Программа курса «уравнения математической физики»



Скачать 34.71 Kb.
Дата26.11.2012
Размер34.71 Kb.
ТипПрограмма курса
ПРОГРАММА КУРСА

«УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

для математического отделения
6-ой семестр


ВВЕДЕНИЕ


  1. Примеры уравнений и постановок задач математической физики, корректная разрешимость.

  2. Классификация линейных уравнений второго порядка в точке, канонический вид, замечание о возможности приведения к каноническому виду в окрестности точки.


ЗАДАЧА КОШИ.

  1. Постановка, приведение начальной поверхности к плоскости, характеристические и свободные поверхности, инвариантность.

  2. Характеристические поверхности для оператора Лапласа, теплопроводности, волнового.



ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ


  1. Уравнение колебания струны, формула Даламбера, физическая интерпретация.

  2. Уравнение колебания полуструны, условия согласования, формула Даламбера.

  3. Сферические средние.

  4. Решение задачи Коши для волнового уравнения в трехмерном случае методом сферических средних. Физическая интерпретация.

  5. Решение задачи Коши для волнового уравнения в двумерном случае методом спуска. Физическая интерпретация.

  6. Принцип Дюамеля для решения неоднородной задачи Коши. Его реализация в трехмерном случае.

  7. Теорема единственности, закон сохранения энергии.



ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ


  1. Принцип максимума для начально-краевой задачи. Его следствия: теорема единственности, поведение решения при возрастании времени.

  2. Принцип максимума для задачи Коши, единственность ее решения.

  3. Формула Пуассона: вывод, обоснование, свойства решения.

  4. Принцип Дюамеля для решения неоднородной задачи Коши.



ТЕОРЕМА КОШИ – КОВАЛЕВСКОЙ


  1. Вещественные аналитические функции.

  2. Мажорирующие уравнения.

  3. Доказательство теоремы Коши-Ковалевской.


ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЛАБОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ.

  1. Интегральный оператор с непрерывным ядром в пространстве непрерывных функций и пространстве суммируемых со степенью р функций.

  2. Тест Шура.

  3. Интегральный оператор со слабой особенностью в пространстве суммируемых со степенью р функций и в пространстве непрерывных функций.

  4. Теорема об улучшении решения интегрального уравнения со слабой особенностью.

  5. Гладкость границы области, иртегральные операторы со слабой особенностью на границе, прмеры интегральных операторов со слабой особенностью на границе области.




ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


  1. Оператор Лапласа в сферических координатах, преобразование Кельвина, сферически симметичные решения однородного уравнения для оператора Лапласа, фундаметнальное решение, теорема о представлении функции через потенциалы.

  2. Прямая и обратная теоремы о среднем.

  3. Принцип максимума, строгий принцип максимума.

  4. Неравенство Гарнака.

  5. Теоремы о сходимости гармонических функций.

  6. Функция Грина и ее свойства: неотрицательность, симметрия.

  7. Функция Грина для шара, решение задачи Дирихле в шаре.

  8. Аналитичность гармоничекой функции , теорема об устранимой особенности и теорема Лиувилля.

  9. Внешняя задача Дирихле для оператора Лапласа: постановка внешней задачи Дирихле, единственность ее решения, решение внешней задачи Дирихле для шара, поведение гармонической функции на бесконечности, поведение производной гармонической функции на бесконечности.

  10. Внутренняя задача Неймана для оператора Лапласа: правильная внутренняя нормальная производная, постановка задачи, теорема «единственности» ее решения, необходимое условие разрешимости.

  11. Внешняя задача Неймана при m>2: правильная внешняя нормальная производная, постановка задачи, теорема единственности ее решения.

  12. Внешняя задача Неймана при m=2: постановка, теорема «единственности», необходимое условие ее разрешимости.



ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА


  1. Интеграл Гаусса: вычисление и абсолютная сходимость.

  2. Потенциал двойного слоя: бесконечная дифференцируемость вне границы, поведение на бесконечности, гармоничность, предельные значения потенциала двойного слоя.

  3. Потенциал простого слоя: непрерывность во всем пространстве, бесконечная дифференцируемость вне границы, поведение на бесконечности, правильные нормальные производные потенциала простого слоя.

  4. Ньютонов потенциал: непрерывность и непрерывная дифференцируемость во всем пространстве, наличие вторых производных, вычисление оператора Лапласа.

  5. Интегральные уравнения теории потенциала: вывод, разбиение на пары, исследование пар при m>2 и m=2.



СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


  1. Пространство однородных полиномов: базис, размерность, скалярное произведение.

  2. Подпространство однородых гармоничеких полиномов: его ортогональное дополнение, размерность, теорема об ограничении полинома на единичную сферу.

  3. Определение сферичеких функций, их вычисление в двумерном случае.

  4. Симметрия оператора Бельтрами, сферические функции, как собственные функции оператора Бельтрами. Построение ортонормированной системы сферических функций.

  5. Полнота системы сферических функций.

Похожие:

Программа курса «уравнения математической физики» iconПрограмма курса «уравнения математической физики»
Примеры уравнений математической физики, классификация уравнений второго порядка в точке
Программа курса «уравнения математической физики» iconРабочая программа дисциплины Уравнения математической физики Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика
Дисциплина “Уравнения математической физики” находится в цикле Б3 «Профессиональный цикл»
Программа курса «уравнения математической физики» iconРабочая программа по курсу: " Методы математической физики"
Предметом дисциплины являются методы моделирования физических процессов, основные уравнения математической физики (уравнения Лапласа,...
Программа курса «уравнения математической физики» iconРабочая программа по дисциплине «Уравнения математической физики» для направления 010500 «Прикладная математика и информатика»
Дисциплина “Уравнения математической физики” входит в цикл общепрофессиональных дисциплин. Преподавание дисциплины обеспечивается...
Программа курса «уравнения математической физики» iconПрограмма «уравнения математической физики»
Примеры задач математической физики, классификация линейных уравнений второго порядка в точке, приведение уравнения к каноническому...
Программа курса «уравнения математической физики» iconУравнения математической физики 5-й и 6-й семестры
Курс "Уравнения математической физики" является обязательным для студентов механико-математического факультета университета. Соответствует...
Программа курса «уравнения математической физики» iconПрограмма по дисциплине уравнения математической физики крюковский А. С. Для очной формы обучения всего 100
...
Программа курса «уравнения математической физики» iconПрограмма курса «Уравнения математической физики»
Необходимое условие экстремума на аффинном множестве функционального пространства. Первая вариация функционала
Программа курса «уравнения математической физики» iconПрограмма курса «Уравнения математической физики»
Необходимое условие экстремума на аффинном множестве функционального пространства. Первая вариация функционала
Программа курса «уравнения математической физики» iconПрограмма курса «уравнения математической физики»
Линейные пространства, линейная независимость, конечномерные и бесконечномерные пространства, примеры
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org