Двойственность в линейном программировании



Скачать 42.54 Kb.
Дата08.10.2012
Размер42.54 Kb.
ТипДокументы
Двойственность в линейном программировании

Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся "зеркальным отражением" исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решением исходной задачи.

Прямая задача:

Сколько изделий и какой конструкции xj (j = 1, …, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях cj (j = 1, …, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i = 1, …, m) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении?

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn max

xj 0, j = 1, …, n


Двойственная задача:

Какие цены yi на единицу каждого из ресурсов нужно назначить при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости продукции cj, чтобы продать ресурсы было бы не менее выгодно, чем производить продукцию?

f = b1y1 + b2y2 + … + bmymmin

yi 0, i = 1, …, m,




Пары двойственных задач



А. Несимметричные
Прямая задача: Двойственная задача:



Б. Симметричные
Прямая задача: Двойственная задача:




Основные теоремы двойственности
Теорема 1 (основное неравенство двойственности).

Для любых допустимых планов X прямой и Y двойственной задач их целевые функции z(X) и f(Y) связаны между собой неравенствами:

при минимизации z(X) z(X)  f(Y),

при максимизации z(X) z(X)  f(Y),

и не существенно, какая задача прямая, а какая - двойственная.


Доказательство.

При максимизации z(X):



При минимизации z(X) необходимо записать задачи в соответствующем виде и доказать по аналогии с приведенным доказательством (самостоятельно!).

Теорема 2 (критерий оптимальности Канторовича).

Если на допустимых планах прямой и двойственной задач ЛП значения целевых функций совпадают, то эти планы являются оптимальными и наоборот, если планы прямой и двойственной задач оптимальны, то значения целевых функций на них совпадают.

Доказательство. (Докажем прямое утверждение)

Пусть X – допустимый план прямой задачи, а Y – допустимый план двойственной задачи и z(X) = f(Y).

Пусть X' – произвольный допустимый план прямой задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

z(X')  f(Y), т.е. z(X')  f(Y) = z(X),

т.е. значение целевой функции прямой задачи в точке X является максимальным (т.к. это неравенство выполняется для любого допустимого плана).

Пусть Y' – произвольный допустимый план двойственной задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

f(Y')  z(X) = f(Y),

т.е. значение целевой функции двойственной задачи в точке Y является минимальным.
Теорема 3. Для существования оптимального решения как прямой, так и двойственной задачи ЛП необходимо и достаточно существования какого-либо допустимого плана для каждой из них.

Доказательство.

Необходимость. Оптимальные решения являются допустимыми по определению. Если существуют оптимальные планы, то с очевидностью существуют и допустимые.

Достаточность. Если Y – допустимый план двойственной задачи, то по основному неравенству двойственности для любого допустимого плана X' прямой задачи выполняется z(X')  f(Y).

Т.о., последовательность значений целевой функции прямой задачи z(X1), z(X2), … на различных ее допустимых планах X1, X2, …, полученных симплекс-методом, является неубывающей и ограниченной сверху. Поэтому на допустимых планах X1, X2, … можно выбрать такой план X, для которого z(X')  z(X) при любом X', что доказывает условие достаточности для максимума.
Теорема 4. Если прямая (двойственная) задача имеет оптимальное решение, то и двойственная (прямая) задача имеет оптимальное решение.
Теорема 5. Если прямая (двойственная) задача не имеет решения из-за неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений двойственной (прямой) задачи противоречива.
Теорема 6 (о дополняющей нежесткости)

Необходимым и достаточным условиями оптимальности допустимых планов прямой X и двойственной Y задач является выполнение условий дополняющей нежесткости


Использование двойственности при решении задач ЛП
Теория двойственности позволила усовершенствовать симплекс-метод и создать улучшенный (или исправленный) симплекс-метод, который позволяет получать сразу решение и исходной и двойственной задач. Поэтому можно выбирать, решать ли задачу в том виде, в котором она поставлена, или решать двойственную задачу. Так как объем вычислений в задаче ЛП связан скорее с количеством ограничений, чем с количеством переменных, то можно порекомендовать переходить к двойственной задаче в случае, когда ограничений больше, чем переменных.

Теория двойственности позволяет также проводить анализ устойчивости решения при изменении коэффициентов cj и bj, то есть определять границы изменения этих коэффициентов при изменении условий (например, стоимости, запасов ресурсов и т.п.), то есть заранее знать, изменится или нет оптимальное решение, нужен ли дополнительный анализ, понадобится ли еще раз принимать решение.

Теория двойственности создана Дж. Фон Нейманом и Л.В. Канторовичем.

Похожие:

Двойственность в линейном программировании iconЗадача поиска в программировании. Линеный и бинарный поиски. Примеры
Одно из наиболее часто встречающихся в программировании действий – поиск. Он представляет собой идеальную задачу, на которой можно...
Двойственность в линейном программировании iconТеория чисел в программировании Проект Фролов Николай Алексеевич
Создан проект в объектно-ориентированном программировании Visual Studio C++. Имеет мультиязычный интерфейс. Каждое число определяется...
Двойственность в линейном программировании iconЗадача поиска в программировании. Линейный поиск, бинарный поиск (делением пополам). Примеры на Си
Асто встречающихся в программировании действий – поиск. Дальше будем исходить из такого принципиального допущения, что группа данных,...
Двойственность в линейном программировании iconЛекция профессора Ван Шаогуана «Великое преобразование: двойственность перемен в Китае … родилась в информационном агентстве «Росбалт»
Лекция профессора Ван Шаогуана Великое преобразование: двойственность перемен в Китае
Двойственность в линейном программировании iconМикротопографии свободной поверхности при линейном одноосном растяжении

Двойственность в линейном программировании iconВопросы к экзамену Функциональный анализ. 14. 12. 10
Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств. Полные пространства
Двойственность в линейном программировании iconКонкурс «Технологии Microsoft в информатике и программировании»

Двойственность в линейном программировании iconНелинейный метод наименьших квадратов
Свойства оптимальности оценки нк, доказанные в линейном случае, целиком основывались на линейности модели (5’) гл. 1 по  и на линейности...
Двойственность в линейном программировании iconРецензенты: А. В. Арутюнов, И. И. Поспелова Н. К. Обросова, А. А. Шананин
Двойственность в задачах линейного программирования и ее экономическая интерпретация. Учебное пособие. М.: Рудн, 2006
Двойственность в линейном программировании iconДоклад от 19 апреля на космоконференции-2009
Двойственность и вращение сверхновых, пульсаров и других переменных звёзд как причина колебаний их блеска и спектра
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org