Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ»



Скачать 73.26 Kb.
Дата25.11.2012
Размер73.26 Kb.
ТипВопросы к экзамену
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» для направления «прикладная математика и информатика».

Лектор – профессор Павленко В.Н.

  1. Метрика на множестве, метрическое пространство. Примеры метрических пространств: С () ( - ограниченная область в ; , , К=R V C; пространство всех последовательностей S; и , - ограниченная область в ).

  2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве. Критерии сходимости последовательностей в конкретных пространствах: в , - ограниченная область в , , , S.

  3. Фундаментальные последовательности в метрических пространствах. Полные метрические пространства. Полнота , , , . Примеры не полных матрических пространств.

  4. Изометричность метрических пространств. Теорема о пополнении матрических пространств.

  5. Топология метрических пространств: топология на множестве, открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве, их свойства. Примеры.

  6. Классификация точек метрического пространства по отношению к множеству в нем: внутренняя, внешняя, граничная, предельная.

  7. Замыкание множества, критерии замкнутости множества в метрическом пространстве.

  8. Всюду плотные множества в метрическом пространстве, сепарабельные метрические пространства. Сепарабельность gif" name="object20" align=absmiddle width=55 height=20>, , , несапарабельность . Нигде не плотные множества, множества первой и второй категории.

  9. Теорема о полных метрических пространствах: принцип вложенных шаров, теорема Бэра о категориях, принцип сжимающих отображений и следствие из него.

  10. Приложения принципа сжимающих отображений: а) к нахождению корней функции; б) к решению систем линейных алгебраических уравнений; с) к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений; д) к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и Вольтера.

  11. Компактные множества в метрическом пространстве. Эквивалентность двух определений компактного множества в метрическом пространстве.

  12. Лемма Рисса. Некомпактность замкнутого шара в бесконечномерном нормированном пространстве.

  13. Предкомпактные множества в метрическом пространстве, их ограниченность и связь с компактными множествами.

  14. Критерий предкомпактности Хаусдорфа и следствия из него.

  15. Критерии предкомпактности в конкретных пространствах: а) в ; б) в (теорема Арцела); с) в , ; д) в , .

  16. Свойства функций непрерывных на компактах в метрических пространствах: а) равномерная непрерывность; б) ограниченность; с) теорема Вейерштрасса.

  17. Норма на линейном пространстве и индуцируемая ею метрика. Нормированные пространства, банаховы пространства, примеры. Эквивалентность норм.

  18. Линейный оператор на линейном пространстве. Линейный ограниченный оператор в нормированных пространствах, его норма и ее свойства. Эквивалентность непрерывности и ограниченности для линейного оператора.

  19. Пространство линейных ограниченных операторов (X,Y – нормированные пространства), теорема о полноте .

  20. Линейные ограниченные функционалы на нормированном пространстве Е, сопряженное с Е пространство Е*.

  21. Основные принципы линейного функционального анализа: 1) принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха-Штейнгауса); 2) теорема Банаха о гомеоморфизме; 3) теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала.

  22. Равномерная и сильная сходимости последовательности линейных ограниченных операторов. Полнота L(X,Y) (X, Y - банаховы) относительно сильной сходимости операторов.

  23. Теорема о непрерывном продолжении плотно заданного линейного ограниченного оператора на все пространство.

  24. Понятие о замкнутом линейном операторе. Теорема об ограниченности замкнутого оператора, заданного на всем пространстве.

  25. Следствия из теорема Хана-Банаха для нормированных пространств.

  26. Теорема об отделимости выпуклых множеств в вещественном линейной пространстве.

  27. Теорема о строгой отделимости точки от выпуклого замкнутого множества в нормированном пространстве.

  28. Скалярное произведение на линейном пространстве, неравенство Коши-Буняковского, норма индуцируемая скалярным произведением, косинус угла между векторами, ортогональные векторы. Гильбертово пространство, примеры: , , - ограниченная область в .

  29. Теорема о проекции точки на выпуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве.

  30. Разложение гильбертова пространства в сумму двух ортогональных подпространств. Оператор ортогонального проектирования на замкнутое подпространство и его свойства.

  31. Ортогональные последовательности в гильбертовом пространстве, коэффициенты Фурье и ряд Фурье по таким системам для элемента гильбертова пространства. Минимальное свойство коэффициентов Фурье, неравенство Бесселя.

  32. Эквивалентность полноты и замкнутости ортогональной последовательности. Равенство Парсеваля. Существование ортонормированного базиса в сепарабельной гильбертовом пространстве. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.

  33. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве. Отождествление гильбертова пространства с его сопряженным.

  34. Общий вид линейного ограниченного функционала на . Описание пространств , .

  35. Функции с ограниченной вариацией и абсолютно непрерывные функции, их свойства, примеры. Интеграл Римана-Стильтьеса и его свойства. Пространство функций с ограниченной вариацией .

  36. Общий вид линейного ограниченного функционала на С (а, в). Отождествление С*(а,в) с .

  37. Изоморфное каноническое вложение Е в Е**. Рефлексивные пространства. Примеры. Критерий рефлексивности банахова пространства.

  38. Слабая сходимость последовательностей в нормированном пространстве и * - слабая в сопряженном пространстве, связь с сильной сходимостью. Ограниченность слабо (* - слабо) сходящейся последовательности. Действие линейного ограниченного оператора на слабо сходящуюся последовательность.

  39. Критерий слабой сходимости последовательности.

  40. Критерии слабой сходимости последовательности в и С(а,в).

  41. Слабо замкнутые множества в нормированном пространстве. Теорема Мазура и следствия из нее.

