Тема Основные понятия теории множеств



Скачать 96.72 Kb.
Дата23.11.2012
Размер96.72 Kb.
ТипДокументы
Тема 2. Основные понятия теории множеств


  1. Понятие множества.

  2. Операции с множествами.

3. Отображение множеств. Эквивалентность множеств.

4. Мощность множества. Счетные и несчетные множества.

5. Булева алгебра.
Введение.
Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845-1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся основные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве треугольников на плоскости и т.д.

Теория множеств позволяет создать модель любого известного раздела математики и, таким образом, теория множеств объединяет эти разделы в единую систему.
1. Понятие множества.

Одно из самых важных, самых распространенных и широко употребляемых понятий современной математики – это понятие множества. «Идеи и понятия теории множеств – пишет известный советский математик академик П.С. Александров, - проникли буквально во все разделы современной математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представ-ления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств».

Понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединять-ся во множества. Например, математики говорят о множестве фигур на плоскос-ти, о множестве тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

В 70-х годах прошлого века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед необходи-мостью сравнить между собой бесконечные совокупности чисел. Для решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества.

Плодотворность теоретико-множественной концепции в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.

Суть понятия «множество» вполне передается словами: «совокупность», «собрание», «набор» и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие множество неопределимо. Но определить какое-либо конкретное множество – задача не из трудных.

Определить любое конкретное множество – значит определить какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не

принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначно определяется своими элементами.

Обычно обозначают множества прописными (большими) буквами: А, В, С и т. п.
, а элементы множества чаще всего обозначают строчными (малы-

ми) буквами: а, b, х , у,…

Для обозначения принадлежности элемента некоторому множеству используется знак . А для обозначения не принадлежности используется знак .

Например: 1. Яблоки ФРУКТЫ, где ФРУКТЫ ={ груши, апельсины, яблоки, виноград}

2. 5 А = {1,2,3,4,5,б,7}

3. п N (читается: п принадлежит множеству натуральных чисел N).

Обозначения некоторых числовых множеств:

N - множество натуральных чисел.

Z - множество целых чисел.

Q - множество рациональных чисел.

R - множество действительных чисел.

Принято также вводить понятие пустого множества, т.е. множества, на содержащего ни одного элемента. Обозначение пустого множества Ø. Например, множество всех трехлетних мальчиков, обучающихся на 1 курсе,

пустое множество. Множество всех целых корней уравнения я2+ 1 = О тоже пустое.

Может случиться, что каждый элемент одного множества А является также элементом другого множества В. Тогда говорят, что множество А - «часть», или «подмножество», множества В, и пишут: А В (читается так:

А принадлежит В) или В : А («В содержит А»)..

Знаки «» и «» называются «знаками включения». Запись А В означает: «А не часть множества В».

Два множества А и В считаются равными, если они содержат одни и те же элементы (т. е. если каждый элемент одного из них является элементом другого, и наоборот). По .этой причине два множества { 1, 3, 5, 7 } и

{5,З,7,7, 1} равны.

Множество будем называть конечным или бесконечным в зависимости от того, является ли число элементов, входящих в состав этого множества, конечным или бесконечным.

Множества, элементами которых являются числа, называются число-выми. В дальнейшем нам часто придется иметь дело с различными мно-жествами вещественных чисел. Будем обозначать произвольное множество вещественных чисел символом {х}, а числа, входящие в состав этого множества, будем называть элементами или точками этого множества. Мы будем говорить, что точка х1 множества {х} отлична от точки х2 этого множества, если вещественные числа х1 и х2 не равны друг другу. Если при этом справедливо неравенство х1 > х21 < х2) то будем говорить, что точка х1 лежит правее (левее) точки х2.

Рассмотрим некоторые наиболее употребительные множества вещественных чисел.

1º. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам , где а < b, будем называть сегментом (отрезком) и обозначать символом [ а,,b ]. При этом числа а и б будем называть граничными точками или концами сегмента [а,b], а любое число х, удовлетворяющее неравенствам а < x < б, будем называть внутренней точкой сегмента [а,b].

2°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяюших неравенствам

{или }, будем называть полусегментом и обозначать символом [а,,b) или (а,,b].

3º. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам

а < x < b, будем называть интервалом (открытым отрезком) и обозначать символом (а,b ).

4°. Любой интервал, содержащий точку с, будем называть окрестностью точки с.

5° Интервал (с-ε, с + ε), где ε > О, будем называть .-окрестностью точки с.

6°. Множество всех вещественных чисел будем называть числовой

(бесконечной) прямой и обозначать символом (-∞; +∞).

7°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству

х или х будем называть полупрямой и обозначать символом [ )

(].

