Вопросы к экзамену по математическому анализу



Скачать 50.61 Kb.
Дата09.11.2012
Размер50.61 Kb.
ТипВопросы к экзамену
Вопросы к экзамену по математическому анализу

физ.-мех., мех. поток и ФУИТ, 1 курс, 2 сем. 2006/07 уч. г.

Лектор — доц. Басов А.В.

  1. Понятие первообразной. Общий вид первообразной на промежутке. Неопределенный интеграл и его простейшие свойства.

  2. Таблица неопределенных интегралов. Примеры «неберущихся» интегралов.

  3. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Примеры.

  4. Рациональные дроби и их разложение на простейшие. Интегрирование рациональных дробей.

  5. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Интегрирование квадратичных иррациональностей с помощью подстановок Эйлера.

  6. Интегрирование квадратичных иррациональностей с помощью разложения дроби на простейшие.

  7. Интегрирование дифференциального бинома. Интегрирование тригонометрических функций.

  8. База фильтра. Примеры. Предел по базе. Финально ограниченные функции.

  9. Колебание функции. Критерий Коши для предела по базе.

  10. Разбиение отрезка. Интегральные суммы и их пределы.

  11. Интеграл Римана. Критерий Коши для интегральных сумм. Необходимое условие интегрируемости.

  12. Суммы Дарбу. Сравнение разбиений. Свойства сумм Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.

  13. Теорема Дарбу о представлении интегралов Дарбу в виде пределов.

  14. Критерии Дарбу и Римана интегрируемости функции по Риману.

  15. Интегрируемость по Риману монотонных и непрерывных функций. Интегрируемость при наличии одной особой точки.

  16. Интегрируемость по Риману линейной комбинации, модуля, сужения, произведения. Интегрируемость функции на объединении двух смежных отрезков.

  17. Линейность интеграла Римана по отношению к функции. Аддитивность по отношению к промежутку. Интеграл по ориентированному отрезку.

  18. Интегрирование неравенств. Первая теорема о среднем. Следствия. Среднее значение функции. Достаточное условие строгой положительности интеграла.

  19. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Основная теорема интегрального исчисления (теорема Ньютона—Лейбница). Следствие для непрерывных функций.

  20. Лемма Бонне. Вторая теорема о среднем.

  21. Интегрирование по частям интеграла Римана. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме. Замена переменной в определенном интеграле.

  22. Несобственные интегралы 1-го рода. Остаток несобственного интеграла. Пример: интеграл от степенной функции.

  23. Несобственные интегралы 2-го рода. Связь с интегралом Римана. Пример: интеграл от степенной функции.

  24. Свойства несобственных интегралов: линейность; аддитивность по отношению к промежутку. Замена переменной и интегрирование по частям. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

  25. Абсолютная и условная сходимость.
    Лемма об условиях сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Сравнение несобственных интегралов в форме неравенства и в предельной форме.

  26. Признак Дирихле—Абеля сходимости несобственных интегралов. Пример.

  27. Несобственный интеграл общего вида; независимость его определения от выбора вспомогательных точек.

  28. Понятие обобщенной первообразной. Примеры. Связь между обобщенными первообразными функции на промежутке. Нахождение интегралов с помощью обобщенных первообразных. Примеры.

  29. Несобственные интегралы в смысле главного значения по Коши. Пример: интегральный логарифм.

  30. Кольца и -кольца подмножеств некоторого множества. Примеры. Конечно-аддитивные и счетно-аддитивные меры. Монотонность мер.

  31. Инвариантность относительно движения. Понятие -мерного объема. Две основные задачи теории измерения и их разрешимость (без доказательства).

  32. Площадь криволинейной трапеции. Лемма о площади графика интегрируемой функции. Площадь обобщенной криволинейной трапеции.

  33. Объемы тел вращения.

  34. Неравенства Юнга, Гёльдера, Коши—Буняковского и Минковского.

  35. Понятие метрики. Метрическое пространство. Примеры.

