связь предела отображения с пределами его координатных функций.
Критерий Коши для последовательности точек пространства . Полные метрические пространства. Подпространство метрического пространства. Примеры. Диаметр множества в метрическом пространстве. Колебание отображения в метрическое пространство на множестве и в точке. Критерий Коши для отображений.
Связь предела с арифметическими операциями. Локальное сохранение строгих неравенств. Предел суперпозиции.
Непрерывные отображения метрических пространств и их свойства.
Характеристическое свойство компакта в пространстве .
Связные и линейно связные множества в метрическом пространстве. Связность линейно связного множества. Пример связного множества, которое не является линейно связным. Линейная связность открытого связного множества в пространстве . Понятие области.
Теорема о непрерывном образе компакта с леммой о характеристическом свойстве непрерывных отображений метрических пространств. Ограниченность компакта в метрическом пространстве.
Теоремы Вейерштрасса и Больцано—Коши.
Теорема Кантора для отображения компакта в пространство .
Равносильность дифференцируемости отображения и дифференцируемости его координатных функций. Частные производные. Необходимое условие дифференцируемости. Производная матрица (матрица Якоби) отображения.
Дифференцируемость и дифференциал линейного отображения. Дифференцирование линейной комбинации, произведения и частного.
Дифференцирование суперпозиции дифференцируемых отображений. Выражение частных производных координатных функций суперпозиции через частные производные координатных функций отображений, участвующих в образовании суперпозиции. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.
-кольца подмножеств некоторого множества. Примеры. Конечно-аддитивные и счетно-аддитивные меры. Монотонность мер.
-мерного объема. Две основные задачи теории измерения и их разрешимость (без доказательства).
.
. Полные метрические пространства. Подпространство метрического пространства. Примеры. Диаметр множества в метрическом пространстве. Колебание отображения в метрическое пространство на множестве и в точке. Критерий Коши для отображений.
