Исследовательской работы

Скачать 0.8 Mb.

страница	1/5
Дата	08.10.2012
Размер	0.8 Mb.
Тип	Литература

1 2 3 4 5

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Старомаксимкинская основная общеобразовательная школа

Районная научно – практическая конференция по математике

«Шаг в науку»
Тема исследовательской работы:
« МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ»

Автор: Маряскина Екатерина, 7 класс

Руководитель: Забродина Елена Петровна,

учитель математики

с.Ст.Максимкино, 2010

СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………..…………….3

Глава 1. Магический квадрат

1.1. Что такое «Магический квадрат»?.............................................................................6

1.2. История появления магических квадратов………………………………………...6

1.3. Магический квадрат 3*3…………………………………………………...………..8

Глава 2. Способы составления магических квадратов………………………………..10

2.1. Магические квадраты нечетного порядка

2.1.1. Метод достроения …………………………………………………….……10

2.1.2.Метод А. Лубера……………………………………………………………..11

2.2. Магические квадраты четного порядка

2.2.1. Четно-четные квадраты…………………………………………….……….12

2.2.2. Четно-нечетные квадраты…………………………………………………..13

Глава 3. Латинские квадраты и их применение……………………………………….15

^ Глава 4. Судоку и Какуро

4.1. Феномен Судоку…………………………………………………………………….17

4.2. Правило игры……………………………………………………………………….17

4.3. Разновидности………………………………………………………………………18

4.4. Происхождение………………………………………………………………..........18

4.5. Математическая основа…………………………………………………………….18

4.6. Методы поиска решения……………………………………………………………18

Глава 5. Гимнастика для ума……………………………………………………………21

Заключение…………………………………………………………………………….…25

Литература и источники Интернет……………………………………………………..27

Введение

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной... Оказалось, что, располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.

Е.Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана

Цель моей работы – выяснить различные способы составления магических квадратов, изучить области их применения и подобрать задачи такого типа.

Для этого поставила следующие задачи:

познакомиться с историей появления магических квадратов;
выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
выявить области применения магических квадратов.

Гипотеза: Я думаю, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.
При работе над докладом я пользовалась следующими методами:

поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
практический метод составления магических квадратов на основе полученных знаний;
анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в привлечении учащихся к решению занимательных задач по математике, повышении их интереса к новым и загадочным головоломкам. Одной из самых интересных математических головоломок считаются магические квадраты.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники, что такое магические квадраты, а так же Судоку и Какуро был проведен устный опрос. Было опрошено 50 человек относительно Магических квадратов. Опрос показал, что 3 человека знают и могут дать определение магического квадрата; 18 – слышали о магических квадратах; остальные 29 – понятия не имеют о чём идёт речь. Относительно Судоку и Какуро было опрошено 64 ученика этот опрос показал, что 12 человек знают, что такое Судоку и Какуро, при чём среди них 8 – имеют оценку "5" по математике, 4 – "4", и 2 – "3"; 13 человек знают, что такое Судоку и Какуро, но не решают их, причём имеют 2 – оценку "5", 7 –"4" и 4 – "3"; а остальные 39 не знают, что такое Судоку и Какуро и соответственно не решают, их оценки: 4 – "5", 14 – "4" и остальные 30 – "3". Этот опрос показал, что нынешняя молодёжь довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Глава 1 Магические квадраты

1.1 Что такое «магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n², суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.
^ 1.2. История появления магических квадратов
Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли. - ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн... Знакомьтесь: магические квадраты - удивительные представители воображаемого мира чисел.

При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделен на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу 15. Такие квадраты стали называть магическими.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ию (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы. Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Чтобы и нам он стал понятен, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков.
Если сложить числа первой строки таблицы, получится 15.

4+9+2=15

Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также третьей строки.

3+5+7=15, 8+1+6=15

При сложении чисел любого столбца тоже получается 15.

4+3+8=15, 9+5+1=15, 2+7+6=15

Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям:

4+5+6=15, 8+5+2=15.

Символ, изображенный на рисунке 1, китайцы назвали «ло-шу» и считали его магическим – он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством, с тех пор называют магическими квадратами или волшебными. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой.

Рис. 1

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В средние века магические квадраты приобрели необычайную популярность. В XI в. о них узнали в Индии, а затем в Японии. Им была посвящена обширная литература. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия» (рис.2).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Рис.2
Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

7	12	1	4
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Еще более замечательным является магический квадрат 4-го порядка, найденный в индийской надписи XI в. до н.э. (рис.3).

Этот квадрат сохраняет свойство быть магическим и после того, как его строки одна за другой перемещаются сверху вниз или столбцы аналогично перемещаются слева направо. Иными рис.3 словами, если сделать ковер из этих квадратов, то, вырезав любую его часть из 4 строк и 4 столбцов, получаем снова магический квадрат.

Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43*43, содержащий числа от 1 до 1849, причем обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, еще многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

В IX и XX вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.
^ 1
а) б)

Рисунок 1.3
.3. Магический квадрат 3*3

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Магических квадратов 2_*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3_*3, так как остальные магические квадраты 3_*3 получаются из него либо перестановкой строк (рис. 4а) или столбцов (рис. 4б) либо путем поворота исходного квадрата на 90⁰ (рис. 4в) или на 180⁰ (рис 4г).

8	1	6
3	5	7
4	9	2

2	9	4
7	5	3
6	1	8

2	7	3
9	5	1
4	3	8

6	1	8
7	5	3
2	9	4

а б в г

Рис. 4
С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Например, существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 000 000 магических квадратов порядка 5.

У меня возник вопрос: «Почему не существует магического квадрата 2-го порядка?». Я нашла ответ в журнале «Математика для школьников».

Ранее отмечалось, что квадрат 3-го порядка является самым простым. А почему не существует магический квадрат 2-го порядка?

Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная – равняется 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Итого шесть. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке (а), либо в обоих столбцах (б), либо по диагоналям (рис 5, в), но никак не одновременно.

1	4
2	3

1	2
4	3

а б

1	3
2	4

в Рис.5

1 2 3 4 5

Исследовательской работы

Руководитель: Забродина Елена Петровна,

учитель математики

Похожие: