Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх)



Скачать 79.04 Kb.
Дата08.10.2012
Размер79.04 Kb.
ТипДокументы
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (НГУЭУ, НИНХ).

http://rzt2000.vsemblog.ru/ Если Вам нужно нечто подобное, стучитесь.
Вариант1.

Задание 1.

Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:

  1. длину стороны АВ;

  2. внутренний угол А с точностью до градуса;

  3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

  4. точку пересечения высот;

  5. уравнение медианы, проведенной из вершины С;

  6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Сделать чертеж.


Решение:

  1. Найдем координаты вектора :

.

Длина стороны АВ равна

.

  1. Внутренний угол А будем искать как угол между векторами и :

.

Тогда угол .

  1. Прямая проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:

, ,

- уравнение СК.

Длину высоты будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле получим

, ,

gif" name="object19" align=absmiddle width=100 height=18> - уравнение прямой АВ.

Воспользуемся формулой .

.

  1. Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .

, .

Координаты точки Р найдем как решение системы:

, , .

Р(4;6).

  1. Координаты основания медианы будут:

, ,

М(3.5;2).

Уравнение медианы найдем, используя формулу , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.

, , ,

- уравнение медианы СМ.

  1. Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.

Найдем уравнения ВС и АС по формуле .

, , ,

- уравнение ВС.

, , ,

- уравнение АС.

- уравнение АВ.

Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:

4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.

Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством: .

Аналогично для прямых ВС и АС.

; .

; .

Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:

.

Ответ:

1) ;

2) ;

3) ; ;

4) Р(4;6);

5) ;

6) .

Задание 2.

Даны векторы . Доказать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства , достаточно доказать ее линейную независимость.

Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы :

.

Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:

.

Определитель Δ≠0, следовательно - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .

Для нахождения координат вектора в этом базисе, разложим вектор по базису :

.

Найдем - координаты вектора в этом базисе.

.

Решим эту систему методом Гаусса.

Поменяем местами первое и третье уравнение:

Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:



Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:


Прибавим к третьему уравнению второе:



Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:



Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:



Вектор в базисе имеет координаты .
Задание 3.

Найти производные функций:

а)

и



.
б)



и
.

в)



.

г)





,

.

Задание 4.



  1. Область определения .

  2. На концах области определения: .

- значит - вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты, если они есть:




У функции есть горизонтальная асимптота .

3. Так как область определения не симметрична относительно 0, функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.

4. Функция периодичностью не обладает.

5. Найдем первую производную функции:
. Решая уравнение , получим две критические точки , еще одна критическая точка .
Результаты исследования на монотонность и экстремум оформим в виде таблицы:

x

(-∞;-2)

-2

(-2;0)

0

(0;1)

1

(1;+∞)

y’

-

0

+

0

-

Не существует

-

y

Убывает

-80/27

min

Возрастает

0

max

Убывает

Не существует

Убывает

6. Находим вторую производную функции:



Решая уравнение , получим ,

- это критические точки. Еще одна критическая точка .

Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы:

x











1

(1;+∞)

y”

-

0

+

0

-

Не существует

+

y

Выпукла

-2.63

перегиб

Вогнута

-0.71 перегиб

Выпукла

Не существует

Вогнута

7. Учитывая результат пункта 2 и непрерывность функции при , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).

8. Пересечение с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.

9. Необходимости в дополнительных точках нет.



Задание 5.

Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.



Произведем замену переменной: , тогда



Проверка:




Произведем замену переменной: , тогда



Проверка:



Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.



Возьмем

Применяя формулу интегрирования по частям: , получим:



Проверка:



Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.



Подынтегральное выражение представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть, деля числитель на знаменатель.


Следовательно:

Разложим многочлен .

, тогда



.

Умножим обе части этого тождества на , получим



, тогда

. Решая эту систему, получим А=1.225; В=0.4.

Таким образом:

Проверка:



Ответ: ; ; ; .
Задание 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:

. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:

. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(0;-1), В(1;-1).

, поэтому

кв. ед.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Находим координаты точек пересечения прямой и параболы, решая систему уравнений:

. Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:

. Его решения . Тогда координаты точек пересечения А(-1;1), В(0;-1).

, поэтому

кв. ед.





Похожие:

Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconКонсультация по выполнению домашнего контрольного задания по математике для студентов заочного полного и сокращенного сроков обучения
Тематического плана. Данная консультация предполагает оказание помощи в выполнении домашнего контрольного задания №2 для студентов...
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconКонрольные задания по химии для студентов заочной формы обучения
Таблица вариантов контрольных заданий по химии для студентов энергетического и приборостроительного факультетов
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconИнструкция для обучающихся Выполняя задания части а из предложенных четырёх вариантов необходимо выбрать только один правильный

Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconУчебно-методическое пособие для абитуриентов. Новосибирск: нгуэу, 2009. 68 с. Ефименко Л. Л. Сборник задач по математике для иностранных абитуриентов. Учебно-методическое пособие. Новосибирск: нгуэу, 2010. 24 с
Владимиров Ю. Н., Королько Е. А., Берестенев Д. С. Конкурсные задания по математике в нгаэиУ (варианты заданий прошлых лет, решения,...
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconУчебно-методическое пособие для студентов отделений журналистики и филологии Новосибирского госуниверситета Новосибирск 1999
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов третьего курса отделения журналистики Новосибирского госуниверситета, изучающих...
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconВыполнение контрольного задания в форме теста
«неудовлетворительно» Выполненные тестовые задания передаются преподавателю в день и часы сдачи экзамена (зачета). Если уровень выполненного...
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconШавуот. Законы и обычаи праздника. Дарование Торы
Предложенные вопросы и задания могут быть использованы в качестве "контрольного задания" для проверки знаний учащихся после завершения...
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconВариант 3 раздел аудирование Задания 1—4 Прослушайте беседу двух подростков и выполните задания 1—4
Прослушайте беседу двух подростков и выполните задания 1 Ответьте на вопросы, выбрав один из предложенных вариантов ответа. Текст...
Это один из вариантов контрольного задания для студентов Новосибирского нархоза (нгуэу, нинх) iconПри выполнении заданий этой части (задания А1 – А17) из четырех вариантов ответов выберите один правильный. А1
Демонстрационная версия экзаменационной работы по русскому языку для учащихся 5 класса, поступающих в гимназический класс
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org