Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2



Скачать 41.18 Kb.
Дата09.10.2012
Размер41.18 Kb.
ТипДокументы
Теорема Эйлера

В работе над проектом, передо мной была поставлена задача: выяснить, существуют ли научные факты, связанные с многогранниками.

Да, действительно, существуют. Одним из известнейших научных фактов является теорема Эйлера. Она была открыта французским ученым Рене Декартом еще в 1640 году, затем забыта более чем на сто лет и лишь в 1752 году переоткрыта математиком Леонардом Эйлером, имя которого она носит.
Леонард Эйлер - математик, механик и физик. Родился в Швейцарии в городе Базель, в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под руководством Якоба. Бернулли), а с 1720 по 1724 год в Базельском университете, где слушал лекции по математике Иоганна Бернулли.
В конце 1726 года Эйлер был приглашен в Петербургскую Академию Наук и в мае 1727 года приехал в Петербург. В только что организованной академии Эйлер нашёл благоприятные условия для научной деятельности, что позволило ему сразу же приступить к занятиям математикой и механикой. За 14 лет первого петербургского периода жизни Эйлер подготовил к печати около 80 трудов и опубликовал свыше 50. В Петербурге он изучил русский язык.

Теорема Эйлера - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Иначе её называют формулой Эйлера:

Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2.

Г + В = Р + 2

Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.

Г + В - Р = 2

Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней.


Правильный многогранник

Число

Граней

(Г)

Вершин

(В)

Рёбер

(Р)

Тетраэдр



4

4

6

Гексаэдр(куб)



6

8

12

Октаэдр

png" name="graphics3" align=bottom width=92 height=100 border=0>

8

6

12

Додекаэдр



12

20

30

Икосаэдр



20

12

30


Число х = В - Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы:



Правильный многогранник

Число

граней и вершин

(Г + В)

рёбер

(Р)

Тетраэдр



4 + 4 = 8

6

Гексаэдр(куб)



6 + 8 = 14

12

Октаэдр



8 + 6 = 14

12

Додекаэдр



12 + 20 = 32

30

Икосаэдр



20 + 12 = 32

30


Тогда верно равенство

В - Р + Г = 2

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С её помощью было доказано огромное количество теорем. Находясь в центре постоянного внимания со стороны математиков, теорема Эйлера получила далеко идущие обобщения.

Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из неё несколько утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам:

1.Число вершин, увеличенное в 3 раза, больше либо равно числу рёбер увеличенному на 6.

Р + 6≤ 3В

2. Число граней, увеличенное в 3 раза, больше либо равно числу рёбер увеличенному на 6.

Р + 6≤ 3Г
3. У всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятигранный пространственный угол.

4. Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π.

Теорема Эйлера открыла новую главу в математике, которая называется топологией.

Топология – раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание.

Следующим прекрасным свойством многогранников является их двойственность. В Интернете я нашла замечательные миниатюры посвященные двойственности многогранников.

Правильных многогранников - пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Это известно с античности. Если центры граней правильного многогранника принять за вершины нового многогранника, то получится правильный многогранник, дуальный (двойственный) исходному. Октаэдру двойственен куб. Икосаэдру - додекаэдр. Несложно догадаться, что тетраэдр дуален сам себе. Так что, в одном из смыслов, получаем три типа правильных многогранников. Понятно, правда, что никакого философского смысла в этом нет, а только геометрический.

Список ресурсов:

http://schools.techno.ru/sch758/2003/geomet/new!!/eyler.html

http://www.c-cafe.ru/days/bio/5/084.php

http://virlib.eunnet.net/mif/text/n0198/1-1.html

http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454934.html

http://dxdt.ru/2007/11/23/827/

http://www.etudes.ru/ru/sketches/

Похожие:

Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconМы дадим здесь два доказательства теоремы Эйлера и некоторые следствия из нее
Эйлера. Сейчас принято называть теоремой (или формулой) Эйлера соотношение между числами вершин, ребер и граней многогранника, а...
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconПравильные многогранники
...
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconПравильные и полуправильные многогранники (платоновы и архимедовы тела)
...
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconПроекции вершин, рёбер, граней предмета

Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconЗанятие №13 Решения. Клетчатые путешествия. Для какой лестницы понадобится более длинный ковёр?
Решение. Сумма всех горизонтальных участнков любого такого ковра равна 10 м. А сумма вертикальных участков равна 6 метрам. Значит,...
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconИзложение программного материала
Цель – познакомиться с правилами построения проекций вершин, рёбер и граней предмета
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 icon1. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 2, а сумма их квадратов равна. Найти эти числа
Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 2, а сумма их квадратов равна. Найти эти...
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconПравила для определения степеней окисления химических элементов в соединениях. Степень окисления любого элемента в простом веществе равна 0
Сумма степеней окисления всех атомов, входящих в состав частицы (молекул, ионов и т д. ) равна заряду этой частицы. В частности,...
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconТретий тур дистанционного этапа олимпиады имени Леонарда Эйлера Решения задач 1
Написали два числа — первое и второе. К первому прибавили второе — получили третье, ко второму прибавили третье — получили четвертое...
Формулой Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на г + в = р + 2 iconПрограмма по курсу «Теории чисел». Лектор: Иконникова Т. К. 3 курс 2006/2007 уч год
Теоретико-числовые функции. Целая и дробная части числа. Сумма и число делителей. Функция Мёбиуса. Функция Эйлера. Мультипликативность....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org