8°. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству х > a или х < b будем называть открытой полупрямой (лучом) и обозначать символом (а, ∞) или ().

2. Операции с множествами.

Для рассуждений о множествах полезно привлечь наглядные схемы, впервые предложенные еще в ХVIII веке известным математиком Леонардом Эйлером. В ХIХ веке такие схемы успешно применял английский логик Джон Венн. Эйлер предложил наглядно изображать каждое множество в виде круга (размеры и положение круга не играют роли). Если А - часть множест-ва В, то круг, изображающий множество А, располагается внутри круга, изображающего множество В. Если какие-нибудь два множества имеют общие элементы (но не совпадают и одно не является частью другого), то соответствующие им круги Эйлера должны частично перекрываться..

Пусть, например, А и В - некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблиц:



Отношение


Условное

обозначение

Определение

















3. Отображение множеств. Эквивалентность множеств.

п.1. Отображение множеств.

Понятие отображения, также как и понятия множества, является неопределяемым, поэтому мы его поясняем.

Говорят, что задано отображение множества А в множество В, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие, по определенному правилу, единственный элемент множества В. Иногда такие отображения называют полными отображениями в отличие от частичных отображений, которые допускают наличие в множестве А элементов, которым не ставится в соответствие никакой элемент множества В.

Отображения обозначаются, как правило, малыми греческими буквами, и если φ - отображение множества А и В, то пишут: АВ, или А В.

Если при отображении φ элементу поставлен в соответствие элемент, , то пишут , при этом b называют образом элемента а, а элемент а называют прообразом элемента b при отображении φ.

Множество А называют началом, а множество В концом отображения φ.

Если С А, то множество образов всех элементов а С обозначается С φ и называется образом множества С при отображении φ. В частности, А φ явля-ется образом множества А при отображении φ, или множеством значений отображения.

Пример 1.

Если А - множество целых чисел и , то элементы 1 и -1 служат прообразами элемента 1, а элемент -1 не имеет прообраза и А φ - это подмножество всех неотрицательных целых чисел.

Если А φ = В. то говорят, что φ есть отображение множества А на множество В (такое отображение называется сюръективным отображением или наложением).

Пример 2.

Если А - множество целых чисел, В - множество четных целых чисел, и φ: А—>В, где .

Пример З.

А - множество натуральных чисел, В = { 1;2}, а отображение всем четным натуральным числам ставит в соответствие элемент 2, а всем нечетным - элемент 1.

Разумеется, каждый элемент из начала отображения имеет в точности один образ. Отображение множества А в множество В при котором каждый образ имеет только один прообраз называют вложением множества А в множество В (а также инъективным отображением), к таким отображениям относятся пример 2.

Отображение являющееся одновременно вложением и наложением называется взаимно однозначным (иначе биективным) отображением.

Примером биективного отображения являются подстановки, являющие-ся отображением множества { 1,2,...,п} на себя. Важным примером биек-тивного отображения является тождественное отображение множества А на себя, определяемое условием , для всех х А. Это отображение будем обозначать через Е.

п.2. Эквивалентность множеств

Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда число элементов у этих множеств одинаковое.

Приведем пример двух эквивалентных бесконечных множеств. Легко видеть, что множество {х}, элементами которого служат четные положи-тельные числа 2, 4, 6, ..., 2n, ..., эквивалентно множеству (у}, элементами которого служат натуральные числа 1,2,3,..., n , ... В самом деле, мы установим взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, поставив в соответствие элементу 2 n множества {А }элемент n и множества {у }. Обратим внимание на то, что рассмотренное нами множест-во {х} является подмyожеством множества (у}. Таким образом, бесконечное

множество{ у } оказывается эквивалентным своему подмножеству {х }.

4. Мощность множества. Счетные и несчетные множества.

Из всевозможных множеств выделим следующие два важных типа:

1º. Всякое множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел

1, 2, 3, ..., n, ..., будем называть счетным. Из определения счетного множества вытекает, что все элементы этого множества можно занумеровать. Если элементы множества занумеровать не представляется возможным, то оно носит название несчетного.

2°. Всякое множество, эквивалентное множеству всех вещественных чисел интервала (0, 1), будем называть множеством .мощности континуума.

Приведем примеры счетных множеств и множеств мощности контину-ума.

Первым примером счетного множества может служить рассмотренное выше множество четных положительных чисел 2, 4, 6, ..., 2n ... . Другим при-мером счетного множества может служить множество всех рациональных чисел сегмента [ 0,1], это множество можно расположить в последователь-ность без повторений, т.е. занумеровать. Примером множества мощности континуума может служить множество всех вещественных чисел (бесконечная прямая). В самом деле, функция у=сtg πх устанавливает взаим-но однозначное соответствие между течками интервала О < x < 1 и точками бесконечной прямой.

