Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2



Скачать 66.62 Kb.
Дата25.11.2012
Размер66.62 Kb.
ТипЗадача
КИНЕМАТИКА. Мещерский И.В. (продолжение).
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид

x=2t; y=t2.

Заданные уравнения можно рассматривать как компоненты смещения, одинаковые для всех частиц тела. Тогда уравнения движения частиц тела имеют вид

; .

Компоненты скорости и ускорения движения учитывая его поступательный характер, также одинаковы для всех частиц

; ; ; .

В соответствии с уравнением (1.11.14) для кривизны в любой момент времени находим

.

Отсюда для начального момента времени находим R0 = 2 м.
354. Определить скорость и ускорение, построить кривые смещений и пройденного пути для частицы твердого тела, уравнения движения которой имеют вид

; .

Начальные координаты точки , . Уравнения движения для произвольной частицы

; .

Компоненты скорости и ускорения для всех частиц одинаковы, как и для рассматриваемой в условиях задачи

; ;

; .

Путь, пройденный частицей от начала движения, определяет интеграл от абсолютного значения скорости

.

Для диапазона получаем

.


Максимальный на данном интервале времени путь составляет , так как точка движется вдоль прямой, расположенной в первой четверти и равнонаклоненной к осям координат (см. задачу 312-3).
390. Найти горизонтальную скорость, которую нужно сообщить телу, находящемуся на экваторе, для того чтобы оно, двигаясь равномерно вокруг Земли по экватору в особых направляющих, имело (центростремительное, точнее радиальную компоненту) ускорение, равное ускорению свободного падения. Определить также время Т, по истечению которого тело вернется в первоначальное положение. Радиус Земли R = 637*106 см, а ускорение силы тяжести на экваторе g = 978 см/с2.
В случае вращения тела относительно начала координат основные уравнения имеют вид

; ;

; ;

;

.

Траекториями являются дуги окружностей

.

При равномерном вращении для компонент ускорений получаем

; или .

Отсюда следует, что в любой момент времени вектор ускорения направлен по радиусу к центру вращения, а модуль вектора ускорения пропорционален квадрату угловой скорости и радиусу вращения

.

С учетом выражения для квадрата скорости (вектор направлен по касательной к окружности, т.е. ортогонально радиусу)

,

модуль вектора ускорения можно записать в виде частного квадрата скорости и радиуса кривизны траектории

.

Пользуясь этой формулой, для заданных условий получаем

, .
2344. По подвижному радиусу диска от центра к ободу движется точка М с постоянной скоростью =v. Подвижный радиус поворачивается в плоскости диска с постоянной скоростью =. Плоскость диска вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью = . Найти абсолютную скорость точки М, считая, что при t=0 точка М находилась в центре диска, а подвижный радиус был направлен по оси вращения диска.
Ответ .
Совместим начало координат с центром диска, ось «z» - с осью вращения подвижного радиуса в плоскости диска, ось «у» - с осью вращения диска. Совмещенное движение можно рассматривать как суперпозицию трех движений: поступательное движение точки М вдоль радиуса (в исходном состоянии вдоль оси «у»)

; ; , (a)

вращение подвижного радиуса в плоскости диска (относительно оси «z»)

; ; , (b)

вращение диска относительно оси «у»

; ; . (c)

Уравнения движения после суперпозиции первых двух движений

; ; , (d)

и после наложения вращения относительно оси «у»

;

; (1)

.

Матрица обобщенных координат

. (2)

соответствует движению абсолютно твердого тела (отсутствие деформаций).

Компоненты скорости совмещенного движения

+

+;

; (3)

+

+.

Приведенные уравнения определяют положение и скорости любой частицы абсолютно твердого тела, в объеме которого находится точка М. Для точки М, с учетом её лагранжевых координат (0, 0, 0) получаем

+;

;

.

Модуль абсолютной скорости с указанными проекциями (после преобразований)

.

Для использованных в условии задачи обозначений получаем (совпадает с ответом)

.