  36. Шары в метрическом пространстве. Открытые множества. Окрестности. Внутренность. Замкнутые множества. Точки сгущения. Характеристическое свойство замкнутых множеств.

  37. Объединение и пересечение открытых и замкнутых множеств. Представление внутренности множества в виде объединения.

  38. Замыкание. Производное множество. Представление замыкания с помощью производного множества.

  39. Граничные точки и граница множества. Представление границы в виде разности. Представление замыкания с помощью границы.

  40. Предел последовательности точек метрического пространства. Характеристика точек сгущения и точек замыкания множества с помощью последовательностей.

  41. Покрытия. Компактные множества в метрическом пространстве. Предложение о замкнутости компакта. Предложение о компактности замкнутого подмножества компакта в метрическом пространстве.

  42. Понятие нормы в линейном пространстве. Нормированное пространство. Метрика, порожденная нормой. Примеры. Эквивалентность норм. Равносильность сходимости по эквивалентным нормам. Эквивалентность норм в пространстве .

  43. Скалярное произведение в линейном пространстве. Евклидово пространство. Евклидова норма. Угол между векторами в евклидовом пространстве.

  44. Предел отображения, его независимость от нормы. Функции нескольких переменных. Координатные функции отображения. Связь предела отображения с пределами его координатных функций.

  45. Критерий Коши для последовательности точек пространства . Полные метрические пространства. Подпространство метрического пространства. Примеры. Диаметр множества в метрическом пространстве. Колебание отображения в метрическое пространство на множестве и в точке. Критерий Коши для отображений.

  46. Финально и локально ограниченные отображения. Необходимое условие сходимости. Единственность предела отображения.

  47. Связь предела с арифметическими операциями. Локальное сохранение строгих неравенств. Предел суперпозиции.

  48. Непрерывные отображения метрических пространств и их свойства.

  49. Характеристическое свойство компакта в пространстве .

  50. Связные и линейно связные множества в метрическом пространстве. Связность линейно связного множества. Пример связного множества, которое не является линейно связным. Линейная связность открытого связного множества в пространстве . Понятие области.

  51. Теорема о непрерывном образе компакта с леммой о характеристическом свойстве непрерывных отображений метрических пространств. Ограниченность компакта в метрическом пространстве.

  52. Теоремы Вейерштрасса и Больцано—Коши.

  53. Теорема Кантора для отображения компакта в пространство .

  54. Матрица линейного отображения. Координатное представление линейного отображения. Матрица суперпозиции линейных отображений. Дифференцируемые отображения. Дифференциал.

  55. Равносильность дифференцируемости отображения и дифференцируемости его координатных функций. Частные производные. Необходимое условие дифференцируемости. Производная матрица (матрица Якоби) отображения.

  56. Дифференцируемость и дифференциал линейного отображения. Дифференцирование линейной комбинации, произведения и частного.

  57. Дифференцирование суперпозиции дифференцируемых отображений. Выражение частных производных координатных функций суперпозиции через частные производные координатных функций отображений, участвующих в образовании суперпозиции. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Похожие:

Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003

Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, вычисление и физический смысл. Пример
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Определение дифференцируемости функции. Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью (с док-вом)
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу для 1 курса д/о
Различные формулировки свойства непрерывности множества действительных чисел, их эквивалентность
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Бесконечно малые последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу
...
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Понятие функции. Определение предела функции. Левосторонний и правосторонний пределы
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу 1 семестр, специальность математика
Функции, отображения, образы, прообразы и их свойства. Инъекция, сюръекция, биекция. Примеры. Композиция отображений
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по «Математическому анализу»
Предел и неравенства, предел и арифметические операции, первый замечательный предел и его следствия
Вопросы к экзамену по математическому анализу iconВопросы к экзамену по математическому анализу для потока дка-i (зимняя сессия)
Ограниченные и неограниченные подмножества действительных чисел. Множества открытые и замкнутые. Точные грани множества
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org