  42. Теорема о * - слабой компактности замкнутого шара в Е* (Е – сепарабельное банахово пространство).

  43. Сопряженный оператор А* для линейного ограниченного оператора А, доказательство равенства . Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Примеры.

  44. Резовельвентное множество и спектр линейного оператора. Примеры.

  45. Вполне непрерывные операторы в банаховом пространстве, их свойства, примеры. Теорема Фредгольма.

  46. Конструкция Лебеговского продолжения счетно-аддитивной меры с полукольца. Примеры: мера Лебега в , меры Лебега-Стильтьеса на прямой.

  47. Пусть -алгебра подмножеств Х, т.е. (Х, ) – измеримое пространство. Эквивалентные определения – измеримости функции . Свойства множества – измеримых функций на Х. Пусть счетно-аддитивная мера на . Что означает эквивалентность -измеримых функций? Различные типы сходимости последовательностей -измеримых функций (равномерная, почти всюду, по мере), связь между ними. Теоремы Егорова и Лузина.

  48. Пусть () измеримое пространство с мерой. Интеграл Лебега по множеству конечной меры и бесконечной меры. Свойства интеграла Лебега.

  49. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла: Леви, Лебега и Фату.

  50. Прямое произведение мер. Теорема Фубини.


Задачи к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» для направления «прикладная математика и информатика».

  1. Привести пример полного метрического пространства Х и отображения такого, что , но у которого нет неподвижных точек.

  2. Доказать, что компактное множество в бесконечном банаховом пространстве является нигде не плотным множеством.

  3. Может ли в полном метрическом пространстве последовательность вложенных замкнутых шаров иметь пустое пересечение?

  4. Всегда ли в метрическом пространстве Х замыкание открытого шара совпадает с замкнутым шаром ?

  5. Пусть и . Показать, что выполнены аксиомы метрического пространства. Будет ли метрическое пространство полным? Если нет, то найти его пополнение.

  6. Является ли сепарабельным пространство с нормой ?

  7. Является ли сепарабельным пространство с нормой ?

  8. Доказать, что в конечном пространстве все нормы эквиваленты.

  9. Пусть множество непрерывных на функций с нормой . Какие из неравенств



являются верными, а какие неверными и почему?

  1. Пусть множество непрерывных на функций с нормой . Какие из неравенств



являются верными, а какие неверными и почему?

  1. Являются ли расстояния в метрическом пространстве непрерывной функцией аргумента х? Является ли это расстояние равномерно относительно у непрерывной функцией аргумента х?

  2. Является ли норма в нормированном пространстве непрерывной функцией аргумента х? Является ли это расстояние относительно у непрерывной функцией аргумента х?

  3. Пусть Н-гильбертово и . Тогда в и .

  4. Пусть Е нормированное пространство, и . Тогда .

  5. Построить в слабо сходящуюся последовательность, которая сильно не сходятся.

  6. Пусть Н – бесконечномерное гильбертово пространство, и существует С>0 такое, что . Может ли оператор А быть компактным?

  7. Записать в виде интеграла Римана-Стильтьеса и вычислить нормы следующих функционалов на : а) ; b) ; c) ; d)

  8. Доказать, что фунционал является ограниченным линейным функционалом на . Заключить из этого примера, что С(0,1) не рефлексивно.

  9. Может ли тождественный оператор в бесконечном банаховом пространстве быть вполне непрерывным?

  10. Может ли вполне непрерывный линейный оператор в бесконечномерном банаховом пространстве иметь ограниченный обратный?


Перечень основной литературы:


  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2006.

  2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Наука, 1982.


Перечень дополнительной литературы:


  1. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболев Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Физматлит, 2005.

  2. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

Похожие:

Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconВопросы к экзамену по дисциплине «математический анализ»
Вопросы к экзамену по дисциплине «математический анализ» для специальности 090105. 65( 075500, бас)
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconВопросы к экзамену Функциональный анализ. 14. 12. 10
Определение и свойства нормы в линейном пространстве. Примеры нормированных пространств. Полные пространства
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconРабочей программы по дисциплине «Функциональный анализ» Дисциплина «Функциональный анализ»
В. од. 3 учебного плана бакалавров направления подготовки 010400 Прикладная математика и информатика. Дисциплина реализуется на инженерно-экономическом...
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconПрограмма вступительного экзамена по специальности вещественный, комплексный и функциональный анализ
В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: математический анализ, теория функций комплексного переменного, функциональный...
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconВопросы к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения, теория функций и функциональный анализ»
Общее решение, общий интеграл. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, их общее решение и общие интегралы
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconВопросы к экзамену по дисциплине «Многообразия Зейферта»
Вопросы к экзамену по дисциплине «Многообразия Зейферта» для группы мм-401 (2011-2012 уч год)
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconРабочая программа дисциплины Функциональный анализ Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика
Дисциплина «Функциональный анализ» находится в цикле Б. 2 Математический и естественнонаучный цикл (Базовая часть)
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconВопросы к экзамену по курсу «Математический анализ»
Вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ» для студентов I курса, обучающихся по специальности «Математика»
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconВопросы к экзамену по дисциплине «модели и методы анализа проектных решений»
Корреляционно-регрессионный анализ. Понятие выборки, ошибки. Доверительный интервал и доверительная вероятность
Вопросы к экзамену по дисциплине «Функциональный анализ» iconВопросы к зачёту и экзамену по дисциплине «Экономика организации (предприятия)»
Вопросы к зачёту и экзамену по дисциплине «Экономика организации (предприятия)» для групп 2БД, 2Э, 2зио, 1зЭ
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org