Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности



Скачать 54.29 Kb.
Дата25.11.2012
Размер54.29 Kb.
ТипЗадача
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики»,

посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности
С.И. Кабанихин*, Г. Даирбаева**


* ИМ СО РАН

пр. Ак. Коптюга,4,

630090 Новосибирск, Россия

E-mail: kabanikhin@math.nc.ru

** КазНУ им.аль-Фараби

ул. Масанчи, 39/42,

050012 Алматы, Казахстан

E-mail: dairbaeva@kazsu.kz


1. Постановка задачи. В работе рассматривается одномерное уравнение теплопроводности
(1)
с начально-краевыми условиями
(2)
(3)
. (4)
Обычно под прямой задачей понимают нахождение решения задачи (1)-(4) по заданным функциям .

Пусть выполняются следующие условия


содержит область значений при всех достаточно малых вариациях . В данном случае область определения функций фиксирована, поскольку в силу принципа максимума [1]


.
Тогда существует решение задачи (1)-(4) [1].

Однако не всегда коэффициенты заранее определены.
Чаще возникает ситуация, когда они подлежат определению по некоторой дополнительной информации. Такие задачи называются коэффициентными обратными задачами для уравнения теплопроводности.

В настоящей статье рассматривается коэффициентная обратная задача в следующей постановке: по известным найти пару функций так, чтобы выполнялось дополнительное условие
, (5)

где некоторые известные функции. Пусть - кусочно-гладкая функция.

Задача определения (1)-(4) является некорректной, поскольку она неустойчива по отношению к малым изменениям функции . Вследствие чего при применении численных методов возникает проблема накопления погрешности. Чтобы избежать указанную трудность, вместо решения некорректной задачи (1)-(4) приходится привлекать устойчивые начально-краевые задачи для того же уравнения теплопроводности [2]-[4].

В качестве корректной задачи может выступать задача (1)-(4) при заданном коэффициенте .

Таким образом, возникает оператор:

,

связывающий с : , . Исследование свойств оператора и его сопряженного оператора позволяет применить вариационные методы для нахождения приближенного решения обратной задачи (1)-(5). Подобный подход применялся в работах С.И. Кабанихина и его учеников [2]-[4]. В данной работе обратная задача (1)-(5) решается градиентным методом спуска.
2. Вариационная постановка задачи нахождения коэффициента .
Требуется минимизировать функционал

. (6)

где - решение задачи (1)-(4), соответствующее коэффициенту . Здесь фиксированное число.

Минимизацию указанного функционала проводим по следующему алгоритму:

  1. Выбираем произвольное начальное значение коэффициента .

  2. Решаем прямую задачу (1)-(4) с коэффициентом и находим ее решение .

  3. Вычисляем значение функционала по формуле (6).

  4. Необходимо выбрать так, чтобы выполнялось неравенство .

  5. Цикл повторяем до тех пор, пока , где заданная точность.

Для выбора необходим оптимальный выбор .
3. Обоснование оптимального выбора .
Пусть . Обозначим решения задачи (1)-(4) с коэффициентами соответственно. Удобно ввести обозначение . Найдем задачу, которой удовлетворяет . Для этого запишем задачу (1)-(4) c коэффициентом , используя введенные обозначения
(7)
(8)
(9)
(10)
В силу принципа максимума

а значит функции
,
и эти функции определены при любых . Решение задачи (7)-(10) . Так как , то отсюда следует, что .

Используем в (7) следующие разложения
,
где .

Тогда для нетрудно получить следующую задачу
(11)

,
(12)
. (13)
Пусть , тогда имеет место оценка
,
где .

Используя равенство



и отбрасывая в (11) величины высшего порядка малости , запишем окончательно задачу для
(14)
(15)
. (16)
Рассмотрим функцию , производная по которой может иметь разрывы первого рода при . Умножим (14) на и проинтегрируем по области



Для применения формулы интегрирования по частям, разобьем на следующие интегралы
(17)

.
Интегралы в (17) проинтегрируем необходимое число раз



(18)




Пусть удовлетворяет условиям
(19)

(20)



, (21)
где .

Тогда равенство (18) можно упростить с учетом условий (15), (16), (20), (21)

, (22)
где - скачок функции в точке .

Пусть удовлетворяет дополнительному условию
(23)

Рассмотрим разность функционалов с учетом введенных обозначений






.

Отсюда с учетом соотношений (22), (23) приходим к представлению



Теперь выбираем так, чтобы выполнялось условие , тогда .
Список литературы


    1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., Наука, 1967.

    2. Kabanikhin S.I., Koptyug I.V., Iskakov K.T., Sagdeev R.Z. Inverse problem for diffusion transport of water upon single pellet moisture sorbition. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation Shanghai Universitet v.1, 2000, pp.31-42.

    3. Koptyug I.V., Kabanikhin S.I., Iskakov K.T., Fenelonov V.B., Khitrina L.Yu., Sagdeev R.Z. and Parmon V.N. A quantitative NMR imaging studi of mass transport in porous solids during drying. Chemical Engineering Science, Pergamon v.55, 2000. pp. 1559-1571.

    4. Kabanikhin S.I., Koptyug I.V., Iskakov K.T. and Sagdeev R.Z. Inverse problem for a quasilinear equation of diffusion. Journal of Inverse and Ill-Posed Problem (1998) vol. 6(4), The Netherlands, Utrecht, pp. 335-352.






Похожие:

Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Об одном методе решения задачи Коши для гармоничнего уравнения
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Продолжение решения неоднородной системы уравнений Коши-Римана
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Аналитическое продолжение рациональными функциями
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org