Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики»



Скачать 336.98 Kb.
страница1/2
Дата26.11.2012
Размер336.98 Kb.
ТипОтчет
  1   2
Сибирское отделение Российской академии наук

Институт вычислительного моделирования

Промежуточный отчет за 2009 год

по выполнению проекта № 89

«Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток

для решения задач математической физики»

фундаментальных исследований, выполняемых совместно

с организациями национальных академий наук стран СНГ, Монголии и Китая

Координатор проекта со стороны ИВМ СО РАН

член-корреспондент РАН В.В. Шайдуров

Координатор проекта со стороны Института

вычислительной математики и научных-инженерных

расчетов Китайской академии наук академик КАН Чун Лин

Координатор проекта со стороны

Сибирского федерального университета профессор Ю.Я. Белов

Организации- исполнители:

Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск

Институт вычислительной математики и научных-инженерных

расчетов Китайской академии наук, г. Пекин

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск

Красноярск – 2009

Введение

В течение первого года выполнения проекта проведены следующие исследования.

Совместно с китайскими учеными получены опорные разложения для обоснования экстраполяции Ричардсона с целью повышения точности метода конечных элементов в трехмерных задачах математической физики.

Установлены оценки скорости сходимости и экономичности многосеточных итерационных алгоритмов для решения сеточной задачи, полученной дискретизацией эллиптического уравнения второго порядка с помощью кусочно-линейных элементов на треугольниках с использованием численного интегрирования и для квадратичных конечных элементов.

Проанализирована с точки зрения численного решения математическая модель расчета и прогноза формирования стока талых и дождевых вод с учетом влияния регулируемого расхода на гидроэлектростанциях. Эта модель в единой форме охватывает огромную территорию водостока и само русло, рельеф которых и данные по стоку должны формироваться с учетом спутниковых данных и наземных наблюдений.

Проведено исследование эффективности нескольких параллельных реализаций алгоритма численного решения краевой задачи для уравнений мелкой воды, выполненных с помощью библиотеки MPI для языка Cи.

Реализована компьютерная модель на основе уравнений Навье-Стокса для вязкой сжимаемой среды, позволяющая рассмотреть геодинамические процессы расширения, сжатия, разогревания и охлаждения Земли на геологических временах. На этой сферически-симметричной одномерной модели отработаны основные численные методы и алгоритмы для перехода к двумерным и трехмерным постановкам.


В Пекине совместно с китайским партнером – Институтом вычислительной математики и научных-инженерных расчетов Академии наук Китая (г. Пекин) при активном участии Аэрокосмического (Beihang) университета (г. Пекин) проведена Китайско-Российская научная конференция ”Эффективные вычислительные методы для решения задач математической физики” в Пекине с 18 по 25.09.2009 г.

Проработаны основы годового курса «Параллельное программирование» и полугодового курса «Особенности разработки параллельных приложений» для новых магистерских программ. Проработаны основы использования возможностей обучающего компьютерного тестирования как инструмента индивидуализации траектории обучения, позволяющего повысить эффективность автоматизированного обучения.

1. Повышение порядка точности решений сеточных задач.

Совместно с китайскими учеными получены опорные разложения для выполнения и обоснования экстраполяции Ричардсона с целью повышения точности метода конечных элементов в трехмерных задачах математической физики.

Для их иллюстрации рассмотрим единичный куб Ω = (0, 1) × (0, 1) × (0, 1). Разобъем его плоскостями x = xi, (x0 = 0 < x1 < … < xn = 1); y = yj, (y0 = 0 < y1 < … < yn = 1); z = zk, (z0 = 0 < z1 < … < zn = 1), на ячейки eijk = [xi, xi+1] × [yj, yj+1] × [zk, zk+1]. Доказаны разложения, справедливые на каждой ячейке e с размерами he, ke, le, вида
(1)

(2)

Здесь u, v – достаточно гладкие функции, а uI – трилинейный интерполянт функции u. В целом на области Ω при суммировании по всем составляющим ячейкам получаются разложения вида

(3)

(4)

Для иллюстрации их дальнейшего применения рассмотрим следующий методический пример. Пусть решается уравнение Пуассона на Ω:





Разделим область Ω на ячейки с равномерным шагом h по x, y, z. С помощью метода конечных элементов для трилинейных элементов на кубических ячейках получаем сеточную задачу Бубнова-Галеркина. Решая ее, находим приближенное решение uh. С учетом разложений вида (3) - (4) удается теоретически обосновать разложение

uh = u + h2 w + h4 ξh

с гладкой функцией w, не зависящей от h, и ограниченной функцией ξh.

