Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом



Скачать 24.61 Kb.
Дата25.11.2012
Размер24.61 Kb.
ТипЗадача
Вопросы к экзамену по функциональному анализу
Обычным шрифтомвопросы с доказательствами, курсивным – без!!!

Пространства


  1. Метрические пространства (определение, пример). ЛНП (определение, пример). Свойства нормы.

  2. Связь между линейными метрическими и нормированными пространствами. Метрика, порожденная нормой, ее свойства.

  3. Неравенства Гельдера для интегралов и для сумм.

  4. Неравенства Минковского для интегралов и для сумм.

  5. ЛНП и МП L_p[a;b], l_p. (Показать, что ЛП, как определяются метрика и норма, почему p>=1).

  6. Полные пространства. (Фундаментальные последовательности и их свойства, определение полного пространства, примеры полных и неполных пространств).

  7. Критерии полноты. (Об абсолютно сходящихся рядах, теорема о вложенных шарах).

  8. Принцип сжимающих отображений.

  9. Пополнение метрического пространства. (Определение, теорема о пополнении).

  10. Пространства со скалярным произведением. (Определение скалярного произведения, свойства. Предгильбертово пространство.).

  11. Х- пространство со скалярным произведением  выполняется правило параллелограмма.

  12. Гильбертовы пространства (примеры пространств, кот. являются и не являются гильбертовыми, предгильбертовыми).

  13. Задача о наилучшем приближении.

  14. Ортогональные элементы и множества в гильбертовых пространствах. Свойства. Теорема о разложении элементов гильбертова пространства на проекции.

  15. Ортогональные и ортонормированные системы. Пример. О линейной независимости ОС. Теорема об ортогонализации.

  16. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Единственность разложения в ряд.

  17. Теорема об экстремальных свойствах частной суммы ряда Фурье. Неравенство Бесселя.

  18. Теорема Рисса- Фишера.

  19. Теорема о характеристических свойствах базиса. (Замкнутые, фундаментальные, полные системы, связь между ними).

  20. О существовании базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве.

  21. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.


Операторы


  1. Линейные и непрерывные операторы, пример, свойства.

  2. Ограниченные операторы. Свойства.

  3. Норма оператора. Пример. Формула для вычисления.

  4. Продолжение по непрерывности линейного ограниченного оператора.

  5. ЛНП L(X,Y). (Как вводятся операции, как определяется норма). Типы сходимости и связь между ними.

  6. Полнота L(X,Y) в смысле равномерной сходимости.

  7. Полнота L(X,Y) в смысле поточечной сходимости.

  8. Геометрический смысл линейного функционала (о гиперплоскости).

  9. Геометрический смысл нормы линейного ограниченного функционала.


  10. Общий вид линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.

  11. Общий вид линейного непрерывного функционала в l_1, c_0, с, l_p, L_p[a;b]. (доказательство для одного пространства на выбор).

  12. Теорема Хана-Банаха.

  13. Обратный оператор. Различные подходы в определении.

  14. Критерий обратимости оператора. Линейность обратного оператора.

  15. Теорема Банаха об обратном операторе.

  16. О существовании обратных ограниченных операторов. ( Критерий. (I-A). (A+ΔA))

  17. Спектр. Резольвента. Свойства.

  18. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Свойства.

  19. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве.

  20. Спектр самосопряженного оператора в гильб.пр.-ве.

  21. Компактные, предкомпактные, вполне ограниченные множества. Их свойства.

  22. Компактные операторы. Их свойства.

Похожие:

Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы к экзамену по функциональному анализу с доказательствами
Метрические пространства (определение, пример). Лнп (определение, пример). Свойства нормы
Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы к контрольной работе по функциональному анализу

Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы по Функциональному анализу
Сходимость в метрическом пространстве. Полнота множества. Пополнение метрического пространства
Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы по функциональному анализу (экзамен)
Полные метрические пространства: определение, примеры, контрпримеры, признаки, критерий полноты
Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы к теоретической части контрольной работы №3 по функциональному анализу
Теорема об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве
Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003

Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconОтчет команды "Вечная молодость"
Обычным шрифтом описываю реальную информацию, полученную нами на острове. Курсивом мои догадки и предположения
Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, вычисление и физический смысл. Пример
Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Определение дифференцируемости функции. Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью (с док-вом)
Вопросы к экзамену по функциональному анализу Обычным шрифтом iconВопросы к экзамену по математическому анализу для 1 курса д/о
Различные формулировки свойства непрерывности множества действительных чисел, их эквивалентность
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org