Лекция №4 Метрические пространства Теорема Бэра. В функциональном анализе важную роль играет следующая

Лекция № 4 Метрические пространства Теорема Бэра. В функциональном анализе важную роль играет следующая Теорема 1 (Бэр). Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств. Доказательство. Предположим противное. Пусть , где каждое из множеств нигде не плотно в . Пусть – некоторый замкнутый шар радиуса 1. Поскольку множество , будучи нигде не плотным, нигде не плотно в . Поэтому существует замкнутый шар радиуса меньше , такой, что и . Поскольку множество не плотно в , то по той же причине в шаре содержится замкнутый шар радиуса меньше , для которого и т.д. Мы получаем последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю, причем . В силу теоремы 4 (лекция 3) пересечение содержит некоторую точку . Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств , следовательно, , т.е. gif" name="object24" align=absmiddle width=64 height=27> в противоречие предположению. Теорема доказана. В частности, всякое полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно. Действительно, в таком пространстве каждая точка нигде не плотна. Пополнение метрических пространств. Если пространство не полно, то его всегда можно включить некоторым (и, по существу, единственным) способом в полное пространство. Определение 1. Пусть – метрическое пространство. Полное метрическое пространство называется пополнением пространства , если: 1) является подпространством пространства ; 2) всюду плотно в , т.е. . (Здесь означает замыкание в метрике пространства .) Например, пространство всех действительных чисел является пополнением пространства рациональных чисел. Теорема 2. Каждое метрическое пространство имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из . Доказательство. Единственность. Нам нужно доказать, что если и – два пополнения пространства , то существует такое взаимно однозначное отображение пространства на , что 1) для всех ; 2) если и при соответствии , то , где – расстояние в , а – расстояние в . Отображение определим следующим образом. Пусть – произвольная точка из . Тогда, по определению пополнения (см. определение 1), существует последовательность точек из , сходящаяся к . Но точки входят и в . Так как пространство полно, то последовательность сходится в метрике к некоторой точке . Ясно, что не зависит от выбора последовательности , сходящейся к . Положим . Отображение и есть искомое изометрическое отображение пространства в пространство , оставляющие неподвижными точки из . Действительно, по построению для всех . Далее, пусть последовательности и из таковы, что , в и , в ; тогда в силу непрерывности расстояния, , и, аналогично, . Следовательно, . Таким образом, единственность пополнения с точностью до изометрии установлена. Докажем теперь существование пополнения. Пусть – произвольное метрическое пространство. Назовем две фундаментальные пос- (Идея этого доказательства та же, что и в канторовой теории действительных чисел, и даже проще, так как там для вновь вводимых объектов – иррациональных чисел – требуется еще определить все арифметические операции.) ледовательности и из эквивалентными, т.е. , если . Необходимо убедиться в том, что это действительно рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение, т.е. 1) для любой фундаментальной последовательности из , 2) если , то , 3) если и , то . Эти три условия, очевидно, выполнены. Отсюда следует, что все фундаментальные последовательности, которые можно составить из точек пространства , распадаются на классы эквивалентных между собой последовательностей. Определим теперь метрическое пространство . За его точки мы примем всевозможные классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, а расстояние между ними (классами эквивалентности!) зададим следующим образом. Пусть и – два таких класса. Выберем в каждом из этих классов по одному представителю, т.е. по некоторой фундаментальной последовательности и и положим ( – метрика в пространстве !) . (1) Докажем корректность этого определения расстояния, т.е. докажем, что этот предел существует и не зависит от выбора представителей и . Имеем неравенство (2) Докажем это неравенство. В силу аксиомы треугольника имеем: , откуда следует, что (3) Далее, , откуда следует неравенство . (4) Неравенства (3) и (4) означают, что , так как означает, что . Неравенство (2) доказано. Поскольку последовательности и фундаментальны, то из неравенства (2) получаем, что для всех достаточно больших , т.е. числовая последовательность удовлетворяет критерию Коши и, следовательно, имеет предел. Этот предел не зависит от выбора представителей и . Действительно, пусть и . Как и выше, справедливо неравенство (докажите!) . Поскольку и , то отсюда следует, что . Таким образом, мы показали, что , задаваемое равенством (1), существует и не зависит от выбора представителей в классах эквивалентностей. Докажем теперь, что метрика , определенная в пространстве равенством (1), удовлетворяет аксиомам метрики. 1) если и только если классы эквивалентности и совпали. Действительно, если , то выбрав в классах эквивалентности и по представителю и , получим . Поэтому фундаментальные последовательности и эквивалентны, т.е. . Обратное утверждение очевидно: если , то . 2) Симметрия: . Это условие, очевидно, выполнено. 3) Аксиома треугольника. Так как в исходном пространстве аксиома треугольника выполнена, то для , выбрав по представителю , и , имеем: . Переходя к пределу при , убеждаемся в справедливости аксиомы треугольника в пространстве : . Покажем теперь, что можно рассматривать как подпространство пространства . Каждой точке отвечает некоторый класс эквивалентных фундаментальных последовательностей, а именно совокупность всех последовательностей, сходящихся к точке . Этот класс не пуст, так как содержит стационарную последовательность, все члены которой равны . При этом, если и , то . Следовательно, соотнеся каждой точке класс сходящихся к ней (фундаментальных!) последовательностей, мы изометрически отобразим в подпространство . В дальнейшем мы можем не различать само пространство и его образ в и рассматривать как подпространство в . Покажем теперь, что всюду плотно в . Действительно, пусть – некоторая точка из и произвольно. Выберем в представителя, т.е. некоторую фундаментальную последовательность . Пусть таково, что . Тогда имеем: , т.е. произвольная окрестность точки содержит некоторую точку из . Таким образом, всюду плотно в . Остается доказать полноту пространства . По построению любая фундаментальная последовательность точек из сходится в к некоторой точке, а именно, к точке , определяемой самой этой последовательностью. Далее, так как всюду плотно в , то для любой фундаментальной последовательности точек из можно построить эквивалентную ей последовательность точек из . Для этого достаточно в качестве взять любую точку из такую, что . Построенная последовательность фундаментальна в и, по определению, сходится к некоторой точке . Но тогда к cходится и последовательность. Теорема полностью доказана.