Если помимо решения uh найти решение uh/2 такой же сеточной задачи с вдвое меньшим шагом, то путем их гладкого восполнения и линейной комбинации получается экстраполированное решение uext с точностью O(h4).

Таким образом, путем решения одной и той же сеточной задачи метода конечных элементов с двумя параметрами сетки h и h/2 получаются два решения uh и uh/2 с точностью O(h2), а их более гладкое восполнение и линейная комбинация дают точность на два порядка выше.

Например, такой же порядок точности можно достигнуть с трикубическими конечными элементами, которые соответствуют сборке матрицы жесткости и решению куда более сложной сеточной задачи как в вычислительном плане, так и в алгоритмическом.

Эти результаты обобщены на случай прямоугольных сеток, неравномерных по каждому из направлений x, y, z.

У решений (собственных функций) трехмерной спектральной краевой задачи Дирихле для уравнения

–Δ u + a u = λ b u

в прямоугольной области при достаточно гладких функциях a, b обоснована повышенная гладкость, несмотря на наличие угловых точек и двугранных углов. В отличие от двумерного случая, где условия согласования для обеспечения повышенной гладкости имеют простой и конечный вид, в трехмерном случае таких условий бесконечно много. В итоге, повышение гладкости выведено на основании других свойств задачи, без проверки условий согласования. Использование повышенной гладкости открывает возможность использования указанного выше приема увеличения порядка сходимости приближенных решений метода конечных элементов.
2. Исследование сходимости многосеточных итерационных алгоритмов.

Продолжены исследования сходимости многосеточных методов для квадратичных конечных элементов. Обоснована сходимость полного многосеточного метода на основе симметричного V-цикла для решения сеточной задачи, полученной дискретизацией эллиптического уравнения второго порядка с помощью квадратичных элементов на треугольниках, в том числе, криволинейных. Доказана экономичность этого алгоритма, состоящая в линейной зависимости числа арифметических операций от количества неизвестных для определения приближенного решения с точностью, совпадающей по порядку с погрешностью аппроксимации. Полученная скорость сходимости оказалась выше, чем для линейных конечных элементов, несмотря на достижение более высокого порядка точности приближенного решения.

Исследована сходимость многосеточных итерационных методов для решения сеточной задачи, полученной дискретизацией эллиптического уравнения второго порядка с помощью кусочно-линейных элементов на треугольниках с использованием численного интегрирования. Обычно сходимость многосеточных методов обосновывается в предположении, что элементы матрицы и вектора правой части системы уравнений метода конечных элементов вычислены точно. Однако на практике, как правило, они вычисляются с использованием квадратурных формул. Рассмотрены полный многосеточный метод на основе W-цикла и каскадный алгоритм, представляющий собой наиболее простую версию многосеточных методов. Предложен способ построения дискретных задач на более грубых сетках. Доказано, что для обоих алгоритмов число арифметических операций, приходящихся на одно неизвестное, для определения приближенного решения с точностью, совпадающей по порядку с погрешностью дискретной задачи с учетом численного интегрирования, не зависит от числа неизвестных и количества сеток.

Подготовлена первая часть учебного пособия по многосеточным методам (77 стр.). Его целью является изложение в доступной форме основных принципов многосеточных методов. Для этого общая теория рассматривается в приложении к решению модельной задачи. Теоретические результаты иллюстрируются численными примерами.

В главе 1 содержатся сведения из линейной алгебры, функционального анализа и теории итерационных методов, которые используются при дальнейшем изложении материала. Особое внимание уделено обсуждению итерационных методов, которые используются в качестве базовых итераций в различных версиях многосеточного метода.

