Решение задач математической физики в среде " Mathcad " Методические указания к выполнению типового расчета
|
Скачать 97.98 Kb.
|
| Московский Государственный Технический Университет имени Н.Э. Баумана. К.В. Титов Решение задач математической физики в среде "MathCAD" Методические указания к выполнению типового расчета Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2004 1. Решение уравнения теплопроводности. Условие задачи. Для приведенного уравнения теплопроводности   с начальными и граничными условиями   найти численное приближенное решение с шагом h = 0.1 по аргументу х для значения t = 0.005     1) Методом Фурье найти решение первой краевой задачи и подсчитать приближенное решение, взяв четыре первых отличных от нуля члена ряда. 2) Методом сеток явной схемы подсчитать таблицу приближенных числовых значений решения для t = 0, t = 1/600, t = 2/600, t = 3/600 = 0.005. 3) Методом сеток неявной схемы с применением метода прогонки, подсчитать таблицу числовых значений решения t = 0, t = 0.005 и значения вспомогательных величин аi и bi,j. 1.1 Решение методом Фурье. Используем общую формулу решения уравнения [2]        где    здесь и далее, не уменьшая общности, можно положить В формуле (3) вычисляем   где k=1,2 ...После чего решение уравнения (1) будет иметь вид       Вычисление (4) проведем в среде "Mathcad" [3], задавая х=0..1 с шагом 0.1 для k=4, k=10, k=100, k=200. Результаты сведем в таблицу 1, первая строка которой при к=200 вычисляется из начального условия (2). Крайний левый и правый столбцы таб.1 вычисляются по соответствующим граничным условиям (2). Сама же формула (4), набранная в среде "Mathcad", и пример ее вычисления даны в Приложении 1 Таблица 1  1.2. Решение методом сеток явной схемы. Для вычислений будем использовать следующее разностное уравнение: (5)  здесь       и  ;  ;  Запишем краевые условия в дискретной форме     ... (6) Кроме этого  Здесь ; ...Таким образом, разностное уравнение (5) будет иметь вид:  или(7)  где ... ;  Вычисления по формуле (7) также можно проводить в системе "Mathcad" (Приложение 2), набрав эту формулу. Начинаем вычислять значения  по формуле (7). Полагаем  ,  и заносим результаты вычислений в таблицу 2 в строку с номером j = 1. Далее в строки j = 2,3 (см. табл.2).Первая строчка и крайние столбцы табл.2 рассчитываются по краевым условиям (6). Таблица 2.  1.3. Решение методом сеток неявной схемы. Воспользуемся уравнением теплопроводности в разностном виде:   где i = 1,2 ... (m-1); j = 1,2 ... p В нашей задаче: а = 1; m = 10; p = 3; h = 0.1.   Результаты вычислений записываем в таблицу 3, подобную таблице 2. Первая строчка и крайние столбцы таблицы 3 вычисляются также, как и в таблице 2. Таблица 3  Алгоритм вычисления  .Начинаем вычисление с j = 1. Ниже приведем алгоритм вычисления элементов j-й строки: Вычисляем Запоминаем |          _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    В этом последнем выражении известными являются  ,  (найдены ранее) и  , по которым находим  . Двигаясь теперь в обратном направлении, находим , ... Вычисление коэффициентов  , называют прямым ходом, а вычисление - обратным ходом прогонки. Таким образом, получают числовые значения решения задачи для строки с номером "j". Для следующей строки процесс повторяется. Отметим, что коэффициенты не зависят от номера "j". Эти коэффициенты вычисляются один раз для всех строк. (Как справочная информация они занесены в таблицу 4а). Коэффициенты приведены в таблице 4б.Алгоритм вычисления в системе "Mathcad" дан в Приложении 3. Таблица 4  Результаты вычислений, приведенные в таблицах 1, 2, 3, легко сравнить и сделать выводы. Выводы могут быть следующими: Современные РС позволяют считать практически мгновенно суммы типа (4) с большим количеством членов, что позволяет получать высокую точность результата. Метод сеток явной схемы позволяет иметь привлекательную по своей простоте формулу счета (7), дающую таблицу 2, сравнимую по точности результатов с таблицей 1. Однако, вычисления по формуле (4) дают сразу результат (получая строки таблицы 1),в то время как вычисления по формуле (7) сначала дают промежуточные (паразитные) результаты и только в конце интересующий нас результат (см. последнюю строку таблицы 2). Аналагично таблице 2, с большим объемом вычислений, дает точность формула (8), результат вычислений по которой приведен в таблице 3. Таким образом, при наличии быстродействующего РС проще расчеты вести по формуле (4). Необходимо сделать следующее замечание: Чтобы проводить расчеты по формуле (4), надо предварительно найти аналитический вид и или аппроксимирующие их выражения, в противном случае объем вычислений по формуле (4) существенно возрастает с увеличением числа разложений (членов ряда). 1.4. Условие домашнего задания. |  |  |  |  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _      _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _    |
Похожие:
 | Методические указания содержат все необходимые рекомендации для выполнения типового расчета и проведения лабораторных работ по теме " Уравнения математической физики " для студентов 3-го курса Целью пособия является: научить студентов пользоваться новейшими математическими программными системами, такими как Mathcad и др |  | Методические указания по выполнению лабораторных работ №1-5 по информатике для студентов дневной формы обучения Решение задач в пакете Mathcad : методические указания по выполнению лабораторных работ №1 – 5 по информатике для студентов дневной... |
| Методические указания к выполнению расчетно-графических и контрольных работ по электротехнике для студентов всех форм обучения 2005 Методические указания включают в себя рабочую программу, задания, указания по их выполнению, примеры расчета. Методические указания... | | Методические указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики» Москва Издательство мгту им. Н. Э. Баумана 2009 Численные методы решения задач диффузии: Метод указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики». —... |
| Сто одиннадцать задач по атомной физике «Математического анализа» и «Методов математической физики», читаемых на физическом факультете. По мнению авторов, успешное решение... | | Программа курса «уравнения математической физики» Примеры уравнений и постановок задач математической физики, корректная разрешимость |
| Методические указания по их выполнению для студентов, обучающихся по специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии» ... | | Методические указания по выполнению практических занятий Безопасность эксплуатации грузоподъемных машин с истекшим нормативным сроком службы: Методические указания по выполнению практических... |
| Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу Криминалистика Методические указания к выполнению контрольных работ по курсу «Криминалистика». – М.: Импэ им. А. С. Грибоедова, 2005. – 8 с | | Методические указания по выполнению модуля-3 (МА) Курск 2007 Методические указания предназначены для студентов технических и экономических специальностей |