Похожие:

	Лектор Степин А. М. V семестр Вопросы Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах, теорема Бэра. (К-ф., глава II. 3) Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах, теорема Бэра. (К-ф., глава II. 3)		§1 Представление о пространстве в классической механике В классической механике мы касаемся идеи абсолютного пространства, которое Ньютон принципиально отличает от пространства относительного...
	Лекции  32 часа Экзамен  5 семестр практические(семинарские) занятия  Метрические пространства. Линейные нормированные и банаховы пространства. Теорема о пополнении метрических пространств. Сепарабельность....		Лекция №15 (Теорема 21), [6] Метод покоординатного спуска. Лекция №16 (Теорема 24), [2, 3] Теория двойственности нелинейного программирования. Лекция №4 (Теорема 10, леммы 5, 6, следствия 1 и 2), Лекция №5 (следствие 3),...
	Эвристическая роль философских оснований физико-теоретического знания Этот ряд необходимо дополнить аксиологическим аспектом, который в современной философии физики играет не менее важную роль, чем все...		Антигистаминные средства Гистамин играет важную роль в аллергических реакциях, является медиатором (возбуждения) в цнс
	Топологические пространства функций Изучение топологии поточечной сходимости из-за важности ее приложений в функциональном анализе. Основной объект пространство всех...		Викторина Часть в в какой из «Повестей Белкина» В какой из «Повестей Белкина» картина с видом природы Швейцарии играет важную роль в раскрытии сюжета? Какова эта роль
	Глобус номер 42 (770) от 16 октября 2009 года Российский кинорынок играет особо важную роль для доходов французского кинематографа		Роль информационных технологий при подготовке специалиста О. О. Деева Важную роль здесь играет активное внедрение современных информационных технологий, позволяющих расширить использование технических...