В главе 2 излагается двухсеточный метод для простейшей модельной задачи – дискретного аналога одномерного уравнения диффузии, полученного с помощью метода конечных элементов. Такой подход позволяет максимально просто изложить основные идеи многосеточного метода, не отвлекаясь на дополнительные трудности, возникающие в более общем случае. Формулируется двухсеточный алгоритм и доказывается его сходимость для модельной задачи.

Глава 3 посвящена классическому многосеточному методу. Для системы линейных алгебраических уравнений сформулированы алгоритмы V- и W-цикла и полный многосеточный алгоритм. Обсуждаются различные варианты V- и W-цикла в зависимости от количества пред- и постсглаживающих итераций. Рассматривается сходимость W-цикла. Доказывается, что достаточным условием сходимости W-цикла является сходимость двухсеточного метода. Далее доказывается сходимость V-цикла для системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Получена оценка числа арифметических операций для V- и W-цикла.

В главе 4 обосновывается сходимость многосеточного метода для модельной задачи. Для уравнения Пуассона на квадрате строится система уравнений метода конечных элементов с использованием кусочно-линейных элементов на треугольниках. Определяются операторы интерполяции и проектирования для двумерного случая. Далее рассматривается полный многосеточный алгоритм для модельной задачи и доказывается, что он позволяет получить приближенное решение системы уравнений с точностью, сопоставимой с погрешностью дискретизации, с оптимальной оценкой числа арифметических операций. Приводятся результаты численных экспериментов, которые иллюстрируют теоретические оценки.

В главе 5 представлен каскадный алгоритм, который является простейшей версией многосеточных методов. Изложение начинается с формулировки каскадного алгоритма для системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. В качестве сглаживающих итераций рассматриваются метод сопряженных градиентов, метод простых итераций со специальными параметрами и трехслойный полуитерационный метод. Данный подход проиллюстрирован на примере модельной задачи – дискретного аналога уравнения Пуассона.
3. Двумерная нестационарная математическая модель речного стока и водосбора.

Это направление посвящено исследованию свойств математической модели, описывающей в двумерной по пространству и нестационарной по времени постановке формирование стока талых, дождевых вод и трансформацию течения при заданных расходах воды на входе и выходе исследуемого участка речной системы. В качестве исходной математической модели взяты трехмерные по пространству нестационарные уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей поверхности течения. Далее путем осреднения по высоте течения с использованием гидростатического приближения давления получены уравнения мелкой воды. Они и служат базисом для математической модели речного стока с учетом талых и дождевых вод на территории водосбора, ограниченной водоразделом и гидроэлектростанциями.

Для формулировки задачи зададим декартову систему координат таким образом, чтобы ось была направлена вертикально вверх (в смысле отвеса под действием силы тяжести). Пусть дно и прилежащая территория водосбора описываются положительной функций , отсчитываемой от условной поверхности "уровня моря" вдоль направления силы тяжести (рис. 1).



Рис. 1. Русло реки.

Обозначим через полную глубину и перейдем к осредненным горизонтальным скоростям потока в направлении x и y:



Тогда после ряда преобразований уравнения мелкой воды записываются в следующем виде:

(1)

(2)

(3)

где g – гравитационное ускорение; – горизонтальные составляющие скорости на свободной поверхности; – интенсивность испарения и инфильтрации воды в почву; – функция учета интенсивности дождя и снеготаяния; а – аппроксимации осредненных сил вязкости, определяемые главным образом через касательные напряжения донного трения.

Поскольку нас интересует, в том числе, паводковый период и выпадение дождя, то область определения задачи D берется независящей от времени и ограниченной линией водораздела и гидроэлектростанциями на соответствующем фрагменте реки. Например, для динамической оценки водосбора для Саяно-Шушенской ГЭС необходимо взять область , ограниченную водоразделом и гидроэлектростанцией . Эта область на карте обведена жирной линией и помечена цифрой II (рис. 2). А на рис. 3 приведена идеализированная схема створа Саяно-Шушенской ГЭС.

Рис. 2. Карта двух областей водостока.



Рис. 3. Участок вытекания (выхода характеристик области II).

В принципе, имея графики протока и сброса воды через Саяно-Шушенскую ГЭС, для города Красноярска и его окрестностей следует ограничиться другой областью , также приведенной на карте (рис. 2), но помеченной цифрой I.

