Решение задач математической физики в среде " Mathcad " Методические указания к выполнению типового расчета



Скачать 97.98 Kb.
Дата09.10.2012
Размер97.98 Kb.
ТипРешение
Московский Государственный Технический

Университет имени Н.Э. Баумана.

К.В. Титов

Решение задач математической физики

в среде "MathCAD"
Методические указания к выполнению

типового расчета

Москва

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2004


1. Решение уравнения теплопроводности.
Условие задачи.

Для приведенного уравнения теплопроводности





с начальными и граничными условиями





найти численное приближенное решение с шагом h = 0.1 по аргументу х для значения t = 0.005









1) Методом Фурье найти решение первой краевой задачи и подсчитать приближенное решение, взяв четыре первых отличных от нуля члена ряда.

2) Методом сеток явной схемы подсчитать таблицу приближенных числовых значений решения для t = 0, t = 1/600, t = 2/600, t = 3/600 = 0.005.

3) Методом сеток неявной схемы с применением метода прогонки, подсчитать таблицу числовых значений решения t = 0, t = 0.005 и значения вспомогательных величин аi и bi,j.

1.1 Решение методом Фурье.

Используем общую формулу решения уравнения [2]







где




здесь и далее, не уменьшая общности, можно положить gif" align=bottom width=52 height=19 border=0>

В формуле (3) вычисляем



где k=1,2 ...

После чего решение уравнения (1) будет иметь вид



Вычисление (4) проведем в среде "Mathcad" [3], задавая х=0..1 с шагом 0.1 для k=4, k=10, k=100, k=200.

Результаты сведем в таблицу 1, первая строка которой при к=200 вычисляется из начального условия (2). Крайний левый и правый столбцы таб.1 вычисляются по соответствующим граничным условиям (2).

Сама же формула (4), набранная в среде "Mathcad", и пример ее вычисления даны в Приложении 1

Таблица 1



1.2. Решение методом сеток явной схемы.

Для вычислений будем использовать следующее разностное уравнение:

(5)

здесь



и

; ;

Запишем краевые условия в дискретной форме


... (6)


Кроме этого



Здесь ; ...

Таким образом, разностное уравнение (5) будет иметь вид:

или

(7)

где ... ;
Вычисления по формуле (7) также можно проводить в системе "Mathcad" (Приложение 2), набрав эту формулу. Начинаем вычислять значения по формуле (7). Полагаем , и заносим результаты вычислений в таблицу 2 в строку с номером j = 1. Далее в строки j = 2,3 (см. табл.2).

Первая строчка и крайние столбцы табл.2 рассчитываются по краевым условиям (6).
Таблица 2.



1.3. Решение методом сеток неявной схемы.
Воспользуемся уравнением теплопроводности в разностном виде:



где i = 1,2 ... (m-1); j = 1,2 ... p

В нашей задаче: а = 1; m = 10; p = 3; h = 0.1.





Результаты вычислений записываем в таблицу 3, подобную таблице 2. Первая строчка и крайние столбцы таблицы 3 вычисляются также, как и в таблице 2.
Таблица 3



Алгоритм вычисления .

Начинаем вычисление с j = 1. Ниже приведем алгоритм вычисления элементов j-й строки:

Вычисляем Запоминаем

|





_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



В этом последнем выражении известными являются , (найдены ранее) и , по которым находим . Двигаясь теперь в обратном направлении, находим ,... Вычисление коэффициентов , называют прямым ходом, а вычисление - обратным ходом прогонки. Таким образом, получают числовые значения решения задачи для строки с номером "j". Для следующей строки процесс повторяется. Отметим, что коэффициенты не зависят от номера "j". Эти коэффициенты вычисляются один раз для всех строк. (Как справочная информация они занесены в таблицу 4а). Коэффициенты приведены в таблице 4б.

Алгоритм вычисления в системе "Mathcad" дан в Приложении 3.

Таблица 4


Результаты вычислений, приведенные в таблицах 1, 2, 3, легко сравнить и сделать выводы.

Выводы могут быть следующими:

Современные РС позволяют считать практически мгновенно суммы типа (4) с большим количеством членов, что позволяет получать высокую точность результата.

Метод сеток явной схемы позволяет иметь привлекательную по своей простоте формулу счета (7), дающую таблицу 2, сравнимую по точности результатов с таблицей 1. Однако, вычисления по формуле (4) дают сразу результат (получая строки таблицы 1),в то время как вычисления по формуле (7) сначала дают промежуточные (паразитные) результаты и только в конце интересующий нас результат (см. последнюю строку таблицы 2).

Аналагично таблице 2, с большим объемом вычислений, дает точность формула (8), результат вычислений по которой приведен в таблице 3.

Таким образом, при наличии быстродействующего РС проще расчеты вести по формуле (4).

Необходимо сделать следующее замечание:

Чтобы проводить расчеты по формуле (4), надо предварительно найти аналитический вид
и

или аппроксимирующие их выражения, в противном случае объем вычислений по формуле (4) существенно возрастает с увеличением числа разложений (членов ряда).

1.4. Условие домашнего задания.

| | | |

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


Похожие:

Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания содержат все необходимые рекомендации для выполнения типового расчета и проведения лабораторных работ по теме " Уравнения математической физики " для студентов 3-го курса
Целью пособия является: научить студентов пользоваться новейшими математическими программными системами, такими как Mathcad и др
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания по выполнению лабораторных работ №1-5 по информатике для студентов дневной формы обучения
Решение задач в пакете Mathcad : методические указания по выполнению лабораторных работ №1 – 5 по информатике для студентов дневной...
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания к выполнению расчетно-графических и контрольных работ по электротехнике для студентов всех форм обучения 2005
Методические указания включают в себя рабочую программу, задания, указания по их выполнению, примеры расчета. Методические указания...
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики» Москва Издательство мгту им. Н. Э. Баумана 2009
Численные методы решения задач диффузии: Метод указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики». —...
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconСто одиннадцать задач по атомной физике
«Математического анализа» и «Методов математической физики», читаемых на физическом факультете. По мнению авторов, успешное решение...
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconПрограмма курса «уравнения математической физики»
Примеры уравнений и постановок задач математической физики, корректная разрешимость
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания по их выполнению для студентов, обучающихся по специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии»
...
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания по выполнению практических занятий
Безопасность эксплуатации грузоподъемных машин с истекшим нормативным сроком службы: Методические указания по выполнению практических...
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по курсу Криминалистика
Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Криминалистика». – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2005. – 8 с
Решение задач математической физики в среде \" Mathcad \" Методические указания к выполнению типового расчета iconМетодические указания по выполнению модуля-3 (МА) Курск 2007
Методические указания предназначены для студентов технических и экономических специальностей
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org