«n-мерный вектор и векторное пространство»



Скачать 54.19 Kb.
Дата25.11.2012
Размер54.19 Kb.
ТипДокументы
Тема: «N-МЕРНЫЙ ВЕКТОР И ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО»

Понятие «вектор» можно обобщить в двух направлениях: 1) перейти от 2 – х, 3 – х мерного пространства к n – мерному. 2) под словом вектор понимать не только наглядный геометрический образ, но и многие другие объекты. Важно только, чтобы их можно было складывать и умножать на число. Например, полином Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an - вектор. Сложение полиномов и умножение их на число приводит к полиному такого же порядка.


Опр. Множество L называется линейным пространством, а его элементы векторами, если определены : а) операция сложения (вычитания) двух векторов такая, что х L, у L х + у L , где х, у - векторы; б) операция умножения вектора на число такая, что х L, R х L

Эти линейные операции удовлетворяют аксиомам :

  1. X + Y = Y + X 5) (X + Y) = X + Y

  2. (X + Y) + Z = X + (Y + Z) 6) ( + ) X = X + X

  3. X + O = X 7) (gif" name="object19" align=absmiddle width=19 height=18> X) = ()X

  4. X + (-X) = 0 8) 1 X = X

Важнейшее свойство векторов - линейная зависимость.

Опр. Система из n векторов наз. линейно-зависимой, если существует такой набор коэффициентов i 0 , что хi = 0 . В противном случае векторы линейно независимы.

Опр. Базисом в пространстве L наз. система линейно независимых векторов в максимальном количестве.

Опр. Линейное пространство с базисом из n векторов наз. n - мерным (Rn), а число n - размерностью пространства

Если в n - мерном пространстве (Rn) задан базис e1 , e2 , e3 , . . . , en , то любой другой вектор х L можно представить в виде

x = 1e1 + 2e2 + . . . + nen,

где коэффициенты разложения 1 , 2 , . . . , n определяются как координаты вектора в данном базисе. Операция сложения двух векторов, по определению, сводится к сложению соответствующих координат x = {1 , 2 , . . . , n} , y = {1 , 2 , . . , n}

x + y = {1 +1 , 2 +2 , . . . , n +n }

а умножение вектора x на число к увеличению его координат в раз

x = {1, 2, . . . , n}

Пр. Множество полиномов Pn(x) образуют линейное пространство размерности (n + 1), т.к. базисом в нем являются вектора xn, xn-1, . . . , x , 1 .
Евклидово пространство E.

  1. Линейное пространство L наз. евклидовым пространством Е, если в пространстве L определена операция скалярного произведения двух векторов.

  2. Скалярным произведением двух n - мерных векторов х и у наз. число = x y =

= xi yi , где xi - координаты вектора х , а yi - координаты у.

  1. Длиной (модулем) вектора х наз. число | x | = [(xi)2 ]1/2

  2. Векторы х и у наз. ортогональными , если x y = 0 .

  3. Угол между векторами х и у в n - мерном пространстве вычисляется по формуле cos (x^y) = x y / |x| |y|


Базис на плоскости и в пространстве.
Опр. Вектор а является линейной комбинацией векторов а1 , а2 , а3 , .... , аn если он представляется как сумма этих векторов с некоторыми коэффициентами хi 0

а = х1 а1 + х2 а2 + . . . + хn аn

Опр. Если любой из имеющихся векторов а1 , а2 , . . . аn можно представить как линейную комбинацию остальных векторов, то такие вектора наз. линейно зависимыми. Условие линейной зависимости n векторов: В противном случае векторы линейно независимы
Исследование линейной зависимости векторов.

  1. Два коллинеарных вектора смещаются на одну прямую и всегда линейно зависимы, т.к. условие коллинеарности а = kb есть условие линейной зависимости a - kb = 0.

  2. Два неколлинеарных вектора смещаются на одну плоскость и всегда линейно независимы. (Иначе, они были бы коллинеарны.)

  3. Три компланарных вектора смещаются на одну плоскость и всегда линейно зависимы.

Теорема. Любой вектор m на плоскости можно представить в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов а и в: m = xa + yb .

Доказательство. Совместим начала векторов m, a, b , проведем линии через а и в и построим на них параллелограмм с диагональю m . Тогда т = , но = ха, = уb и т = ха + уb. Отсюда условие линейной зависимости m - xa - yb =0.

  1. Три некомпланарных вектора в пространстве всегда линейно независимы. (Иначе, они были бы компланарными.)

  2. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.


Теорема. Любой вектор m в пространстве можно представить в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов а, в, с: m = xa + yb + zc

Доказательство аналогично предыдущему для параллелепипеда построенного на векторах а, b, с.
Факт почти всеобщей линейной зависимости векторов позволяет ввести удобный, алгебраический способ для определения ориентации любых векторов на плоскости и в пространстве. Достаточно ввести набор нескольких базовых векторов, а все остальные вектора сравнивать с ними и представлять в виде их линейной комбинации.
Опр. Базисом на плоскости являются два любые неколлинеарные вектора, взятые в определенном порядке, а базисом в пространстве - три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Пусть e1 , e2 , e3 - базис в пространстве, тогда m = k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 .

Каждому m соответствует свой набор коэффициентов.

Опр. Координатами вектора в данном базисе наз. коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса т = {k1 , k2 , k3 }.
Пример . Показать, что векторы a = i + j + 4k, b = i – 2j, c = 3i – 3j + 4k компланарны и найти линейную зависимость между ними.

Решение. Проверим условие компланарности трех векторов (19)

abc = = 0.

Оно выполняется. Определим линейную зависимость a, b, c. Для этого представим а как линейную комбинацию остальных векторов a = xb + yc и вычислим коэффициенты x, у. Детально распишем это равенство

i + j + 4k = x(i – 2j) + y(3i – 3j + 4k) = (x + 3y)i + (–2x – 3y)j + 4yk.

Из равенства векторов следует равенство их координат, что приводит к системе трех уравнений для двух неизвестных х и у.

x + 3y = 1 Из 3-го уравнения получаем y = 1, а из 1-го x = –2.

–2x – 3y = 1 Эти решения удовлетворяют и 2-му уравнению (1 = 1).

4y = 4 Значит система не противоречива, имеет единственное решение и условие линейной независимости векторов принимает вид: a + 2bc = 0.

Похожие:

«n-мерный вектор и векторное пространство» icon§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
В результате по­лучается так называемое двойное векторное произведение [[ab] с] (ясно, что [[ab] с] — вектор). Умножая вектор а векторно...
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
«n-мерный вектор и векторное пространство» icon§ 32. Векторное произведение векторов
...
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconДифференциальная геометрия. Глава Линии в евклидовом пространстве
Пусть трехмерное точечное пространство, геометрическое векторное пространство. Множества будем называть промежутком и обозначать....
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconЛекция №1 (12. 02. 10) Глава Линейное пространство § Вектор-столбцы
Определение Матрица размера (s, 1) (т е состоящая из одного столбца) называ­ется матрицей-столбцом, или вектор-столбцом
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconЛинейные преобразования
Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее...
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconЛекция Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Основные вопросы. Скалярное произведение двух векторов
В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное или векторное. Результатом скалярного умножения...
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconП-мерное векторное пространство
Выше было введено определение п-мерного вектора, как упорядоченного множество п чисел
«n-мерный вектор и векторное пространство» iconП-мерное векторное пространство
Выше было введено определение п-мерного вектора, как упорядоченного множество п чисел
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org