Для численного решения задачи два первых уравнения преобразуются путем линейной комбинации для обеспечения устойчивости в гильбертовой норме.

На границе водораздела ставится краевое условие

(4)

где – скорость по нормали к границе: – вектор внешней нормали; – косинусы углов между и осями соответственно. Это условие препятствует входу и выходу характеристик уравнений через водораздел. Что касается выходного режима в створе гидроэлектростанции, то рассматривается режим планового расхода, когда через створ проходит известный объем воды, определяемый соотношением

(5)

Поскольку при выходе характеристик из области определения другие краевые условия излишни, регулировку расхода проведем изменением ширины пропуска следующим образом (рис. 3). На заштрихованной части краевые условия не ставятся, а функции являются искомыми. Расход получается равным левой части равенства (5).

Ясно, что априори он не равен требуемой функции . Поэтому на каждом временном шаге длина (ширина шлюза) итерационно подбирается для достижения равенства (5). На остальной части полагаем

(6)

Для замыкания постановки задача дополняется начальными условиями в некоторый момент времени .

Для сформулированной задачи выведена априорная оценка:



(7)



Она характеризует изменение полной энергии (кинетической + потенциальной) в каждый момент времени .

Производные по времени аппроксимируются по разному:



Остальные слагаемые берутся на слое , так что получается полностью неявная схема с итерациями по ширине створа .

Решение стационарной задачи на каждом временном слое осуществляется методом конечных элементов с линейными элементами на треугольниках. Устойчивость решения дискретной задачи обеспечивается сеточным аналогом закона сохранения энергии вида (7).

Для того, чтобы энергия представляла собой взвешенную гильбертову норму, необходимо, чтобы на всем протяжении решения глубина была не меньше нуля. Вместе с тем, из-за погрешностей дискретизации такой гарантии у нас нет. Поэтому следует приложить дополнительные усилия для обеспечения неотрицательного значения . Наиболее распространенный способ состоит в том, чтобы для аппроксимации уравнения (3) взять монотонную разностную схему, обеспечивающую неотрицательность при неотрицательных начальных и краевых условиях и правой части . В силу теоремы Годунова эта схема может иметь только первый порядок аппроксимации. Поэтому именно применение экстраполяции Ричардсона позволяет здесь достигнуть высокой точности при использовании схемы первого порядка аппроксимации с направленными разностями.
4. Анализ параллельных реализаций метода конечных элементов для моделей мелкой воды.

В рамках проекта проведено исследование эффективности нескольких параллельных реализаций алгоритма численного решения краевой задачи для уравнений мелкой воды, выполненных с помощью библиотеки MPI для языка Cи.

Численное моделирование поверхностных волн в больших акваториях проводилось с учетом сферичности Земли и ускорения Кориолиса на основе уравнений мелкой воды. Ранее авторами для этой же задачи построен метод конечных элементов, для которого получены необходимые априорные оценки устойчивости и сходимости.

Численные эксперименты на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системах проводились на модельной прямоугольной сетке. Для реализации параллелизма по данным были разработаны алгоритмы декомпозиции вычислительной области с триангуляцией для модельных задач в прямоугольнике на сфере. Приведены сравнительные результаты ускорения вычислений в зависимости от количества процессов, способа реализации коммуникаций (блокирующие, неблокирующие передачи), способа декомпозиции вычислительной области, архитектуры суперЭВМ.

Отметим, что метод Бубнова-Галеркина на каждом временном шаге приводит к системе линейных алгебраических уравнений

(1)

Для ее решения использовался итерационный метод Якоби, который обладает хорошим параллелизмом, а диагональное преобладание для его сходимости обеспечивается выбором шага по времени . В векторно-матричной форме метод Якоби записывается в следующем виде:

(2)

Здесь – номер итерации, индексы для шага по времени опущены.

Отметим некоторые особенности реализации, диктуемые методом конечных элементов. Глобальная матрица жесткости зависит от времени и должна пересчитываться на каждом временном шаге. Однако для метода Якоби на конечных элементах не требуется явного хранения глобальной матрицы жесткости. В программе насчитываются лишь элементы локальных матриц жесткости, причем только их диагональные элементы зависят от времени и перевычисляются на каждом временном шаге.