Ускорения совмещенного движения следуют из уравнений (3) после дифференцирования их по времени. С учетом принятой выше формы записи уравнений (через угловые смещения , и линейную скорость v) для более общего случая изменения угловых скоростей, т.е. принимая переменными , получим

+

+ -

-

+

+

;

;

+

+







.

Если принять угловые скорости постоянными, как оговорено в условии, тогда первые два (одно для ytt) слагаемые обращаются в 0. Для указанной в условии точки М получаем:



;

;



.

Выражение для модуля ускорения в рассматриваемом общем случае принимает достаточно громоздкий вид. Целесообразно проводить анализ процесса численными способами. Переход к обозначениям задачника указан в условиях.
Если изменить направление вращения, например, относительно оси «у», на обратное, т.е. угол будет отрицательным, но учитывать его значения только по модулю, тогда решение для рассматриваемой задачи, начиная с уравнения (с) и далее будет иметь вид

вращение диска относительно оси «у»

; ; . (c)

Уравнения движения после суперпозиции первых двух движений

; ; , (d)

и после наложения вращения относительно оси «у»

;

; (1)

.

Матрица обобщенных координат

. (2)

соответствует движению абсолютно твердого тела (отсутствие деформаций).

Компоненты скорости совмещенного движения

+

+;

; (3)

+

+.

Приведенные уравнения определяют положение и скорости любой частицы абсолютно твердого тела, в объеме которого находится точка М. Для точки М, с учетом её лагранжевых координат (0, 0, 0) получаем

+;

;

+.

Модуль абсолютной скорости с указанными проекциями (после преобразований)

.

Для использованных в условии задачи обозначений получаем (совпадает с ответом)

.

Ускорения совмещенного движения следуют из уравнений (3) после дифференцирования их по времени. С учетом принятой выше формы записи уравнений (через угловые смещения , и линейную скорость v) для более общего случая изменения угловых скоростей, т.е. принимая переменными , получим

+

+ -

-

+

+

;

;

+

+ +

+

+

+

.

Если принять угловые скорости постоянными, как оговорено в условии, тогда первые два (одно для ytt) слагаемые обращаются в 0. Для указанной в условии точки М получаем:



;

;



.

Выражение для модуля ускорения в рассматриваемом общем случае принимает достаточно громоздкий вид. Целесообразно проводить анализ процесса численными способами. Переход к обозначениям задачника указан в условиях.





Похожие:

Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconЛабораторная работа №6 определение радиуса кривизны вогнутой поверхности
Цель работы: изучить законы движения катающегося по сферической вогнутой поверхности шарика, рассмотреть условия его гармонических...
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 icon2. контрольная расчетная работа по кинематике
Для определения скорости и ускорения точки следует найти их проекции на координатные оси. Используя найденные значения скорости и...
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconПрямолинейного движения. I. Координатный способ описания движения
Уравнение движения материальной точки имеет вид: x(t) = 8t – 2 Найдите координату точки через 6 с и путь, пройденный ею за это время....
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconПравила сложения сил. Теорема о трех пересекающихся силах. Вычисление момент силы относительно точки. Условия равенства нулю момента силы относительно точки
Определение закона движения, траектории, переход от закона движения к уравнению траектории
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconЗадача 2 Точка движется согласно уравнениям: х = 5 cost; y = 3 5,0
Точка движется согласно уравнениям: х = 2 t2 + 5,0; y= 1 t2 + 3,0; z=0, где х, у, z – в метрах, t – в секундах. Найти траекторию...
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconПростейшими видами движения абсолютно твердого тела являются поступательное и вращательное движения
Мгновенная скорость материальной точки при поступательном движении определяется, как Вектор скорости направлен по касательной к траектории...
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconДинамика космического полета
Невозмущенное движение (задача двух тел). Уравнения движения. Первые интегралы движения (вывод интеграла энергии ). Характер движения...
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconЗадача Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось Х) имеет вид Х = а + Bt + с t
Задача Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось Х) имеет вид Х = а + Bt + Сt2, где
Задача 353. Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения её движения имеют вид x=2t; y=t 2 iconРасчетно-графическая работа №1
Скорость и ускорение точки в проекциях на декартовы и естественные оси координат. Построение траектории точки, графиков скорости...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org