Множество мощности континуума не эквивалентно счетному множест-ву потому, что множество всех вещественных чисел интервала (0, 1) нельзя занумеровать.

5. Булева алгебра.

Решающий вклад в алгебраизацию логики сделал английский ученый Джордж Буль (1815-1864). В 1947 году вышла его работа с характерным названием - «математический анализ логики, являющийся опытом исчисления дедуктивного рассуждения». Применяя алгебру (в дальнейшем она стала называться булевой алгеброй) можно было закодировать высказывания, истинность и ложность которых требовалось доказать, а потом оперировать ими, как в математике оперируют числами. Буль ввел три основные операции: И, ИЛИ, НЕ, хотя алгебра допускает и другие операции

— логические действия. Эти действия бинарны по своей сути, т.е. они оперируют с двумя состояниями: «истина» - «ложь». Данное обстоятельство позволило в дальнейшем использовать булеву алгебру для описания переключательных схем. необходимо отметить, что окончательное оформление и завершение булева алгебра получила в работах последователей Дж. Буля: У.С. Джеванса и Дж. Венна (Англия), Э. Шредера (Германия),

П.С. Порецкого (Россия).

Как любая алгебраическая система булева алгебра базируется на совокупности некоторых предположений, которые принято называть аксиомами, т.е. предположениями не требующими доказательств. Аксиомы определяются для двух логических значений: 1 (<ИСТИНА») и О («ЛОЖЬ») н операций логического умножения (конъюнкции), которая обозначается «&», « ^ », « · » или не обозначается вовсе, логического сложения (дизъюнкции), которая обозначается «V», «+» и отрицания (инверсии), которая обозначается горизонтальной чертой над переменной или выраже-нием, например, . Булевой переменной, обозначаемой обычно х называется переменная принимающая два логических значения {о,1}.

Заключение.
Теория множеств как самостоятельная дисциплина сформировалась сравнительно поздно, в конце 19 века. Основателем её был немецкий математик Р. Дедекинд (1831-1916), в работах которого впервые начали формироваться признаки понятия множества.

Действительным основоположником теории множеств считается Г. Кантор – немецкий математик русского происхождения, исследования которого по теории множеств были основаны на приведении непрерывных функций на основе ряда Фурье. Работы Кантора были настолько абстрактными, что это приводило к острым спорам во время публикаций, и только позже стали общепризнанными.

Одним из методов математики является метод применения абстракции, при которой не принимаются во внимание некоторые конкретные обстоятельства. Это неизбежно приводит к возникновению понятия множества, которое стало основным понятием математики.

Похожие:

Тема Основные понятия теории множеств iconОсновные понятия теории множеств
Основные понятия теории множеств: Индивидуальные задания к модулю 1 / Юго-Зап гос ун-т; сост.: Т. В. Шевцова, Е. В. Скрипкина. Курск,...
Тема Основные понятия теории множеств iconВопросы к экзамену по теории множеств Основные понятия наивной теории множеств
Понятия множества, его элементов, пустого множества, конечного и бесконечного множеств
Тема Основные понятия теории множеств iconВопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры
Отношение равенства множеств. Свойства отношения равенства множеств (рефлексивность, симметричность, транзитивность)
Тема Основные понятия теории множеств iconЗанятие 1 Основные понятия теории множеств
Рассмотрение системы как совокупности элементов дает возможность привлечь для ее математического описания аппарат теории множеств....
Тема Основные понятия теории множеств iconСтановление теории множеств
Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы...
Тема Основные понятия теории множеств iconОбщие понятия теории множеств
Язык теории множеств. Совокупность элементов, объединённых некоторым признаком, свойством, составляет понятие множество. Например,...
Тема Основные понятия теории множеств iconЛогинов А. С. Часть Дифференциальное исчисление
В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология...
Тема Основные понятия теории множеств iconVi. Элементы теории графов. Основные понятия теории графов. Определение Графом
Определение Графом называется совокупность 2-х множеств Х и У. Х это множество точек, называемых вершинами графа, а у это множество...
Тема Основные понятия теории множеств icon14 лекций, 14 семинаров; 8 кредитов ects основные темы курса и рекомендуемая литература Тема Исходные понятия теории социальной стратификации. Тема Типы стратификационных систем
Тема 11. Новые аспекты социальной стратификации: «культурные» классы и гражданство
Тема Основные понятия теории множеств iconОсновные понятия и методы теории формальных систем
Основные понятия и методы теории формальных систем: Метод указания к изучению курса "Дискретная математика" и решению задач для студентов...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org