Используя явный параллелизм по данным, исходную расчетная область разбивается на несколько подобластей, пересекающихся только по границе разбиения. Расчеты в каждой подобласти можно проводить независимо друг от друга в рамках одной итерации. Однако после каждой итерации Якоби необходимо проводить согласование данных на границах подобластей. Имеют место два принципиально разных варианта разбиения.

Декомпозиция с теневыми гранями. Исходная область включает взаимно перекрывающиеся подобласти, определяемые шаблоном. С учетом семиточечного шаблона и согласованности триангуляции достаточно перекрытия областей в два слоя расчетных точек.

Декомпозиция без перекрытий. Исходная область разрезается на подобласти, пересекающиеся только по границам разреза. При обмене данными после каждой итерации Якоби требуется дополнительное суммирование для вычисления значений невязки в граничных точках.

Разработан и программно реализован алгоритм построения на сфере прямоугольных областей с согласованной триангуляцией и разбиения области на горизонтальные полосы или прямоугольники с двумя разными режимами двухточечных обменов в MPI – блокирующим и неблокирующим.

Предположим, что при декомпозиции области нам удается равномерно распределить весь объем вычислений по процессорам. Тогда для ускорения можно записать следующее:

(3)

Здесь – время вычислений на одном процессоре, – время на дополнительные вычисления, связанные с декомпозицией области, – время, требуемое для обменов.

Проведена теоретическая оценка потенциального ускорения параллельных алгоритмов в зависимости от количества используемых процессов. Показано, что для достаточно мелких сеток оценка потенциального ускорения близка к линейной на достаточно большом диапазоне количества процессов. Между тем, вычислительные эксперименты показали, что неоднородность архитектуры высокопроизводительной системы приводит к непредсказуемому поведению в зависимости от количества процессов, конкретных вычислительных узлов, на которых выполняется задача и сложившейся общей ситуацией на кластере, т.е. задач других пользователей.

Для вычислительной проверки ускорения параллельного алгоритма рассмотрена следующая модельная задача. Пусть – «квадрат» на сфере: . Решалась задача с известным точным решением. В расчетной области построено несколько равномерных квадратных сеток различных размеров с соответствующей согласованной триангуляцией. В вычислительных экспериментах было сделано 1000 шагов по времени.

Вычислительный эксперимент был проведен на двух доступных высокопроизводительных комплексах.

Во-первых, вычисления выполнялись на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН гетерогенной архитектуры (собственная сборка ИВМ СО РАН содержит вычислительные узлы различной конфигурации – однопроцессорные и одноядерные; однопроцессорные и двухъядерные; двухпроцессорные и двухъядерные; управляющая сеть FastEthernet – 100 Мбит/сек; сеть передачи данных GigaEthernet – 1000 Мбит/сек). Поскольку кластер является гетерогенным, то временные характеристики выполнения программы осреднялись по результатам нескольких десятков расчетов.

Вторым кластером, на котором проведены серии расчетов, является СКИФ Cyberia Томского государственного университета, который имеет однородную архитектуру.

Численные эксперименты показали несомненное преимущество однородной архитектуры высокопроизводительной вычислительной системы.

Результаты некоторых численных экспериментов приведены на рис. 4. Рис. 4.а демонстрирует зависимость ускорения от числа использованных процессов (один процесс распределялся на одно ядро). Из приведенных графиков видно, что гетерогенная архитектура кластера ИВМ СО РАН приводит, например, к отсутствию роста ускорения для варианта расчета с блокирующими операциями двухточечного обмена. Рост ускорения больше линейного при использовании до десяти процессов объясняется «попаданием в кэш», когда большинство необходимых данных оказывается в кэш-памяти процессора. На рис. 4.б приведены результаты серий расчетов для мелкой сетки. Для сравнения приведена также кривая теоретической оценки. Анализ результатов показывает, что теоретическая оценка ускорения дает хорошее представление о реальном поведении параллельного алгоритма. Неоднородная архитектура кластера дает неустойчивое ускорение, а на однородном кластере оно линейно и близко к теоретическому. Расчеты также показали отсутствие заметного отличия при расчете для обоих вариантов декомпозиции (с теневыми гранями и без них) и более устойчивое поведение неблокирующего режима двухточечных коммуникаций.


а)

б)

Рис. 4. Зависимость ускорения от количества процессов: а) для грубой сетки 401 x 401 точек; б) для мелкой сетки 801 x 801 точек.



Итак, теоретические оценки показали, что алгоритм обладает значительным объемом потенциального параллелизма и хорошей структурой с точки зрения распараллеливания, что дает ускорение в зависимости от количества используемых процессоров, теоретически близкое к линейному. Численные эксперименты показали, что использование неблокирующего режима обменов является безусловно более эффективным.

Продемонстрировано преимущество однородного устройства кластера (СКИФ Cyberia) над гетерогенным. Кроме того, продемонстрирована неустойчивость ускорения при неоднородном составе кластера, которая не присуща ни алгоритму, ни реализации.
5. Уравнения Навье-Стокса для сферической модели геодинамики

Для описания процессов сферически-симметричного расширения, сжатия, разогревания и охлаждения Земли используются уравнения Навье-Стокса для вязкой сжимаемой теплопроводной среды. Введём сферическую систему координат (r, , ), связанную с декартовыми координатами следующим образом: x = r cos sin, y = r sin sin, z = r cos, 0  r < + , 0  , 0   2. После записи уравнений Навье-Стокса в сферической системе координат, учёт сферической симметрии приводит к равенству нулю производных по и и компонент скоростей по и . В итоге уравнения неразрывности, импульса и энергии записываются в следующем безразмерном виде:

(1)

(2)

(3)

Искомыми функциями являются плотность , скорость u и внутренняя энергия единицы массы – e, через которые выражаются давление P и динамический коэффициент вязкости из уравнений состояния, – потенциал гравитационных сил. Уравнения состояния представляют собой сложную алгебраическую зависимость плотности от давления и температуры с учётом фазовых переходов и метаморфизма основных составляющих веществ. Отметим, что запись первого уравнения для , а не для переводит закон сохранения массы из нормы пространства в норму гильбертового пространства . В последствии это значительно упростит обоснование устойчивости и сходимости.

Потоковые соотношения, связывающие тензор напряжения с тензором скоростей деформации и определяющие тепловой поток через безразмерные параметры – число Рейнольдса и число Прандтля , выражаются следующими зависимостями:

(4)

Потенциал гравитационных сил в данном случае представляется в следующем виде:

(5)

где – число Фруда, – безразмерная величина, которая определяется гравитационной постоянной, ускорением свободного падения и плотностью на поверхности Земли.

В качестве начальных условий берутся экспериментальные значения плотности, динамического коэффициента вязкости, давления и температуры.

Введём равномерную сетку , с шагом .Обозначим и введём множество внутренних узлов В результате расчётная область разбилась на n+1 интервал Для каждого узла определим базисную функцию , которая равна единице в , нулю во всех остальных узлах и линейна на каждом отрезке .

С помощью введённых обозначений сформулируем метод Бубнова-Галеркина. Будем искать приближение к функции в виде

(6)

с некоторыми коэффициентами , зависящими от времени. При вычислении интегралов применим квадратурную формулу трапеций и равенства , вытекающие из симметрии задачи, аппроксимируя производную по времени правой разностной производной.

По аналогии с будем искать аппроксимацию функции в виде

(7)

с некоторыми коэффициентами , зависящими от времени. Отметим, что здесь используется не исходное уравнение (2), а из него вычтено уравнение неразрывности, умноженное на /2. Это приведёт и в непрерывном и в дискретном виде к устойчивости в норме пространства , а не в , как в исходном уравнении (2). Снова для вычисления интегралов в дискретных уравнениях применим квадратурную формулу трапеций и равенства вытекающие из симметрии задачи.

Приближение к функции тоже ищется в виде

(8)

с некоторыми коэффициентами , зависящими от времени. Для вычисления интегралов в дискретных уравнениях для энергии применим квадратурную формулу трапеций и равенства , вытекающие из симметрии задачи.

Описанный алгоритм реализован на языке C++. В качестве начальных условий использованы экспериментальные значения плотности, динамического коэффициента вязкости, давления и температуры. В расчётах плотность и динамический коэффициент вязкости, а также температура отнесены к соответствующим характерным величинам на поверхности земного шара.

Вычислительный эксперимент продемонстрировал устойчивость и сходимость построенного алгоритма при измельчении параметра дискретизации h. Вместе с тем, он проявил значительную чувствительность к уравнению состояния. Например, отсутствие учёта в используемой модели изменения энергии при фазовых и метаморфических переходах немедленно приводит к процессу сглаживания скачка плотности на границах Мохоровичича и Вихерта-Гутенберга.

Традиционно считается, что с большим успехом можно использовать линеаризованные модели, учитывая довольно медленные осреднённые перемещения вещества внутри Земли. Однако уравнение состояния содержит как условия метаморфизма вещества, так и его фазовых переходов. Эти условия при мощном гравитационном воздействии, в принципе, могут привести к более быстрому изменению состава геосфер, чем при механическом перемещении при медленном остывании. Так что модель будет полезна для анализа возможных прошлых и будущих более быстрых изменений геосфер. Одновременно отрабатываются вопросы для перехода к трёхмерному случаю без осреднения по латеральным переменным, где темпы локальных перестроек существенно выше; так что предлагаемая модель окажется более перспективной.
6. Китайско-Российская конференция в Пекине «Эффективные вычислительные методы для решения задач математической физики».

В соответствии с положением об интеграционных проектах СФУ, Сибирского отделения РАН и договоренностью с китайским партнером – Институтом вычислительной математики и научных-инженерных расчетов Академии наук Китая проведена Китайско-Российская научная конференция ”Эффективные вычислительные методы для решения задач математической физики” в Пекине с 18 по 25.09.2009 г.

В состав делегации входили четыре сотрудника, в том числе, работающие в СФУ:

1. Шайдуров В.В., директор ИВМ СО РАН, член-корреспондент РАН, зав. кафедрой информационно-вычислительных технологий Института математики СФУ;

2. Карепова Е.Д., н.с. ИВМ СО РАН, к.ф.-м.н, доцент кафедры информационно-вычислительных технологий Института математики СФУ;

3. Щепановская Г.И., с.н.с. ИВМ СО РАН, к.ф.-м.н, доцент кафедры информационно-вычислительных технологий Института математики СФУ;

4. Гилева Л.В., н.с. ИВМ СО РАН, к.ф.-м.н, доцент кафедры информационно-вычислительных технологий Института математики СФУ.

Российскими участниками семинара были сделаны четыре доклада, темы которых кратко изложены в настоящем отчете: В.В. Шайдуров “Двумерные нестационарные математические модели стока и руслового течения реки”, Г.И. Щепановская “Математическое и численное сферически-симметрическое моделирование глубинной геодинамики”, Е.Д. Карепова “Анализ эффективности параллельной реализации метода конечных элементов для уравнений мелкой воды”, Л.В. Гилева “Ретроспектива и современное состояние многосеточных каскадных методов”.

Доклады китайских ученых можно разделить на две основные группы. К первой группе относятся доклады, посвященные численному решению задач математической физики. В докладах Zhang Shuhua “A uniform optimal-order estimate for Galerkin finite element method for advection-diffusion equations” и Wang Kaixin “The application of superconvergence technique in the analysis of convection-diffusion equations and related applications” представлены результаты исследований по применению метода конечных элементов для решения задач адвекции-диффузии и конвекции-диффузии соответственно и по обоснованию его сходимости. В докладе Li Chunguang “Three-dimensional numerical simulation and actual measurements of the Yellow River flow in Shapotou continuous curves” предложена трехмерная нестационарная модель течения реки и представлены результаты численных расчетов на основании этой модели с использованием реальных измерений для Желтой реки.

Ко второй группе относятся доклады, посвященные исследованиям в области оптимального управления. Это доклады Jia Yingmin “Robust adaptive control of time-delay systems”, Wei Wei “Some topics on computational complexity of complex systems”, Lu Xiliang “An introduction to semi-smooth Newton method for optimal control problem with control/state constraint”, She Zhikun “Automatic verification and analysis of hybrid systems”. Кроме того, в докладе Chen Dirong “Graph Laplacian for nonlinear dimensionality reduction” рассматривались вопросы, связанные с обработкой больших массивов данных.

Доклады сопровождались обсуждением представленных результатов.

Состоялась дискуссия, в ходе которой обсуждались направления исследований, представляющие интерес как для российской, так и для китайской стороны. Кроме того, китайская сторона высказала заинтересованность в приглашении российских ученых для чтения лекций по некоторым направлениям для студентов и аспирантов университетов г. Пекина.

7. Разработка новых курсов, связанных с высокопроизводительными вычислениями.

Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту высшей профессиональной школы третьего поколения дисциплина «Параллельное программирование» впервые включена в базовую общепрофильную часть профессионального цикла по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» со степенью «бакалавр». А по направлению 010300 «Математика и компьютерные науки» эта дисциплина включена в вариативную часть профессионального цикла, определяемую ВУЗом.

Поэтому в рамках проекта разрабатывается годовой курс «Параллельное программирование» и полугодовой курс «Особенности разработки параллельных приложений».

Для разработки курсов был сделан обзор литературы по четырем направлениям, связанным с высокопроизводительными вычислениями. Во-первых, рассмотрены теоретические основы параллельного и многопоточного программирования; принципы, положенные в основу параллельной обработки данных; проблема классификации современных суперкомпьютеров; особенности их архитектуры; проектирование параллельных приложений. Во-вторых, проведен анализ языковых реализаций для машин с общей и распределенной памятью, отобраны языки и библиотеки, которые являются свободно распространяемыми, доступными, относительно легкими для освоения и в то же время отражающими современные тенденции программирования суперкомпьютеров. В-третьих, были рассмотрены публикации, связанные с распараллеливанием известных методов вычислительной математики, современными подходами к решению практических задач для высокопроизводительной вычислительной техники. Наконец, в-четвертых, были просмотрены основные российские и зарубежные учебные пособия по дисциплинам, связанным с параллельным и многопоточным программированием.

На основе собственного опыта и анализа научной и учебно-методической литературы участниками проекта разрабатывается и на протяжении нескольких лет совершенствуется программа двух курсов для магистерских программ, а также учебное пособие «Основы параллельного программирования».

Содержание курса «Параллельное программирование».

  1   2

Похожие:

Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconП. Т. Зубков Вычислительные методы математической физики
П. Т. Зубков. Вычислительные методы математической физики. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconКонспект лекций по методам конечных элементов На протяжении многих десятков лет вариационные методы, представляющие собой частный случай проекционных, используются для решения задач математической физики
Поэтому, чтобы в дальнейшем полнее раскрыть существо описываемых вариационных и проекционных методов, проиллюстрируем близость некоторых...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconПрограмма цикла обучения для стажеров-бакалавров Международного института информационных технологий (г. Пуна, Индия) по вычислительной аэрогидродинамике «Численные методы решения уравнений математической физики»
«Численные методы решения уравнений математической физики»
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconМетодические указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики» Москва Издательство мгту им. Н. Э. Баумана 2009
Численные методы решения задач диффузии: Метод указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики». —...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconВычислительные методы и приемы
В данной главе представлены наиболее распространенные вычислительные методы, используемые для численного решения отдельных задач,...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconУчебная программа Дисциплины б9 «Вычислительные методы» по направлению 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Дисциплины «Вычислительные методы» направлено на обучение студентов основам решения задач линейной алгебры, решения нелинейных алгебраических...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconМетоды математической физики
Тема Вывод основных уравнений курса математической физики. Постановка начальных и граничных условий для уравнений математической...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconПрограмма дисциплины дпп. Ф. 03. "Методы математической физики" Специальность 032200 (050203. 65) Физика
Большое значение имеет та часть курса, в которой рассматриваются методы и подходы к решению задач, играющие большую роль в изучении...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconМетодические указания и задания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Методы оптимизации»
Тимизации. Рассмотрены теоретические, вычислительные и прикладные аспекты методов конечномерной оптимизации. Много внимания уделено...
Отчет за 2009 год по выполнению проекта №89 «Эффективные вычислительные методы на последовательности сеток для решения задач математической физики» iconПрограмма дистанционных курсов «Методы решения физических задач»
Программа предназначена для повторения школьного курса физики и включает в себя три цикла повторения. На первом из них обучающиеся...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org